§ 4. ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Интегрирование в формуле (2.20) проводится по произвольному пути, соединяющему начало координат с точкой t = z . Так как подынтегральные функции являются целыми функциями комплексного переменного t , то
результат интегрирования не зависит от пути и функции erf ( z ) и Φ ( z ) являются целыми. Разложение функции erf ( z ) в ряд по степеням z , сходящийся во всей комплексной плоскости, имеет вид
erf ( z ) = 2 ∑ ∞ ( ( − 1 ) k ) z 2 k + 1 .
π k = 0 k ! 2 k + 1
Упражнение. Получите указанное разложение.
Очевидно, функции erf ( z ) и Φ ( z ) являются нечетными, Φ ( 0 ) = erf ( 0 ) = 0 , Φ ( +∞ ) = erf ( +∞ ) = 1, поскольку
Функция ошибок — Error function
В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:
Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.
В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x — это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].
Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как
и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как
Содержание
- 1 Имя
- 2 Приложения
- 3 Свойства
- 3.1 Ряд Тейлора
- 3.2 Производная и интеграл
- 3.3 Ряд Бюрмана
- 3.4 Обратные функции
- 3.5 Асимптотическое разложение
- 3.6 Разложение на непрерывную дробь
- 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
- 3.8 Факториальный ряд
- 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
- 4.2 Полином
- 4.3 Таблица значений
- 5.1 функция дополнительных ошибок
- 5.2 Функция мнимой ошибки
- 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
- 5.4 Обобщенные функции ошибок
- 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
- 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
- 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
- 7.1 Связанные функции
- 7.2 Вероятность
Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок плотность задана как
(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p <\ displaystyle p>и q <\ displaystyle q>как:
(c π) 1 2 ∫ pqe — cx 2 dx = 1 2 (erf (qc) — erf (pc)). <\ displaystyle \ left (<\ frac
<\ pi>> \ right) ^ <\ tfrac <1><2>> \ int _ ^
e ^ <- cx ^ <2>> dx = <\ tfrac <1><2>> \ left (\ operatorname
(q <\ sqrt >) — \ operatorname (p <\ sqrt >) \ right).> Приложения
Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой функцией Хевисайда.
Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина X ∼ Norm [μ, σ] <\ displaystyle X \ sim \ operatorname
[\ mu, \ sigma]> и константа L : Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf (L — μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L — μ σ) 2) <\ Displaystyle \ Pr [X \ Leq L] = <\ frac <1><2 >> + <\ frac <1><2>> \ operatorname
\ left ( <\ frac <<\ sqrt <2>> \ sigma>> \ right) \ приблизительно A \ exp \ left (-B \ left ( <\ frac <\ sigma>> \ right) ^ <2>\ right)> где A и B — верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть μ — L ≥ σ ln k <\ displaystyle \ mu -L \ geq \ sigma <\ sqrt <\ ln
>>> , то: , поэтому становится вероятность 0 при k → ∞ <\ displaystyle k \ to \ infty>.
Свойства
Графики на комплексной плоскости
Интегрируем exp (-z) 
erf (z)Свойство erf (- z) = — erf (z) <\ displaystyle \ operatorname
(-z) = — \ operatorname (z)> означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 <\ displaystyle e ^ <- t ^ <2>>> является четной функцией. Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.
Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.
Серия Тейлора
Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[. ] его плохая сходимость, если x>1».
определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:
, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.
Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:
erf (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N — (2 К — 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N — Z 2 К <\ Displaystyle \ OperatorName < erf>(z) = <\ frac <2><\ sqrt <\ pi>>> \ sum _
^ <\ infty>\ left (z \ prod _ ^ <\ frac <- (2k-1) z ^ <2>> > \ right) = <\ frac <2><\ sqrt <\ pi>>> \ sum _ ^ <\ infty> <\ frac <2n + 1>> \ prod _ ^ <\ frac <-z ^ <2>> >> потому что что — (2 k — 1) z 2 k (2 k + 1) <\ displaystyle <\ frac <- (2k-1) z ^ <2>>
> > выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член). Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:
, которое выполняется для любого комплексного числа z.
