Что значит найти порядок числа

Пример 4: 9,9*10 13 + 9,9*10 12 =9,9*10 13 + 0,99*10 13 = (9,9+ 0,99)*10 13 =10,89*10 13 =1,089*10 14

Порядок величины — класс эквивалентности при условии что некоторый класс $\mathcal<C>_0″ width=»» height=»» /> был задан или подразумевается).</p> <h3>Содержание</h3> <h3>Порядок числа</h3> <p>При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию <img decoding=$ , чаще всего принимают r=b и $1\in\mathcal<C>_1″ width=»» height=»» />, <img decoding=$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

$\mathcal<C>_1\supset\lbrace<>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace» width=»» height=»» /></li> <li><img decoding=$ ,
порядки чисел по основанию и
порядки чисел по основанию .

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в 10^n раз больше, где — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам $\mathcal<C>_<n>,\mathcal<C>_<n+1>,\mathcal<C>_<n+2>,\ldots,\mathcal<C>_<n+d>» width=»» height=»» /> могут быть записаны как <img decoding=$ , где $x\in\mathcal<C>_<n>» width=»» height=»» /> — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.</p> <p>В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то <img decoding=$ . В то же время числа и $\frac<1><r>M» width=»» height=»» /> принадлежат смежным с порядком <img decoding=$ в данном порядке выполняется соотношение $\frac<1><r>M < m\leq x\leq M < rm» width=»» height=»» />.</p> <p>Пусть два числа <img decoding=$ и x_2 принадлежат данному порядку $\mathcal<C>_n» width=»» height=»» />. Тогда <img decoding=$ и x_2 принадлежат порядкам $x_1\in\mathcal<C>_<n_1>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ иногда называют разностью порядков этих этих чисел.

Для двух чисел x_1 и x_2 разность их порядков может быть найдена как $d = \left\lfloor\log_r\frac<x_2><x_1>\right\rfloor» width=»» height=»» /> при <img decoding=$ .

Выберем число $x_2^\mathord<*>\in\mathcal<C>_<n_1>» width=»» height=»» /> принадлежащее порядку <img decoding=$ из порядка $\mathcal<C>_<n_2>» width=»» height=»» />. По определению порядка существует такое целое <img decoding=$ , что $x_2^\mathord<*>=r^<-d>x_2″ width=»» height=»» />. Получаем, что <img decoding=$ и $x_2^\mathord<*>» width=»» height=»» /> принадлежат одному порядку и потому <img decoding=$ является целым, а значит $d=\left\lfloor<>d\right\rfloor = \left\lfloor<>d + \log_r\frac<x_2^\mathord<*>><x_1>\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac<x_2><x_1>\right\rfloor» width=»» height=»» />.</p> <p>В случае <img decoding=$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1) .

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение $d = \log_r\frac<x_2><x_1>» width=»» height=»» />.</p> <p>В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа <img decoding=$ и x_2 различаются не более чем на пол порядка» то есть $\left|\log_r\frac<x_2><x_1>\right|\leq \frac<1><2>» width=»» height=»» /> или <img decoding yandex_rtb_R-A-2174240-13$

Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности $\mathcal<C>_n» width=»» height=»» /> величин (или шкал) <img decoding=$ при условии что некоторый класс $\mathcal<C>_0″ width=»» height=»» /> был задан или подразумевается).</p> <h3>Содержание</h3> <h3>Порядок числа</h3> <p>При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию <img decoding=$ , чаще всего принимают r=b и $1\in\mathcal<C>_1″ width=»» height=»» />, <img decoding=$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

$\mathcal<C>_1\supset\lbrace<>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace» width=»» height=»» /></li> <li><img decoding=$ ,
порядки чисел по основанию и
порядки чисел по основанию .

Порядок чисел в естественном языке

Порядок чисел и логарифмическая функция

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Стандартный вид числа»

Наверняка, в физике, биологии, химии или географии вы сталкивались, как с очень большими, так и очень малыми положительными числами.

Например

Скажите с такими числами удобно выполнять математические расчёты? Конечно же, нет. В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде

Например:

Говорят, что мы записали числа в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Определение:

Стандартным видом числа называют его запись в виде: , где и – целое число.

Число называется порядком числа .

Например

Если порядок числа равен , то это означает, что .

Большой положительный порядок показывает, что число очень велико.

Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

, где и – целое число

По определению стандартного вида числа следует, что в стандартном виде в целой части числа (до запятой) может содержаться только одна цифра.

Все остальные цифры должны стоять после (справа) от запятой.

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число.

В стандартном виде можно записать не только большое или малое, но и любое число.

Для того чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Перенести в нём запятую так, чтобы она была сразу после первой значащей цифры.

2. полученное число умножить на , где подбирается так, чтобы произведение было равно данному числу.

Значащей цифрой числа называют его первую (слева направо) отличную от нуля цифру, а также все последующие за ней цифры.

Пример: представим в стандартном виде число.

Решение:

Задание: запишите число в стандартном виде.

Решение:

Задание: запишите в стандартном виде число, равное значению произведения х и у.

Решение:

Стандартным видом числа называют его запись в виде: , где и – целое число.

Число называется порядком числа .

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо перенести в нём запятую так, чтобы она была сразу после первой значащей цифры, и полученное число умножить на , где подбирается так, чтобы произведение было равно данному числу.

Стандартная запись числа

При этом число a называют мантиссой числа b, а n — порядком числа b.

$$ 100500 = 1,005 \cdot 10^5; 0,06 = 6 \cdot 10^<-2>; -0,0777 \cdot 10^ <-2>= -7,77 \cdot 10^ <-4>$$

Определение стандартного вида числа

Оперировать числами в стандартном виде намного удобней, чем пересчитывать и переписывать бесчисленные нули слева или справа.

