Сторона ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- Сторона ромба через высоту и площадь
- Сторона ромба через высоту и угол
- Сторона ромба через диагонали
- Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
- Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
- Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
- Сторона ромба через площадь и угол
1. Сторона ромба через высоту и площадь
Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).
 |
Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой
| \(\small a=\frac<\large S><\large h>.\) | (1) |
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
| \(\small S=a \cdot h.\) |
Откуда легко вывести формулу (1).
2. Сторона ромба через высоту и угол
Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.
 |
Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
| \(\small \frac<\large a><\large \sin 90°>=\frac<\large h><\large \sin \alpha>.\) |
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
| \(\small a=\frac<\large h><\large \sin \alpha>.\) | (2) |
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Сторона ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
 |
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
| \(\small a^2= \left( \frac<\large d_1> <\large 2>\right)^2+\left( \frac<\large d_2> <\large 2>\right)^2.\) |
| \(\small a= \frac<\sqrt<\large d_1^2+d_2^2>> <\large 2>\) | (3) |
4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.
 |
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
| \(\small \frac<\large a><\large \sin 90°>=\frac<\large \frac |
Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:
| \(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sin \frac< \alpha>< 2>>.\) | (4) |
Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:
| \(\small \sin \frac< \alpha>< 2>=\sqrt<\frac<\large 1-\cos \alpha><\large 2 >>.\) | (5) |
Подставляя (5) в (4), получим:
| \(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sqrt<\frac<\large 1-\cos \alpha><\large 2 >>>.\) |
| \(\small a=\large \frac< d>< \sqrt< 2-2 \ \cdot \ \cos \alpha>>.\) | (6) |
5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
 |
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
| \(\small \frac<\large OB > <\large a>=\cos \angle ABO.\) | (7) |
Учитывая, что \( \small BO=\frac<\large d><\large 2>\) и \( \small \angle ABO=\frac<\large \alpha><\large 2>\), формулу (13) можно записать так:
| \(\small \frac< \large \frac<\large d > <\large 2>><\large a>= \cos \frac<\large \alpha> <\large 2>.\) |
| \(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \cos \large \frac< \alpha>< 2>>.\) | (8) |
Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:
| \(\small \cos \frac< \alpha>< 2>=\sqrt<\frac<\large 1+\cos \alpha><\large 2 >>.\) | (9) |
Подставляя (9) в (8), получим:
| \(\small a=\frac<\large d><\large 2 \ \cdot \ \sqrt<\frac<\large 1+\cos \alpha><\large 2 >>>.\) |
| \(\small a=\large \frac< d>< \sqrt< 2+2 \ \cdot \ \cos \alpha>>.\) | (10) |
6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой
| \(\small S= 2 \cdot a \cdot r.\) | (11) |
Из формулы (11) получим:
| \( \small a=\frac<\large S> <\large 2 \ \cdot \ r>\) | (12) |
7. Сторона ромба через площадь и угол
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой
Формулы длины стороны ромба
Формула стороны через диагонали, ( a ):
Формулы стороны через диагональ и угол, ( a ):
Формулы стороны через диагональ и половинный угол, ( a ):
Формулы стороны через диагонали и угол, ( a ):
Формулы стороны через площадь ромба ( S ) и угол, ( a ):
Формулы стороны через периметр ромба ( P ) и угол, ( a ):
Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 27 ноября 2011 Обновлено: 13 августа 2021
Что такое ромб: определение, свойства, признаки
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.
- Определение ромба
- Свойства ромба
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
Определение ромба
Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).
- AB = BC = CD = AD = a
- AB параллельна CD, BC параллельна AD.
Примечание: квадрат является частным случаем ромба.
Свойства ромба
Свойство 1
Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.
- ∠ABC = ∠ADC, ∠BAD = ∠BCD
- α + β = 180°
Свойство 2
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
- диагональ BD (d1) перпендикулярна диагонали AC (d2)
- AE = EC
- BE = ED
В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.
Свойство 3
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Свойство 4
Сторону ромба a можно найти через его диагонали d1 и d2 (согласно теореме Пифагора).
- a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC );
- половины диагоналей d1 и d2 – катеты треугольников.
Свойство 5
В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:
- Его диагонали пересекаются под прямым углом.
- Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
- Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).
Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.
Как найти уравнение стороны ромбы
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор 1. Сторона ромба через высоту и площадь
Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).
Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой
\(\small a=\frac .\) (1) Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
\(\small S=a \cdot h.\) Откуда легко вывести формулу (1).
2. Сторона ромба через высоту и угол
Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.
Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
\(\small \frac =\frac .\) Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
\(\small a=\frac .\) (2) Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Сторона ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
\(\small a^2= \left( \frac \right)^2+\left( \frac \right)^2.\) \(\small a= \frac > \) (3) 4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
\(\small \frac =\frac > >.\) Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:
\(\small a=\frac >.\) (4) Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:
\(\small \sin \frac =\sqrt >.\) (5) Подставляя (5) в (4), получим:
\(\small a=\frac >>.\) \(\small a=\large \frac >.\) (6) 5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
\(\small \frac =\cos \angle ABO.\) (7) Учитывая, что \( \small BO=\frac \) и \( \small \angle ABO=\frac \), формулу (13) можно записать так:
\(\small \frac > = \cos \frac .\) \(\small a=\frac >.\) (8) Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:
\(\small \cos \frac =\sqrt >.\) (9) Подставляя (9) в (8), получим:
\(\small a=\frac >>.\) \(\small a=\large \frac >.\) (10) 6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой
\(\small S= 2 \cdot a \cdot r.\) (11) Из формулы (11) получим:
\( \small a=\frac \) (12) 7. Сторона ромба через площадь и угол
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой
\(\small S= a^2 \cdot \sin \alpha.\) (13) Из формулы (13) найдем a:
\( \small a=\frac \) (14) Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.
Сторона ромба через диагонали
Калькулятор для вычисления стороны ромба через диагонали
Ромб — это параллелограмм у которой все стороны равны, а углы непрямые.
Диагональ ромба — это прямой отрезок соединяющий вершины противоположных углов ромба.
- Все стороны ромба равны;
- Диагонали ромба пересикаются под прямым углом;
- Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам;
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°;
- Противоположные углы ромба равны.
Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
Рис.1 Рис.2 Признаки ромба
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
Основные свойства ромба
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
AC 2 + BD 2 = 4AB 2
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
a = √ S √ sinα a = √ S √ sinβ 3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
a = S 2 r 4. Формула стороны ромба через две диагонали:
a = √ d 1 2 + d 2 2 2 5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):
a = d 1 √ 2 + 2 cosα a = d 2 √ 2 — 2 cosβ 6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
a = d 1 2 cos ( α /2) a = d 1 2 sin ( β /2) 7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
a = d 2 2 cos ( β /2) a = d 2 2 sin ( α /2) 8. Формула стороны ромба через периметр:
Диагонали ромба
Формулы определения длины диагонали ромба:
d 1 = a √ 2 + 2 · cosα
d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ
d 1 = 2 a · cos ( α /2)
d 1 = 2 a · sin ( β /2)
d 2 = 2 a · sin ( α /2)
d 2 = 2 a · cos ( β /2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
Периметр ромба
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба:
Площадь ромба
Формулы определения площади ромба:
4. Формула площади ромба через две диагонали:
S = 1 d 1 d 2 2 5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):
S = 1 d 1 2 · tg ( α /2) 2 S = 1 d 2 2 · tg ( β /2) 2 Окружность вписанная в ромб
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.