Производная и интеграл
Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:
Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :
первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет
Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:
Производные высшего порядка задаются как
ряд Бюрмана
Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений x <\ displaystyle x>, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :
erf (x) = 2 π sgn (x) 1 — e — x 2 (1 — 1 12 ( 1 — e — x 2) — 7 480 (1 — e — x 2) 2 — 5 896 (1 — e — x 2) 3 — 787 276480 (1 — e — x 2)) 4 — ⋯) знак равно 2 π знак (x) 1 — e — x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke — kx 2). <\ displaystyle <\ begin
\ operatorname (x) = <\ frac <2><\ sqrt <\ pi>>> \ operatorname (x) <\ sqrt <1-e ^ <-x ^ <2>>>> \ left (1 — <\ frac <1><12>> \ left (1-e ^ <- x ^ <2>> \ right) — <\ frac <7><480>> \ left (1-e ^ <- x ^ <2>> \ right) ^ <2>— <\ frac <5><896>> \ left (1-e ^ <- x ^ <2 >> \ right) ^ <3>— <\ frac <787><276480>> \ left (1-e ^ <- x ^ <2>> \ right) ^ <4>— \ cdots \ right) \\ [10pt] = <\ frac <2><\ sqrt <\ pi>>> \ operatorname (x) <\ sqrt <1-e ^ <- x ^ <2>>>> \ left (< \ frac <\ sqrt <\ pi>> <2>> + \ sum _ ^ <\ infty>c_ e ^ <- kx ^ <2>> \ right). \ end <выровнено>> Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 = 31 200 <\ displaystyle c_ <1>= <\ frac <31><200>>> и c 2 = — 341 8000, <\ displaystyle c_ <2>= — <\ frac <341><8000>>,> результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796, <\ displaystyle x = \ pm 1,3796,>, где оно меньше 3,6127 ⋅ 10 — 3 <\ displaystyle 3.6127 \ cdot 10 ^ <- 3>> :
Обратные функции
Обратная функция
Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf (w) = z <\ displaystyle \ operatorname
(w) = z> , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 erf — 1 (x) <\ displaystyle \ operatorname ^ <- 1>(x)> , удовлетворяющего erf (erf — 1 ( х)) = х. <\ displaystyle \ operatorname
\ left (\ operatorname ^ <- 1>(x) \ right) = x.> Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | erf — 1 (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, <\ displaystyle \ operatorname
^ <- 1>(z) = \ sum _ ^ <\ infty><\ frac > <2k + 1>> \ left (<\ frac <\ sqrt <\ pi>> <2>> z \ right) ^ <2k + 1>,> Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):
erf — 1 (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). <\ displaystyle \ operatorname
^ <- 1>(z) = <\ tfrac <1><2>> <\ sqrt <\ pi>> \ left (z + <\ frac <\ pi> <12>> z ^ <3>+ <\ frac <7 \ pi ^ <2>> <480>> z ^ <5>+ <\ frac <127 \ pi ^ <3>> <40320>> z ^ <7>+ <\ frac <4369 \ pi ^ <4>> <5806080>> z ^ <9>+ <\ frac <34807 \ pi ^ <5>> <182476800>> z ^ <11>+ \ cdots \ right). > (После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.
Для | z | erf (erf — 1 (z)) = z <\ displaystyle \ operatorname
\ left (\ operatorname ^ <- 1>(z) \ right) = z> . обратная дополнительная функция ошибок определяется как
Для действительного x существует уникальное действительное число erfi — 1 (x) <\ displaystyle \ operatorname
^ <- 1>(x)> удовлетворяет erfi (erfi — 1 (x)) = x <\ displaystyle \ operatorname < erfi>\ left (\ operatorname ^ <- 1>(x) \ right) = x> . функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi — 1 (x) <\ displaystyle \ operatorname ^ <- 1>(x)> . Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений erfi — 1 (x) <\ displaystyle \ operatorname
^ <- 1>(x)> , а для — 1 ≤ x ≤ 1 <\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 1>, сходится следующий ряд Маклорена: , где c k определено, как указано выше.
