Как найти разность углов

4

Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на «sin», выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры

Выведем формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Начнем с формулы

Как мы знаем, угол между векторами не может быть больше 180° (π). На рисунке Рис.1 угол между векторами и равен . На рисунке Рис.2 угол между векторами и равен .

Рассмотрим, теперь косинусы этих углов. Из формул приведения мы знаем (подпрбнее о формулах приведения смотрите на странице Формулы приведения тригонометрических функций онлайн):

Cкалярное произведение векторов и равно:

Так как точка имеет координаты , а имеет координаты (смотрите статью на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор), то скалярное произведения векторов и по координатам равно:

Поскольку левые части формул (2) и (3) равны, то равны и правые части этих формул. Следовательно выполнено равенство (1).

Докажем, далее, справедливость следующей формулы

Представим косинус суммы углов α и β в виде косинуса разности двух углов и воспользуемся формулой (1) и тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Перейдем к доказательству формул синусов суммы и разности углов:

Для доказательства формулы (5) воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и формулой (1):

Для доказательства формулы (6), представим разность углов в виде суммы и воспользуемся тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Формулы тангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (7):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (9) на (, ):

Для доказательства формулы (9) представим разность углов в виде суммы, воспользуемся формулой (8) и учтем, что тангенс нечетная функция:

Формулы котангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (10):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (12) на (, ):

Для доказательства формулы (11), представим разность углов α и β в виде суммы и учтем, что котангенс нечетная функция:

Умножив числитель и знаменатель в правой части уравнения (13) на −1, получим формулу (11).

Примеры использования формул суммы и разности углов тригонометрических функций

Пример 1. Найти точное значение .

Пример 2. Найти косинус для угла 15°.

Пример 3. Найти точное значение тангенса для угла 15° .

Тангенсы для углов 45° и 15° известны. Подставим эти значения в (14):

Дробь в правой части уравнения (15) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на :

Как найти разность углов параллельных прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
• соответственные углы равны;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Как найти разность углов параллельных прямых

§ 15. Свойства параллельных прямых

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP .

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный.

1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол

Выведем формулу — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда — острые углы в треугольнике (рис. 115).

Выразим площадь треугольника дважды:

Треугольник — прямоугольный, тогда Из прямоугольного треугольника имеем: и Тогда

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Разделим обе части равенства на и получим формулу синуса суммы двух углов:

• 

Если углы не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если являются углами второй четверти, то — острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы:

• 

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим:

Применим формулы приведения к правой части равенства (3):

— формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Воспользуемся полученной формулой

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого представим в виде и применим формулу синуса суммы двух углов:

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус разности

Вычислим, например,

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим:

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Косинус суммы

Применим полученную формулу и вычислим, например,

Представив разность в виде суммы можно получить формулу косинуса разности двух углов:

Косинус разности

Найдем, например,

Пример №1

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Разделим числитель и знаменатель дроби на тогда:

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например,

Тангенс суммы

Представив разность в виде суммы можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Найдем, например,

Тангенс разности

Пример №2

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

б) Применим формулу тангенса суммы:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим:

б) По формулам приведения получим, что

Тогда Воспользуемся формулой косинуса разности и получим:

в) По формулам приведения

Тогда

По формуле тангенса разности:

Пример №5

Решение:

б) По формулам приведения:

По формуле тангенса разности получим:

Таким образом,

Пример №6

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

б) Применим формулу косинуса разности и получим:

Пример №7

Решите уравнение

Решение:

Запишем уравнение в виде и по формуле синуса разности получим:

Ответ:

Пример №8

Вычислите если

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Из основного тригонометрического тождества выразим и найдем Так как то Значит, или Поскольку т. е. угол второй четверти, то Тогда

Пример №9

Докажите тождество

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Пример №10

Найдите значение выражения:

Решение:

9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде

Так как Таким образом, имеем:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти разность углов

Угол

Выведем формулу — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда — острые углы в треугольнике (рис. 115).

Выразим площадь треугольника дважды:

Треугольник — прямоугольный, тогда Из прямоугольного треугольника имеем: и Тогда

Разделим обе части равенства на и получим формулу синуса суммы двух углов:

• 

Если углы не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если являются углами второй четверти, то — острые углы.

• 

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим:

Применим формулы приведения к правой части равенства (3):

— формула синуса суммы двух углов.

Воспользуемся полученной формулой

Для этого представим в виде и применим формулу синуса суммы двух углов:

Вычислим, например,

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим:

Применим полученную формулу и вычислим, например,

Представив разность в виде суммы можно получить формулу косинуса разности двух углов:

Найдем, например,

Пример №1

Применим полученные формулы «справа налево»: Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Разделим числитель и знаменатель дроби на тогда:

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например,

Представив разность в виде суммы можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Найдем, например,

Пример №2

Пример №3

Пример №4

б) По формулам приведения получим, что

Тогда Воспользуемся формулой косинуса разности и получим:

в) По формулам приведения

Тогда

Пример №5

б) По формулам приведения:

Таким образом,

Пример №6

б) Применим формулу косинуса разности и получим:

Пример №7

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде и по формуле синуса разности получим:

Ответ:

Пример №8

Вычислите если

Из основного тригонометрического тождества выразим и найдем Так как то Значит, или Поскольку т. е. угол второй четверти, то Тогда

Пример №9

Докажите тождество

Пример №10

9.

Пример №11

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде

Так как Таким образом, имеем:

Разделы

Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $\bar $ и общей конечной стороной $\bar $: один равен $+270^$, другой $-90^$.

Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $\alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar $, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $\bar $. Примем теперь положение радиуса-вектора $\bar $ за начальное и отложим от него произвольный угол $\beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar $ до его конечного положения $\bar $. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $\alpha$ и $\beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $\bar $, конечное положение радиуса-вектора $\bar $.)

Разность двух углов.

Под разностью двух углов $\alpha$ и $\beta$, которую обозначим $\alpha — \beta$, мы будем понимать такой третий угол $\gamma$, который в сумме с углом $\beta$ дает угол $\alpha$, т. е. $\gamma = \alpha — \beta$, если $\beta + \gamma = \alpha$. Разность двух углов $\alpha$ и $\beta$ можно трактовать как сумму углов $\alpha$ и $- \beta$. В самом деле, $[\alpha + (- \beta)] + \beta = \alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.