На рисунке вверху показан результат работы программы, находящей решение 128 линейных уравнений с 128 неизвестными.

В окошке «Accuracy» задана точность вычислений $1,0 \cdot 10^<-10>$. Пользователь записывает её в так называемой «научной нотации». Если бы такого соглашения не было, ему пришлось бы долго вбивать, считать и пересчитывать нули.

Алгоритм записи числа в стандартном виде

Найдём, сколько секунд в году, и запишем результат в стандартном виде:

$$ 365 \frac<день> <год>\cdot 24 \frac<ч> <день>\cdot 3600 \frac<с> <ч>= 31536000 \frac<с> <год>= 3,1536 \cdot 10^7 \frac<с> <год>$$

В данном случае запятая $31536000,0 → 3,1536 \cdot 10^7$ перемещается на 7 позиций влево. Значит, порядок этого числа n = 7.

Теперь запишем в стандартном виде массу молекулы кислорода $O_2$:

$$ 0,000 000 000 000 000 000 000 053 г = 5,3 \cdot 10^ <-23>г $$

Поставив запятую после 5, мы переместили её на 23 позиции вправо. Значит, порядок этого числа n = -23.

Шаг 1. Поставить в данном числе новую запятую так, чтобы в целой части осталась одна, отличная от нуля, цифра.

Шаг 2. Посчитать количество цифр, на которое переместилась запятая. Это количество определяет порядок n. Если запятая переместилась влево, то $n \gt 0$; при перемещении вправо $n \lt 0$.

Шаг 3. Записать число в стандартном виде: $b = a \cdot 10^n$.

Сравнение чисел, записанных в стандартном виде

Сравниваем два положительных числа:

$$ b = a \cdot 10^n, d = c \cdot 10^m, b \gt 0, d \gt 0 $$

Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком:

$$ n \gt m \Rightarrow b \gt d $$

$$ n \lt m \Rightarrow b \lt d $$

Если порядки одинаковы, то сравнивают мантиссы:

$$ <\left\< \begin n = m \\ a \gt c \end \right.> \Rightarrow b \gt d $$

$$ <\left\< \begin n = m \\ a \lt c \end \right.> \Rightarrow b \lt d $$

Примеры

Пример 1. Выполните действия и запишите результат в стандартном виде:

$ а) (4,1 \cdot 10^7 )^2 \cdot 3,9 \cdot 10^ <-8>= 4,1^2 \cdot 3,9 \cdot 10^ <14-8>= 65,559 \cdot 10^6 = 6,5559 \cdot 10^7 $

$ б) (9,3 \cdot 10^<-9>)^2:(3 \cdot 10^ <-10>) = \frac<9,3^2> <3>\cdot 10^ <-18+10>= 28,83 \cdot 10^ <-8>= 2,883 \cdot 10^ <-7>$

Пример 2. Сравните числа:

$а) 5,8 \cdot 10^9 и 4,7 \cdot 10^<10>$

У второго числа порядок больше. Значит: $5,8 \cdot 10^9 \lt 4,7 \cdot 10^<10>$

$ б) 3,7 \cdot 10^5 и 2,8 \cdot 10^5 $

Порядки чисел одинаковы, мантисса первого числа больше.

Значит: $3,7 \cdot 10^5 > 2,8 \cdot 10^5$

$ в) 3,7 \cdot 10^ <-8>и 2,5 \cdot 10^<-9>$

У первого числа порядок больше $-8 \gt -9$. Значит: $3,7 \cdot 10^ <-8>> 2,5 \cdot 10^<-9>$

$г) 2,1 \cdot 10^ <-7>и 2,5 \cdot 10^<-7>$

Порядки чисел одинаковы, мантисса второго числа больше.

Значит: $2,1 \cdot 10^ <-7>\lt 2,5 \cdot 10^<-7>$

Пример 3. Найдите массу одной молекулы углекислого газа в граммах.

Из таблицы Менделеева находим молярную массу молекулы $CO_2$:

$$ μ(CO_2 ) = 12+2 \cdot 16 = 44 (\frac<г><моль>) $$

Количество молекул газа в одном моле определяется числом Авогадро:

Масса одной молекулы: $m_0 = \frac<μ(CO_2 )> $

Ответ: $7,3 \cdot 10^<-23>$

Пример 4. Космический аппарат «Вояджер-1» находится сейчас (август 2022 г.) на расстоянии 156,98 а.е. от Земли (https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/). Через сколько часов мы принимаем радиосигнал после того, как он был передан аппаратом?

1 а.е. (астрономическая единица) = 149 597 870 700 м \approx 1,496 \cdot 10^ <11>м

Скорость распространения радиосигнала (скорость света)

$ c = 299 792 458 \frac<м> <с>\approx 3 \cdot 10^8 \frac<м><с>$

Получаем время приёма:

$$ t = \frac~~, t = \frac<156,98 \cdot 1,496 \cdot 10^<11>> <3 \cdot 10^8>\approx 7,8 \cdot 10^4 (с) \approx 21,74 (ч) = 21 ч 44 мин $$~~

Таким образом, «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от нас на расстоянии ≈ 21,7 световых часов.

Ответ: 21 ч 44 мин

Пример 5. Космический аппарат «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от Земли на расстоянии 21,7 световых часов (см. Пример 4). Сколько тысячелетий ему понадобится, чтобы с такой скоростью добраться до ближайшей звезды Проксима Центавра, которая расположена примерно в 4,244 световых года от нас?

45 лет — 21,7 св.ч

x лет — 4,244 св.г

Переведём световые годы в световые часы:

$4,244 св.г = 4,244 \cdot 365 \cdot 24 св.ч \approx 3,718 \cdot 10^4 св.ч$

Читать:
Visual studio как комментировать

Что значит найти порядок числа