Как найти энергию сигнала

Мощность и энергия сигналов

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) — вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a 2 (t)+b 2 (t) = |s(t)| 2 , (21)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов — квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

w_n = s_n s*_n = [a_n+jb_n] [a_n-jb_n] = a_n 2 + b_n 2 = |s_n| 2 , (21′)

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Е_s=w(t)dt =|s(t)| 2 dt. (22)

E_s =w_n =|s_n| 2 . (22′)

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w(τ) = (1/t)|s(t)| 2 dt

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов — в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность сигнала:

W_T(τ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)| 2 dt. (23)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

W_s= w(t) dt. (23′)

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала.

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (19) и (22) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

E_s = ||s(t)|| 2 , ||s(t)|| = (24)

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

E =[u(t)+v(t)] 2 dt = E_u + E_v + 2u(t)v(t) dt.(25)

Как следует из этого выражения,энергия сигналов (а равно и их мощность), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

E_uv = 2u(t)v(t) dt.(26)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

w_xy(t) = x(t) y*(t), (27)

Для вещественных сигналов:

w_xy(t) = w_yx(t) = x(t) y(t). (28)

С использованием выражений (27-28) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

Скалярное произведение произвольных сигналовu(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t).

u(t), v(t) = ||u(t)||||v(t)|| cos , (29)

Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно определить как произведение «длины» (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по «направлению» первого вектора.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение

u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен φ = 90 о ), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos φ=0, и имеют нулевую энергию взаимодействия (E_uv= 0).

Энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Для аналоговых сигналов:

s(t), v(t) =s(t)v(t) dt. (30)

Для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

s_n, v_n=s_n v_n. (30′)

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение — L2). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов — пространством Евклида (обозначение пространства — R2). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского

т.к. модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле

s(t), v(t) =s(t)v*(t) dt. (32)

При определении функций в пространстве L 2 [a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Косинус угла между сигналами:

Однако при рассмотрении выражения (33) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

 2 (s,v) =[s(t)-v(t)] 2 dt = ||s|| 2 + ||v|| 2 — 2||s||||v|| cos.

можно отметить следующие закономерности. При φ=0 (cos φ = 1) сигналы «совпадают по направлению» и расстояние между ними минимально. При φ = π/2 (cos φ = 0) сигналы «перпендикулярны друг другу» (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При φ = π (cos φ = -1) сигналы «противоположны по направлению» и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

Корреляция сигналов.

Значение косинуса в (33) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов («длины» векторов). Максимальное значение cos φ = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos φ = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos φ является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов.

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента появляется знаковый параметр совпадения или несовпадения по «направлению» корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Разложение сигнала в ряд . Произвольный сигнал s(t)  H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций u_k(t)

s(t) =c_ku_k(t). (34)

Для нахождения значений коэффициентов с_k умножим обе части данного выражения на базисную функцию u_m(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим

s(t)u_m(t) dt =c_ku_mu_k dt.

С учетом ортонормированности функций u_i(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при u_ku_k dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление

c_k =s(t)u_k(t) dt. (35)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты с_k представляют собой проекции вектор — сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u_k(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе — бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (34) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c_k обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

x(t), y(t)=x(t)y(t) dt =[a_nu_n(t)] [b_mu_m(t)] dt =a_nb_n. (36)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (36):

cos  =a_nb_n /(||x(t)||||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

— для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

— при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

— базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

— коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < , |s'(t)| dt < .

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt), exp(-jωt) = cos(ωt) — j sin(ωt),

cos(ωt) = [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2, sin(ωt) = [ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин «частотное разложение» обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной «х», как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту — число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

E_s =s 2 (t) dt =c_mc_nu_mu_n dt =c_mc_nu_mu_n dt. (37)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда

E_s =s 2 (t) dt =c_n 2 , (38)

т.е. при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье, энергия сигнала не изменяется и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

Расчёт полной энергии сигналов

Показатели энергии и мощности сигналов одни из важнейших характеристик, определяющих коэффициент полезного действия передатчика, качество работы приемника системы связи.

Поскольку существуют временное и спектральное представления сигналов, то данные показатели могут быть вычислены двумя способами.

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и будут уточнены для конкретного сигнала.

Спектральное представление сигнала позволило определить эти же энергетические характеристики по спектрам сигналов. Для этого существуют равенства Парсеваля. Для непериодического сигнала, при условии, что сигнал начинается в начале координат:

Если сигнал симметричен относительно начала координат, то формула (1.12) будет выглядеть следующим образом:

Рассчитаем энергию сигнала 1 по формуле (1.11). Так как сигнал конечен, то бесконечные пределы заменяем конечными.

Найдём энергию второго сигнала по формуле (1.11). Для определения пределов интегрирования, оценим скорость убывания функции. Подставим в качестве пределов интегрирования ориентировочные значения t. После расчёта числового значения интеграла увеличим принятые пределы в два раза и снова посчитаем интеграл. Если полученный результат совпадает с предыдущим с точностью до двух значащих цифр, то можно оставить принятые в первом случае пределы в качестве окончательных. После подбора примем, что верхний предел интегрирования t_в = — 0.0016 с, а нижний соответственно t_н= 0.0016 с.

Подставив их в (1.11), получим:

Энергию сигнала 3 определим аналогично, подставив вместо пределов интегрирования верхнюю и нижнюю границы сигнала.

Расчёт неполной энергии сигналов

По заданному проценту определим неполную энергию сигналов. Для первого сигнала:

Для второго сигнала

Для третьего сигнала

Методом итераций рассчитаем граничные частоты спектров сигналов по рассчитанной выше неполной мощности. Для расчёта граничных частот используем формулы (1.12) и (1.13). Граничные частоты: ₁ = 109000 рад/с; ₂ = 139500 рад/с; ₃ = 259000 рад/с.

Построим графики полной энергии сигналов и отметим на них процент от полной энергии. Графики сигналов 1 3 изображены соответственно на рисунках 1.8 1.10.

Энергия сигнала

На практике часто используются такие характеристики, как энергия и мощность сигнала. Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся в резисторе мощность будет

За время Т в этом резисторе выделится тепловая энергия

Если к тому же резистору приложить не постоянное напряжение, а напряжение, описываемое сигналом S(t), то рассеивающаяся в резисторе мощность также будет зависеть от времени. Тогда мгновенную мощность можно описать выражением

Читать:

Sunjavaupdatesched в автозагрузке что это

Чтобы вычислить выделяющуюся за время Тэнергию, мгновенную мощность необходимо интегрировать в пределах интервала Т.

Можно ввести также понятие средней мощности за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:

Во все формулы входит сопротивление нагрузки R. Однако если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство сравнения различных сигналов, то этот параметр можно из формул исключить, приняв R = 1 Ом. Тогда можем определить энергию, мгновенную мощность и среднюю мощность сигнала, принятые в теории сигналов:

Фактически сигнал не производит работы и физически энергии нет, так как сигнал — это абстрактное понятие. Однако формально, взяв квадрат от сигнала, мы говорим о мощности или об энергии сигнала, применяя эти характеристики к сигналу.

В теории передачи информации практическое значение имеет равенство Парсеваля, формально описывающее закон сохранения энергии применительно к сигналам при переходе от временного представления сигнала S(t) к частотному спектру Ф(/ю). Для получения равенства Парсеваля выполним следующие действия.

1. Запишем выражение для определения энергии сигнала S(t) в виде

2. Выразим энергию через спектральную плотность амплитуд, т.е. используем обратное преобразование Фурье (3.17):

Поскольку S (/) не зависит от со, то внесем S (t) во второй интеграл:

В результате получим равенство Парсеваля:

в котором проявляется закон сохранения энергии сигнала: энергия сигнала во временной области равна энергии спектра сигнала в частотной области.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Например, любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию (если он не содержит 6-функций или ветвей, уходящих в бесконечность). А периодический сигнал имеет бесконечную энергию, так как формально он бесконечен во времени. Если энергия сигнала бесконечна, то можно определить его среднюю мощность на всей временной оси. В результате выполнения предельного перехода интервал усреднения стремится к бесконечности:

Если взять квадратный корень из средней мощности, то это даст среднеквадратичное (действующее) значение или эффективное значение сигнала:

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ

Математик может говорить все, что взбредет ему в голову, но физик обязан сохранять хотя бы крупицу здравого смысла.
Джосайя Гиббс. Американский физик, XIX в.

Содержание: Введение. 7.1. Мощность и энергия сигналов. 7.2. Энергетические спектры сигналов. Скалярное произведение сигналов. Взаимный энергетический спектр. Энергетический спектр сигнала. Литература.

введение

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала мгновенная мощность по определению равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов — квадрату функции амплитуд. Энергия сигнала, также по определению, равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала.

7.1. Мощность и энергия сигналов [1,3,16].

Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик.

Как уже рассматривалось ранее, для произвольного сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) — вещественные функции, мгновенная мощность сигнала (плотность распределения энергии) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = a 2 (t)+b 2 (t) = |s(t)| 2 .

Энергия сигнала равна интегралу от мощности по всему интервалу существования сигнала. В пределе:

Е s =w(t)dt =|s(t)| 2 dt.

По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию, выделяемую на определенных интервалах ненулевой длины:

w( t ) = (1/ D t)|s(t)| 2 dt .

Сигнал s(t) изучается, как правило, на определенном интервале Т (для периодических сигналов — в пределах одного периода Т), при этом средняя мощность сигнала:

W T ( t ) = (1/T)w(t) dt = (1/T)|s(t)| 2 dt.

Энергия и норма сигналов связаны соотношениями:

7.2. Энергетические спектры сигналов [1].

Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением :

E = [u(t)+v(t)] 2 dt = E u + E v + 2u(t)v(t) dt. (7.2.1)

Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию :

E uv = 2u(t)v(t) dt. (7.2.2)

Интеграл выражения (7.2.2) для двух вещественных сигналов является фундаментальной характеристикой, пропорциональной взаимной энергии сигналов. Его называют скалярным произведением сигналов :

П uv = (u(t),v(t)) =u(t)v(t) dt = ||u|| Ч ||v|| cos j , (7.2.3)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами :

Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н. С учетом того, что cos j Ј 1, в гильбертовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского :

|П uv | Ј ||u|| Ч ||v||. (7.2.4)

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение также представляет собой вещественное число и вычисляется по формуле :

П uv =u(t)v*(t) dt є u*(t)v(t) dt. (7.2.3′)

Из выражения (7.2.3) следует, что косинус угла между сигналами :

cos j = П uv / (||u|| Ч ||v||). (7.2.5)

При полной тождественности сигналов (равенстве амплитуд и временных координат) имеем j = 0, cos j = 1, и скалярное произведение становится равным энергии сигналов:

П uv = u(t) 2 dt є v(t) 2 dt є ||u|| 2 є ||v|| 2 .

Дискретные сигналы обычно рассматриваются в пространстве Евклида (обозначение пространства — R 2 ). Скалярное произведение двух сигналов в пространстве Евклида:

П uv = (u k ,v k ) =u k v k ,

где n — размерность пространства.

Взаимный энергетический спектр. Из очевидной однозначности энергии взаимодействия сигналов независимо от формы их математического представления (в динамической и частотной модели) следует выражение для скалярного произведения произвольных вещественных сигналов u(t) и v(t) через спектральные плотности сигналов U( w ) и V( w ) в комплексном гильбертовом пространстве:

П uv = (1/2 p )U( w )V*( w ) d w є (1/2 p )U*( w )V( w ) d w . (7.2.6)

W uv ( w ) = U( w )V*( w ), W vu ( w ) = U*( w )V( w ), W uv ( w ) = W vu * ( w ), (7.2.7)

для которых справедливо выражение (7.2.6), называется взаимными энергетическими спектрами вещественных сигналов, и являются функциями распределения плотности энергии взаимодействия сигналов (мощности взаимодействия) по частоте.

В общем случае, за исключением спектров четных функций, взаимные энергетические спектры также являются комплексными функциями:

U( w ) = A u ( w ) + j B u ( w ), V( w ) = A v ( w ) + j B v ( w ).

W uv = A u A v +B u B v +j (B u A v — A u B v ) = Re W uv (w) + j Im W uv ( w ). (7.2.7′)

С учетом четности реальной части и нечетности мнимой части энергетических спектров, интеграл мнимой части выражения (7.2.7′) равен нулю, а, следовательно, скалярное произведение сигналов всегда является вещественным и неотрицательным, как и энергия сигналов:

П uv = (1/2 p )W uv ( w ) d w є (1/ p )Re W uv ( w ) d w. (7 .2.8)

Рис. 7.2.1. Форма и энергетические спектры сигналов.

На рис. 7.2.1 приведена форма двух одинаковых сдвинутых во времени и частично перекрывающихся лапласовских импульсов u(t) и v(t), а также суммарный импульс z(t)=u(t)+v(t). Плотности энергии сигналов W(f) приведены в относительных единицах плотности энергии суммарного сигнала W z (f) на нулевой частоте.

Как видно из графиков, плотности энергии сигналов являются вещественными неотрицательными функциями и содержат только реальные части. В отличие от них, плотность взаимной энергии сигналов является комплексной функцией, при этом модуль плотности по своим значениям на шкале частот соизмерим со средними значениями плотности энергии сигналов на этих частотах и не зависит от их взаимного расположения на временной оси. Для сигналов, одинаковых по форме, модуль взаимной плотности равен значениям плотности энергии сигналов.

Рис. 7.2.2. Взаимные энергетические спектры сигналов.

На рис. 7.2.2 приведены плотности взаимной энергии тех же сигналов при разной величине временного сдвига D t между сигналами. Однако при постоянном значении модуля взаимной энергии сигналов действительная и мнимая функции спектра мощности существенно изменяются при изменении сдвига между сигналами. При незначительной величине временного перекрытия сигналов частота осцилляций реальной и мнимой части плотности взаимной энергии достаточно велика, а относительный коэффициент затухания колебаний (уменьшение амплитудных значений от периода к периоду) достаточно мал. Соответственно, при вычислении скалярного произведения по формуле (7.2.8) положительные амплитудные значения осцилляций Re(W uv ) практически полностью компенсируются отрицательными значениями и результирующий интеграл, а равно и энергия взаимодействия сигналов (удвоенное значение скалярного произведения), близка к нулевой (стремится к нулю по мере увеличения сдвига между сигналами).

При увеличении степени взаимного перекрытия сигналов частота осцилляций плотности взаимной энергии уменьшается ( D t = 50 mkc на рис. 7.2.2) и основным по энергии реальной части спектра становится центральный низкочастотный пик, площадь которого не компенсируется площадью последующей отрицательной полуволны осцилляции. Соответственно, возрастает и энергия взаимодействия сигналов. При полном перекрытии сигналов (при нулевом фазовом угле между сигналами) осцилляции исчезают, и энергия взаимодействия сигналов максимальна.

Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-образ S( w ), то плотность мощности сигнала ( спектральная плотность энергии сигнала ) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)| 2 Ы |S( w )| 2 = S( w )S*( w ) = W( w ). (7.2.9)

Спектр мощности W( w ) — вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром . Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (7.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге D t Ю 0, мнимая часть спектра W uv ( w ) стремится к нулевым значениям, а реальная часть – к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

W uv ( w ) = U( w )V*( w ) = U( w )U*( w ) = |U( w )| 2 = W u ( w ). (7.2.10)

Соответственно, полная энергия сигнала:

Е u =u(t) 2 dt = (1/2 p )W u (t)dt = (1/2 p )|U( w )| 2 d w , (7.2.11)

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра — сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2 df

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

u(t) v*(t) dt =U(f) V*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение.

Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

s(t) =S k exp(j2 p kt/T),

и вычислим среднюю мощность сигнала за один период:

W T = (1/T)s 2 (t) dt = (1/T)S k S m exp(j2 p( k+m)t/T) dt.

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

Как правило, спектры сигналов с крутыми фронтами (например, кодовых сигналов при передаче цифровых данных) являются многолепестковыми с постепенным затуханием энергии в последовательных лепестках. Пример нормированного энергетического спектра прямоугольного импульса длительностью t и приведен на рис. 7.2.3. Спектры выполнены в линейном (сплошная линия) и логарифмическом (пунктир) масштабе по оси значений. Для четкого разделения лепестков функции спектров приведены по безразмерной частотной переменной f Ч t и .

Интегрированием энергетического спектра по интервалам лепестков спектра нетрудно вычислить, что в пределах первого лепестка сосредоточено 90.2% энергии всего сигнала, в пределах второго – 4.8%, в пределах третьего – 1.7%, и т.д. Если форма сигналов в пункте их приема (детектирования) существенного значения не имеет, а регистрация сигналов идет на уровне статистических шумов, равномерно распределенных по всему частотному диапазону, то такие сигналы целесообразно пропускать через фильтр нижних частот с выделением только первого энергетического лепестка сигнала. Естественно, что при этом фронты регистрируемого сигнала будут сглажены. Но при расширении полосы пропускания фильтра на два или три лепестка энергия принимаемого сигнала будет увеличена соответственно на 4.8 или 6.5%, в то время как энергия шумов в 2 или 3 раза.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для вузов. — М. : Высшая школа, 1988.

3. Васильев Д.В. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1982. — 528 с.

16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. — М.: Мир, 1983.