Асимптотическое разложение
Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x
где (2n — 1) !! — это двойной факториал числа (2n — 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n — 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N ∈ N <\ displaystyle N \ in \ mathbb
> имеется erfc (Икс) знак равно е — Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N — 1 (- 1) N (2 N — 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) <\ displaystyle \ operatorname
(x) = <\ frac >> >>> \ sum _ ^ (- 1) ^ <\ frac <(2n-1) !!><(2x ^ <2>) ^ >> + R_ (x)> где остаток в нотации Ландау равен
RN (x) = O (x 1 — 2 N e — x 2) <\ displaystyle R_
( x) = O \ left (x ^ <1-2N>e ^ <- x ^ <2>> \ right)> Действительно, точное значение остатка равно
который легко следует по индукции, записывая
e — t 2 = — (2 t) — 1 (e — t 2) ′ <\ displaystyle e ^ <- t ^ <2>> = — (2t) ^ <- 1>\ left (e ^ <- t ^ <2>> \ right) ‘>
и интегрирование по частям.
Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).
Расширение непрерывной дроби
A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:
Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
Факториальный ряд
- Обратное:
- Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :
Численные приближения
Приближение элементов сарными функциями
-
дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:
- Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как
- Точное приближение дополнительных функций для x ∈ [0, ∞) <\ displaystyle x \ in [0, \ infty)>дано Karagiannidis Lioumpas (2007), которые показаны для соответствующих выбора параметров
- Одноканальная нижняя граница:
- Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:
Многочлен
Приближение с максимальной ошибкой 1,2 × 10-7 <\ displaystyle 1,2 \ times 10 ^ <- 7>> для любого действительного аргумента:
τ = t ⋅ exp (- x 2 — 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 — 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 — 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 — 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) <\ displaystyle <\ begin
Таблица значений
| x | erf(x) | 1-erf (x) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0,02 | 0,022564575 | 0,977435425 |
| 0,04 | 0,045111106 | 0,954888894 |
| 0,06 | 0,067621594 | 0, 932378406 |
| 0,08 | 0.090078126 | 0,909921874 |
| 0,1 | 0,112462916 | 0,887537084 |
| 0,2 | 0,222702589 | 0,777297411 |
| 0,3 | 0,328626759 | 0,671373241 |
| 0, 4 | 0,428392355 | 0,571607645 |
| 0,5 | 0,520499878 | 0,479500122 |
| 0,6 | 0.603856091 | 0,396143909 |
| 0,7 | 0,677801194 | 0,322198806 |
| 0,8 257> | 0,742100965 | 0,257899035 |
| 0,9 | 0,796908212 | 0,203091788 |
| 1 | 0,842700793 | 0, 157299207 |
| 1,1 | 0,88020507 | 0,11979493 |
| 1,2 | 0,910313978 | 0,089686022 |
| 1,3 | 0,934007945 | 0,065992055 |
| 1,4 | 0.95228512 | 0,04771488 |
| 1,5 | 0, 966105146 | 0,033894854 |
| 1,6 | 0,976348383 | 0,023651617 |
| 1,7 | 0,983790459 | 0,016209541 |
| 1,8 | 0,989090502 | 0,010909498 |
| 1,9 | 0,992790429 | 0,007209571 |
| 2 | 0,995322265 | 0,00477 |
| 2.1 | 0.997020533 | 0.002979467 |
| 2.2 | 0.998137154 | 0,001862846 |
| 2,3 | 0,998856823 | 0,001143177 |
| 2,4 | 0,999311486 | 0,000688514 |
| 2,5 | 0.999593048 | 0.000406952 |
| 3 | 0.99997791 | 0,00002209 |
| 3,5 | 0,999999257 | 0,000000743 |
Связанные функции
Дополнительная функция
дополнительная функция ошибок, обозначается erfc <\ displaystyle \ mathrm
erfc (x) = 1 — erf (x) = 2 π ∫ x ∞ e — t 2 dt знак равно е — Икс 2 erfcx (х), <\ displaystyle <\ begin <выровнено>\ OperatorName
, который также определяет erfcx <\ displaystyle \ mathrm
erfc (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp (- x 2 sin 2 θ) d θ. <\ displaystyle \ operatorname
Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 — erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc <\ displaystyle \ mathrm
erfc (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр (- x 2 sin 2 θ — y 2 cos 2 θ) d θ. <\ displaystyle \ operatorname
Функция мнимой ошибки
мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как
erfi (x) = — i erf (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), <\ displaystyle <\ begin
где D (x) — функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).
Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi (x) <\ displaystyle \ operatorname
Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :
w (z) = e — z 2 erfc (- iz) = erfcx (- iz). <\ displaystyle w (z) = e ^ <- z ^ <2>> \ operatorname
Кумулятивная функция распределения
Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,
Φ (x) = 1 2 π ∫ — ∞ xe — t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf (x 2)] = 1 2 erfc (- x 2) <\ displaystyle \ Phi (x) = <\ frac <1><\ sqrt <2 \ pi>>> \ int _ <- \ infty>^
или переставлен для erf и erfc:
erf ( x) = 2 Φ (x 2) — 1 erfc (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 — Φ (x 2)). <\ displaystyle <\ begin
Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как
Обратное значение из Φ <\ displaystyle \ Phi>известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как
пробит (p) = Φ — 1 (p) = 2 erf — 1 (2 p — 1) = — 2 erfc — 1 (2 p). <\ displaystyle \ operatorname
Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.
Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.
erf (x) = sgn (x) P (1 2, x 2) = sgn (x) π γ (1 2, x 2). <\ displaystyle \ operatorname
Обобщенные функции ошибок
График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 — e) / π <\ displaystyle \ scriptstyle <\ sqrt <\ pi>>> . красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).
Некоторые авторы обсуждают более общие функции:
E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е — Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. <\ displaystyle E_
^ <\ infty>(- 1) ^
<\ frac
- E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 (x) = xe π <\ displaystyle \ textstyle E_ <0>(x) = <\ dfrac
>>>> - E2(x) — функция, erf (x) ошибки.
После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.
Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :
E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) — Γ (1 n, xn)), x>0. <\ displaystyle E_
Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:
Итерированные интегралы дополнительных функций
Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как
inerfc (z) = ∫ z ∞ in — 1 erfc (ζ) d ζ i 0 erfc (z) = erfc (z) i 1 erfc (z) = ierfc (z) знак равно 1 π е — z 2 — z erfc (z) я 2 erfc (z) = 1 4 [erfc (z) — 2 z ierfc (z)] <\ displaystyle <\ begin
Общая рекуррентная формула:
2 ninerfc (z) = in — 2 erfc (z) — 2 цинк — 1 erfc (z) <\ displaystyle 2n \ operatorname erfc> (z) = \ operatorname erfc> (z) -2z \ operatorname erfc> (z)>
У них есть степенной ряд
в erfc (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N — JJ! Γ (1 + N — J 2), <\ displaystyle i ^
из следуют свойства симметрии
i 2 m ERFC (- Z) знак равно — я 2 m ERFC (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м — д) — 1 (2 д)! (м — д)! <\ displaystyle i ^ <2m>\ operatorname ^
i 2 m + 1 erfc (- z) = i 2 m + 1 erfc (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м — д) — 1 (2 д + 1)! (м — д)!. <\ displaystyle i ^ <2m + 1>\ operatorname ^
Функция ошибок
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая [math]\displaystyle< \operatorname
Комплексная функция ошибок, обозначаемая [math]\displaystyle< w(x) >[/math] , также определяется через функцию ошибок:
Содержание
Свойства
- Функция ошибок нечётна:
- Для любого комплексного [math]\displaystyle< x >[/math] выполняется
- Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
- Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
- Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
- При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка [math]\displaystyle< z=\infty >[/math] будет для неё существенно особой.
- Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
-
функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:
- Обратная функция ошибок представляет собой ряд
Применение
Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением [math]\displaystyle< \sigma >[/math] , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на [math]\displaystyle< a >[/math] , равна [math]\displaystyle< \operatorname
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
При больших [math]\displaystyle< x >[/math] полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного [math]\displaystyle< x >[/math] этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления [math]\displaystyle< \operatorname
Другое приближение даётся формулой
Родственные функции
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым [math]\displaystyle< \Phi(x) >[/math]
Обратная функция к [math]\displaystyle< \Phi >[/math] , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается [math]\displaystyle < \operatorname
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
- [math]\displaystyle< E_0(x) >[/math] — прямая линия, проходящая через начало координат: [math]\displaystyle< E_0(x)=\frac
> >[/math] - [math]\displaystyle< E_2(x) >[/math] — функция ошибок [math]\displaystyle< \operatorname
\,x >[/math] .
