Еще пример задания:
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (табличный метод):
количество комбинаций 10 логических переменных равно 2 10 = 1024, поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает сразу
перепишем уравнения, используя более простые обозначения операций
заметим, что по свойству операции эквивалентности
, поэтому уравнения можно переписать в виде
сделать замену переменных так, чтобы новые переменные был независимы друг от друга, здесь довольно затруднительно, поэтому будем решать уравнения последовательно табличным методом
рассмотрим все возможные комбинации первых двух переменных X1иX2, и сразу попытаемся для каждой из них подобрать значения третьей так, чтобы выполнялось первое уравнение
:
11 сколько различных решений имеет система уравнений
- Войти
- Регистрация
- Главная
- ЕГЭ
- Вопросы и ответы
- Перевод баллов
- Соответствие заданий
- Программирование
- Типы данных Pascal
- Математические функции
- Логические операции
- Приоритет операций
- Законы логики
- О системах счисления
- Перевод чисел
- Таблица триад и тетрад
- Досрочный-2016
- Демо-2016
- Досрочный-2015
- Алгебра логики
- Вариант 1
- Вариант 2
- Вариант 3
- Вариант 4
- Вариант 5
- Вариант 6
- Вариант 7
- Вариант 8
- Вариант 9
- Вариант 10
- Степени двойки
- IP, маска и адрес сети
- Решатор 5
- Решатор 13
Скобки независимы друг от друга. Заменим каждую отдельной переменной:
a → b = 1
b → c = 1В битовой цепочке не может быть единицы перед нулём, т.к. в этом случае уравнение будет ложным. Построим цепочки по этому правилу:
a 1 0 0 0
b 1 1 0 0
c 1 1 1 0Всего четыре цепочки.
Каждая из переменных a, b, c является импликацией иксов, значит на каждую истину приходится 3 варианта, а на каждую ложь — 1 вариант.
То есть для первой цепочки (1 1 1) приходится 3^3 = 27 наборов, для второй цепочки (0 1 1) — 3^2 = 9 наборов, для третьей цепочки (0 0 1) — три набора, и для четвёртой цепочки (0 0 0) — один набор.
27+9+3+1 = 40 решений.11 сколько различных решений имеет система уравнений
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.и получи доступ ко всей экосистеме Автор24
Задача №23. Решение систем логических уравнений.
Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1
(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1
(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.
Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:
Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.
Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.
Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:
Кол-во наборов на x1…x8
Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, . x9, y1, y2, . y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Сделаем замену переменных:
(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9
Систему можно записать в виде одного уравнения:
(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)
Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 — два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).
Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).
Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.
Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.
Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.
Сколько различных решений имеет система уравнений
где x1, x2, … x10 — логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:
Для x1=0 существуют два значения x2 ( 0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.
Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 ( 0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.
Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:
Ni+1 = Ni + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.
Решение систем логических уравнений различного типа
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, . x4, y1. y4, z1. z4, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, . x4, y1, . y4, z1, . z4, при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.
Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):