После деления на [math]\displaystyle< n! >[/math] все [math]\displaystyle< E_n >[/math] с нечётными [math]\displaystyle< n >[/math] выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про [math]\displaystyle< E_n >[/math] с чётными [math]\displaystyle< n >[/math] . Все обобщённые функции ошибок с [math]\displaystyle< n\gt 0 >[/math] выглядят похоже на полуоси [math]\displaystyle< x\gt 0 >[/math] .
На полуоси [math]\displaystyle< x\gt 0 >[/math] все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Повторные интегралы дополнительной функции ошибок
Повторные интегралы [math]\displaystyle < \operatorname
[math]\displaystyle< \operatorname
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
Реализации
В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок [math]\displaystyle < \operatorname
В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит [2] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой [3] Apache Software Foundation.
Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна [4] из стандартной библиотеки math , начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].
В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math [5] .
gives the error function 
.
gives the generalized error function 
.
Details
-
Mathematical function, suitable for both symbolic and numerical manipulation. Erf [ z ] is the integral of the Gaussian distribution, given by
. Erf [ z 0 , z 1 ] is given by 
. Erf [ z ] is an entire function of z with no branch cut discontinuities. For certain special arguments, Erf automatically evaluates to exact values. Erf can be evaluated to arbitrary numerical precision. Erf automatically threads over lists. Erf can be used with Interval and CenteredInterval objects. »
Examples
Basic Examples (5)
Plot over a subset of the reals:
Plot over a subset of the complexes:
Series expansion at the origin:
Series expansion at Infinity :
Scope (40)
Numerical Evaluation (6)
Evaluate to high precision:
The precision of the output tracks the precision of the input:
Evaluate for complex arguments:
Evaluate Erf efficiently at high precision:
Erf threads elementwise over lists:
Erf can be used with Interval and CenteredInterval objects:
Specific Values (3)
Simple exact values are generated automatically:
Values at infinity:
Find the zero of Erf :
Visualization (2)
Plot the Erf function:
Plot the real part of 
:
Plot the imaginary part of 
:
Function Properties (10)
Erf is defined for all real and complex values:
Erf takes all real values between – 1 and 1:
Erf is an odd function:
Erf has the mirror property ![erf(TemplateBox[<z>, Conjugate])=TemplateBox[<<erf, (, z, )>>, Conjugate]» width=»86″ height=»15″ /> :</p>
<p>Erf is an analytic function of x :</p>
<p>It has no singularities or discontinuities:</p>
<p>Erf is not surjective:</p>
<p>Erf is neither non-negative nor non-positive:</p>
<p>Erf is neither convex nor concave:</p>
<h4>Differentiation (3)</h4>
<p>Formula for the <img loading=](https://reference.wolfram.com/language/ref/Files/Erf.en/8.png){kind=small}
derivative:
Integration (3)
Indefinite integral of Erf :
Definite integral of an odd integrand over an interval centered at the origin is 0:
Series Expansions (4)
Taylor expansion for Erf :
Plot the first three approximations for Erf around 
:
General term in the series expansion of Erf :
Asymptotic expansion of Erf :
Erf can be applied to a power series:
Integral Transforms (2)
Compute the Fourier transform of Erf using FourierTransform :
Function Identities and Simplifications (3)
Integral definition of the error function:
Argument involving basic arithmetic operations:
The two-argument form gives the difference:
Function Representations (4)
Error function in terms of the incomplete Gamma :
Represent in terms of MeijerG using MeijerGReduce :
Erf can be represented as a DifferentialRoot :
Generalizations & Extensions (1)
The two-argument form gives the difference:
Applications (2)
Express the CDF of NormalDistribution in terms of the error function:
The cumulative probabilities for values of the normal random variable lie between -n σ and n σ :
The solution of the heat equation for a piecewise ‐ constant initial condition: