Зарядка конденсатора.
При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель Пв положение 1 (см. рис. 1).
По второму закону Кирхгофа можно записать:
UR+UC=. (7)
.
Преобразуем это уравнение к следующему виду:
. (8)
Уравнение (8) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.
Уравнение (5) дает общее решение однородного уравнения. Частное решение получим из условия, что конденсатор заряжается до напряжения UC = при бесконечно большом времени зарядки. Поэтому
qчастн= ·С.(9)
Сложив (5) и (9), получим
. (10)
Найдем const из начального условия приt= 0, UC=0, q=0.
, const = C.
С учетом этого из (10) находим
.
Разделив это уравнение на С, с учетом (2), запишем:
. (11)
Время релаксации.
Из уравнений (6) и (11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведение RC. Поэтому произведение RCназываютпостоянной времении обозначают буквой(тау).
Выясним физический смысл постоянной времени . В соответствии с (6) можем записать
.
Следовательно, — это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится ве раз.
Постоянную времени называют также временем релаксации.
Найдем уравнение касательной графика функции (6) с учетом (12).
.
Из рис. 2 следует, что — это время, за которое напряжение на конденсаторе достигло бы установившегося значенияUC=0, если с моментаtскорость изменения напряжения на конденсаторе не изменялась бы.
Описание лабораторной установки
Принципиальная электрическая схема лабораторной установки представлена на рис. 1. Все элементы схемы собраны в одной установке. В установке также имеется вольтметр, измеряющий напряжение на конденсаторе (на рис. 1 не показан). Используется высокоомный вольтметр, поэтому через него проходит очень небольшой ток и вольтметр практически не влияет на результаты эксперимента.
Экспериментальное изучение процессов заряда и разряда конденсатора
Цель работы: экспериментальное изучение процессов заряда и разряда конденсатора.
Задача: определение по кривой релаксации заряда и разряда «половинного времени».
Приборы и принадлежности: преобразователь импульсов (кассета ФПЭПИ), два магазина сопротивлений (МС-1, МС-2), магазин емкостей (МЕ), источник питания (ИП), звуковой генератор (РQ), электронный осциллограф (РО).
Электрические конденсаторы – это системы, состоящие из двух или более проводников (обкладок) и разделенные слоем диэлектрика малой толщины по сравнению с линейными размерами обкладок. Конденсаторы применяются чаще всего в электрических цепях. Энергия заряженного конденсатора может быть использована в электросварке, в генераторах импульсов высоких напряжений и больших токов, в фотографии (вспышка света), при исследовании термоядерных реакций, в технике высоких частот и т. д.
Рассмотрим процессы заряда и разряда конденсатора. Если заряженный конденсатор замкнуть проводником, то по проводу потечет ток, и конденсатор будет разряжаться.
Пусть Q – заряд конденсатора, U – разность потенциалов между его обкладками, С – электроемкость, R – сопротивление цеп, через которую происходит разряд. Для мгновенных значений заряда Q, силы тока I и напряжения U можно записать:
Знак «минус» взят потому, что заряд Q на конденсаторе со временем убывает.
Полагаем, что мгновенное значение тока одно и то же во всех поперечных сечениях проводника, замыкающего конденсатор, а мгновенное электрическое поле такое же, как к электростатике при тех же зарядах на обкладках конденсатора. Исключая силу тока I и напряжение U из уравнений (1), имеем
Интегрируя это выражение, получаем
где В – постоянная интегрирования, которая определяется на начальных условий, т. е. при t = 0 заряд конденсатора Q0:
где е – основание натуральных логарифмов. Из выражения (2) следует, что заряд на конденсаторе при его разряде изменяется по экспоненциальному закону. По такому же закону изменяется и напряжение на конденсаторе (рис. 1, кривая 1):
где U0 – напряжение в начальный момент времени. Из выражения (2) следует, если , то
Величина τ имеет размерность времени и называется временем релаксации. Вообще релаксацией называется любой самопроизвольный процесс перехода системы в устойчивое равновесное состояние. В данном случае это процесс разряда конденсатора.
Для определения времени релаксации можно измерить время t1/2, за которое заряд (напряжение) (см. выражения (2), (3)) уменьшается до половины первоначальной величины:
где t1/2 – так называемое «половинное» время. Решая последнее выражение относительно t1/2, имеем
Выражение (3) можно представить в виде
где А – показывает логарифм отношения напряжений, меняющихся за время t.
Закон изменения напряжения на конденсаторе при его заряде (без вывода, см. [1]) выглядит как
и на рис. 1 представлен кривой 2.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ
Для изучения процессов заряда и разряда конденсатора используется установка, которая состоит из двух магазинов сопротивления (МС-1, МС-2) и магазина емкостей (МЕ), собранных в отдельных кассетах, преобразователя импульсов (ПИ), источника питания (ИП), электронного осциллографа (РО) и звукового генератора (РQ). Электрическая схема установки представлена на рис. 2.
Синусоидальное напряжение звукового генератора (PQ) с помощью источника прямоугольных импульсов (ПИ) преобразуется в прямоугольные импульсы. Изменяя частоту выходного сигнала звукового генератора PQ, можно изменить частоту следования импульсов. Длительность импульсов изменяется регулировкой ручки «скважность» и нажатием кнопок «Грубо» и «Точно» на источнике прямоугольных импульсов (ПИ). Скважность – отношение периода колебаний Т к длительности импульса t0.
Принципиальная электрическая схема для наблюдения процессов заряда и разряда конденсатора изображена на рис. 3.
От преобразователя (ПИ) прямоугольные импульсы поступают на сопротивление R1 электрической цепи. В момент времени t1 (рис. 4) конденсатор начинает заряжаться через сопротивление R2, напряжение на цепи увеличивается от нуля до U0 по экспоненциальному закону согласно выражению (6) (см. рис. 1). В момент времени t2 (рис. 4) импульс ПИ заканчивается, напряжение на входе схемы равно нулю, и конденсатор начинает разряжаться через сопротивление R = R1 + R2. Напряжение на обкладках конденсатора уменьшается по экспоненциальному закону согласно выражению (3) (см. рис. 1).
На рис. 4 приведена зависимость напряжения на обкладках конденсатора для различных моментов времени при его зарядке и разрядке. В момент времени t3 от преобразователя импульсов (ПИ) поступает новый импульс и процессы заряда и разряда повторяются. Кривые заряда и разряда конденсатора можно наблюдать на экране электронного осциллографа. Время релаксации процесса заряда равно τзар = R2C, а время релаксации процесса разряда равно τраз = (R1 + R2)C. Сопротивление R1 и R2 следует выбирать такими, чтобы выходное сопротивление преобразователя импульсов было много больше R1, а входное сопротивление электронного осциллографа РО было много больше R = R1 + R2. При надлежащем подборе частоты следования импульсов наблюдается почти полная релаксация (пунктирная кривая рис. 4). Однако при увеличении сопротивления или емкости конденсатор может не успеть полностью зарядиться за время, равное длительности импульса t0 = t2 – t1, или полностью разрядиться за время t3 – t2 (сплошная кривая на рис. 4). Почти полной релаксации в этом случае можно добиться изменением частоты следования импульсов или изменением скважности импульсов.
Перед началом измерений следует ознакомиться с работой электронного осциллографа, звукового генератора.
Что такое время релаксации конденсатора
При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель П в положение 1 (см. рис. 1).
По второму закону Кирхгофа можно записать:
.
Преобразуем это уравнение к следующему виду:
. (8)
Уравнение (8) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.
Уравнение (5) дает общее решение однородного уравнения. Частное решение получим из условия, что конденсатор заряжается до напряжения UC = eпри бесконечно большом времени зарядки. Поэтому
Сложив (5) и (9), получим
. (10)
Найдем const из начального условия при t= 0, UC=0, q=0.
, const = e × C.
С учетом этого из (10) находим
.
Разделив это уравнение на С, с учетом (2), запишем:
. (11)
Время релаксации.
Из уравнений (6) и (11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведениеRC. Поэтому произведение RC называют постоянной времени и обозначают буквой t (тау).
Выясним физический смысл постоянной времени t. В соответствии с (6) можем записать
 |
.
Найдем уравнение касательной графика функции (6) с учетом (12).
.
Дата добавления: 2016-04-14 ; просмотров: 1834 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
Зависимости силы тока и разности потенциалов при зарядке и разрядке конденсатора носит экспоненциальную зависимость, которая определяется величиной параметра tтеор= RC (рис.3).
Это произведение имеет размерность времени. Из дифференциальных уравнений видно, что время релаксации t есть величина обратная скорости изменения заряда на обкладках конденсатора.
Отсюда следует, что чем больше t, тем медленнее будет уменьшаться с течением времени множитель и, следовательно, потребуется больше времени, чтобы заряд напряжения или ток достигли заданного уровня.
Таким образом, постоянная времени t характеризует длительность переходных процессов, происходящих в цепи. За время t=t заряд конденсатора либо уменьшается в e раз при разрядке конденсатора, либо достигает значения в e раз меньшего, чем максимальное q0 при его зарядке.
Имея экспоненциальные кривые напряжения или тока, можно найти постоянную времени цепи tэксп. Для этого на графике U(t) или I(t) при разрядке и зарядке выбирают уровень либо (рис.4а). Либо на графике U(t) при зарядке конденсатора уровень и по пересечению с графиком определяют t (рис.4б).
Исследование переходных процессов при зарядке и разрядке конденсаторов, построение экспоненциальных кривых, определение постоянной времени и является целью данной лабораторной работы.
Для проверки экспоненциальной зависимости и определения времени релаксации используют другой метод. Если прологарифмировать (8) и (12), то получим зависимости типа:
Построив графики зависимости от t или от t, получим прямые, тангенс наклона которых соответствует .
Изучение процесса заряда и разряда конденсатора
Лабораторная работа № 6
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ЗАРЯДА И РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение процессов заряда и разряда конденсаторов в RC-цепях, ознакомление с работой приборов, используемых в импульсной электронной технике.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Рассмотрим схему, пред-ставленную на рис. 1. Схема включает в себя источник постоянного тока, активное сопротивление и конденсатор, процессы заряда и разряда в котором и будем рассматривать. Эти процессы разберем по-отдельности.
Пусть вначале источник тока e подключен к конденсатору С через сопротивление R. Тогда конденсатор зарядится так, как показано на рис. 1. Переведем ключ К из положения 1 в положение 2. В результате конденсатор, заряженный до напряжения e, начнет разряжаться через сопротивление R. Считая ток положительным, когда он направлен от положительно заряженной обкладки конденсатора к отрицательно заряженной, можем записать
где i – мгновенное значение силы тока в цепи, знак «минус» которого показывает, что появление тока в цепи i связано с уменьшением заряда q на конденсаторе;
q и С – мгновенные значения заряда и напряжения на конденсаторе.
Очевидно, что первые два выражения представляют собой определения силы тока и электроемкости, соответственно, а последнее – закон Ома для участка цепи.
Из двух последних соотношений выразим силу тока i следующим образом:
Тогда можно записать уравнение
Это дифференциальное уравнение, решением которого является экспоненциальная функция вида
где q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени t=0;
– время релаксации RC-цепи, измеряемое в секундах.
Поделив обе части уравнения (3) на величину емкости С, получим
где e= – напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t=0.
Зависимость напряжения на конденсаторе от времени в рассмотренном процессе показана на рис. 2.
Зная данную зависимость, можно вычислить время q, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в 2 раза. Подставив значение U=e/2 в уравнение (4), получим
e=e, (5)
откуда можно получить значение
Переведем ключ К на схеме (рис. 1) из положения 2 в положение 1. В результате начнется заряд конденсатора от батареи, имеющей ЭДС e, через сопротивление R.
Уравнения, описывающие заряд конденсатора, аналогичны выражениям (1)
, e–U, q=CU. (7)
Предполагаем, что внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало по сравнению с величиной R. Теперь ток в цепи считается положительным, когда он течет в направлении положительно заряженной обкладки конденсатора. Исключая в уравнениях (7) силу тока i и напряжение на конденсаторе U, получим уравнение:
Запишем уравнение (8) в следующем виде:
Решая это уравнение, получим
Коэффициент А най-дем из начальных условий, а именно, q=0 при t=0 :
Рис. 3
В результате получаем зависимость q(t):
Поделив обе части уравнения (11) на С, получим зависимость напряжения на конденсаторе U от времени
Зависимость U(t) показана на рис. 3. Подставив в (12) значение напряжения, равного , получим
где q – время, за которое напряжение на конденсаторе вырастает до половины своего максимального значения ( рис. 4). Отсюда время
Следовательно, дли-тельность заряда до по-ловины максимального значения напряжения на конденсаторе будет та-кой же, как и при разряде конденсатора (см. (6)).
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Блок-схема установки представлена на рис.5.
Схема состоит из генератора прямоугольных импульсов ГИ типа Г5-54, магазина сопро-тивлений МС величиной от 0 до 10 кОм, элек-тронного осциллографа ЭО типа С1-83, и ис-следуемой емкости С.
Генератор позволяет получать прямоугольные импульсы разной длительности и амплитуды с разной частотой повторения, позволяет сдвигать время начала импульса относительно синхронизирующего импульса.
Прямоугольный импульс через магазин сопротивлений подается на исследуемый конденсатор и вход «Y» осциллографа. Осциллограф позволяет визуально следить за процессом заряда и разряда конденсатора. В работе используется емкость С»0,01 мкФ, R изменяется от 0 до 10 кОм. Для наблюдения процессов в RC–цепи удобной при этих значениях R и С является частота повторения 1–2 кГц. Длительность прямоугольного импульса должна быть достаточной для того, чтобы конден-сатор успевал зарядиться до напряжения, равного ам-плитуде импульса.
Из рис. 6 видно, что длительность прямоуголь-ного импульса Т меньше постоянной заряда RC–цепи t. Следовательно, конден-сатор не успевает зарядить-ся. Чтобы зарядить конден-сатор до напряжения, рав-ного амплитуде импульса, необходимо выполнить условие Т>>t.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с блок-схемой установки, представленной на рис. 5.
2. Ознакомиться с работой генератора импульсов Г5-54, электронного осциллографа С1-83.
3. Подготовить генератор импульсов к работе, для чего выполнить следующие операции:
а) нажать кнопку «запуск»;
б) установить частоту повторения 2,0´103;
в) установить временный сдвиг 2,0´10;
г) установить длительность 2,0´10 mS;
е) нажать кнопку ´0,3;
ж) переключатель синхроимпульсов установить в положение «L»;
з) ручку «амплитуды повернуть на 1/3 вправо.
4. Подготовить осциллограф к работе, для чего:
а) ручку «развертка» поставить в позицию 10 mS;
б) нажать кнопку «0,5» внешней синхронизации;
г) вытянуть ручку «ждущая»;
д) род работы I канала установить в позицию «
е) переключатель «V/дел» поставить в положение «0,5»;
ж) нажать кнопку «I» слева от экрана.
5. Включить стенд и приборы.
6. Установить на экране осциллографа устойчивую картину, вращая ручки «развертка плавно».
7. Установить на магазине сопротивлений 1 кОм.
Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ЗАРЯДА КОНДЕН-САТОРА
1. Установить величину усиления канала Y осциллографа таким, чтобы высота импульса на экране была максимально возможной. Ввести некоторую задержку импульса, чтобы не пропало его начало. Установить частоту развертки осциллографа такой, чтобы на экране уместилась полная кривая заряда конденсатора.
2. Измерить зависимость у(х), при этом измеряя х в мкс, а у – в вольтах. Результаты занести в таблицу
3. Построить кривую заряда конденсатора.
Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ РАЗРЯДА КОНДЕН-САТОРА
1. Аналогично предыдущему упражнению провести измерения для разряда конденсатора. Результаты занести в подобную таблицу.
2. По кривой разряда конденсатора определить время q. Вычислить постоянную времени t, используя формулу (6).
3. Учитывая, что погрешность определения q зависит в основном от приборной, оценить и рассчитать относительную погрешность
4. Аналогичные измерения провести для значений R=2 кОм и 0,5 кОм.
4. На основании полученных значений t для 3-х разных R вычислить величину емкости С. Определить относительную погрешность
где Dt и DR – абсолютные погрешности измерения.
5. Определить абсолютную погрешность величины емкости при данных измерениях.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое электрическая цепь, какие элементы входят в состав замкнутой электрической цепи?
2. Что такое электроемкость проводника? От каких параметров зависит величина электроемкости плоского конденсатора?
3. Оъясните понятие «RC-цепочка»?
4. Переходные процессы, в каких цепях они возможны?
5. Что означают «мгновенные значения» электрического тока и напряжения, как их вычислить?
6. Как определить максимальные значения напряжения на конденсаторе и тока в цепи?
7. Что такое постоянный электрический ток? Чем он отличается от переменного?
8. Каким образом определяется направление тока в цепи?
9. Вывести уравнение (1).
10. Что такое время релаксации?
11. Какова зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его разрядке?
12. Вывести закон изменения напряжения на конденсаторе при зарядке конденсатора.
13. Объясните физический смысл уравнения (6).
14. Сравните время заряда и разряда конденсатора.
15. Каким условиям должна удовлетворять длительность импульса генератора?
16. Объяснить работу установки по принципиальной электрической схеме.
17. Нарисовать блок-схему установки и рассказать порядок выполнения работы.
18. Почему в данной установке нет источника постоянного тока, показанного на принципиальной схеме?
19. Можно ли в данной установке применить генератор синусоидального напряжения, пилообразного напряжения?
20. Какой частоты и длительности импульсы должен вырабатывать генератор?
21. Для чего нужно в данной схеме активное сопротивление R? Какой должна быть ее величина?
22. Какого типа конденсаторы и резисторы могут применяться в данной установке?
23. Какие значения могут иметь емкость и сопротивление в данной схеме?
24. Для чего нужна синхронизация сигнала осциллографа?
25. Каким образом добиваются оптимального вида сигнала на экране осциллографа? Какие регулировки при этом применяются?
26. Чем отличаются цепи заряда и разряда конденсатора?
27. Какие измерения нужно провести, чтобы определить емкость конденсатора в RC-цепи?
28. Как оценить погрешности измерений при работе установки?
29. Как повысить точность определения времени релаксации RC-цепи?
30. Назовите пути повышения точности определения емкости конденсатора.
Переходные процессы в цепях постоянного тока с конденсатором
ПЕРЕХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ называется процесс перехода от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером такого процесса является зарядка и разрядка конденсатора. В ряде случаях законы постоянного тока можно применять и к изменяющимся токам, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение силы тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи называют квазистационарными
РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА. Если обкладки заряженного конденсатора ёмкости С замкнуть через сопротивление R, то через это сопротивление потечёт ток. Согласно закону Ома для однородного участка цепи
где I и U – мгновенные значения силы тока в цепи и напряжения на обкладках конденсатора. Учитывая, что alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> и alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />, преобразуем закон Ома к виду
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> (1)
В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования получим закон изменения заряда конденсатора со временем
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />, (2)
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />, (3)
где I0 — сила тока в цепи в момент времени t = 0. Из уравнения (3) видно, что t есть время, за которое сила тока в цепи уменьшается в е раз.
Зависимость от времени количества теплоты, выделившегося на сопротивлении R при разряде конденсатора можно найти из закона Джоуля-Ленца:
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> (4)
ЗАРЯДКА КОНДЕСАТОРА.
Считаем, что первоначально конденсатор не заряжен. В момент времени t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошёл ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут всё в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его. Запишем закон Ома для этой замкнутой цепи:
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />.
После разделения переменных уравнение примет вид:
Проинтегрировав это уравнение с учётом начального условия
q = 0 при t = 0 и с учётом того, что при изменении времени от 0 до t заряд изменяется от 0 до q, получим
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />, или после потенцирования
q = alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. (4)
alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. (5)
Из закона сохранения энергии следует, что при зарядке конденсатора для любого момента времени работа источника тока dАист рана сумме количества джоулевой теплоты dQ, выделившейся на резисторе R и изменению энергии конденсатора dW:
где dAист = alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />Idt, dQ =I 2 Rdt, dW =d alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. Тогда для произвольного момента времени t имеем:
Аист(t)= alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />= alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />=С alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. (6)
Q(t)= alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />=С alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. (7)
W(t) = alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />= alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />. (8)
МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ:
ЭКСПЕРИМЕНТ 1
Определение ёмкости конденсатора методом разрядки
1.Соберите на рабочей части экрана замкнутую электрическую цепь, показанную ниже на рис.2. Для этого сначала щёлкните мышью на кнопке alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />э.д.с.,расположенной в правой части окна эксперимента. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки, и щёлкните маркером мыши в виде вытянутого указательного пальца в том месте, где должен быть расположен источник тока. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора э.д.с., нажмите на левую кнопку мыши, удерживая её в нажатом состоянии, меняйте величину э.д.с. и установите 10 В. Аналогичным образом включите в цепь 4 других источника тока. Суммарная величина э.д.с. батареи должна соответствовать значению, указанному в таблице 1 для вашего варианта.
Таким же образом разместите далее на рабочей части экрана 7 ламп Л1-Л7 ( кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />), Ключ К (кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />), вольтметр (кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />), амперметр (кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />), конденсатор (кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />). Все элементы электрической цепи соедините по схеме рис.1 с помощью монтажных проводов (кнопка alt=»Что такое время релаксации конденсатора» />).
2. Щёлкните мышью на кнопке «Старт». Должна засветиться лампа Л7, а надпись на кнопке измениться на «Стоп». Курсором мыши замкните ключ К.
3. После установления в цепи стационарного тока ( должны погаснуть лампы Л5 и Л6 и светиться лампы Л1-Л4) запишите показания электроизмерительных приборов в таблицу 2.
4. Нажмите на кнопку «Стоп» и курсором мыши разомкните ключ К.
5. Двумя короткими щелчками мыши на кнопке «Старт» запустите и остановите процесс разрядки конденсатора. Показания амперметра будут соответствовать начальному току разрядки конденсатора I0. Запишите это значение в таблицу 3.
6. Вновь замкните ключ, зарядите конденсатор и повторите п.п. 5, 6 ещё 4 раза.
7. Для каждого опыта рассчитайте It= I0/2,7- силу тока, которая должна быть в цепи разрядки конденсатора через время релаксации t и запишите эти значения в таблицу 3.
8. При разомкнутом ключе нажатием кнопки «Старт» запустите процесс разрядки конденсатора и одновременно включите секундомер.
9. Внимательно наблюдайте за изменением показаний амперметра в процессе разрядки конденсатора. Остановите секундомер и синхронно нажмите кнопку «Стоп» при показании амперметра, равном или близким к It. Запишите это значение времени t1 в таблицу 3.
10. Проделайте опыты п.п.8, 9 ещё 4 раза.
Таблица 1. Суммарное значение э.д.с. источников тока
Таблица 2. Определение сопротивления лампы.
Таблица 3. Результаты измерений и расчётов.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ:
1. По закону Ома для участка цепи Л1-Л4: alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> и результатам измерений, приведённым в таблице 2, определите сопротивление одной лампы.
2. По формуле alt=»Что такое время релаксации конденсатора» /> (при разрядке конденсатора квазистационарный ток протекает по 6 последовательно соединённым лампам) определите ёмкость конденсатора и запишите эти значения в таблицу 3.
3. Рассчитайте погрешности измерений и сформулируйте выводы по результатам проделанной работы.
ЭКСПЕРИМЕНТ 2
Изучение зависимости от времени количества тепла, выделившегося на нагрузке при разряде конденсатора
Таблица 4. Результаты измерений и расчетов
Время разрядки t, с
Кол-во тепла Q за t с, Дж
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ:
ЭКСПЕРИМЕНТ 3
Проверка закона сохранения энергии в процессе зарядки конденсатора через сопротивление
Рис.3
Характеристическое уравнение цепи и ее постоянная времени
τ – постоянная времени RC-цепи – это временна́я характеристика простой электрической цепи, в которой происходит изменение заряда конденсатора С за счёт его разряда через сопротивление R. Постоянная времени вычисляется как τ=R*C [Ф*Ом], что эквивалентно размерности «секунда» [c].
Как показано на рисунке, постоянная времени τ входит в аналитическую функцию описания процесса изменения напряжения на конденсаторе U(t) при его заряде от источника напряжения через сопротивление R. На рисунке U(0) – это начальное напряжение на конденсаторе (в момент времени t=0), а U(∞) – это напряжение источника напряжения, к которому асимтотически стремится U(t).
За время, равное τ, напряжение на конденсаторе изменяется от U(0) до U(∞) + [U(0) — U(∞)]/e, где e=2,718. .
Экспоненциальный заряд конденсатора происходит для случая U(∞) > U(0), а экспоненциальный разряд – для случая U(∞) -t/τ ) в моменты времени t от t=0,001τ до t=10τ протекания экспоненциального процесса.
| Время процесса в единицах τ=RC | Доля неустановившейся величины напряжения e -t/τ | |
| *100, % | *10 6 , ppm | |
| 0,001τ | ≈99,9% | ≈999000 |
| 0,01τ | ≈99% | ≈990000 |
| 0,1τ | ≈90% | ≈900000 |
| 0,5τ | ≈61% | ≈610000 |
| τ | ≈37% | ≈370000 |
| 2τ | ≈14% | ≈140000 |
| 3τ | ≈5,0% | ≈50000 |
| 4τ | ≈1,8% | ≈1800 |
| 5τ | ≈0,67% | ≈6700 |
| 6τ | ≈0,25% | ≈2500 |
| 7τ | ≈0,091% | ≈910 |
| 8τ | ≈0,034% | ≈340 |
| 9τ | ≈0,012% | ≈120 |
| 10τ | ≈0,0045% | ≈45 |
Понятие постоянной времени RC-цепи помогает оценить время протекания процесса при анализе эквивалентных электрических схем, содержащих RC-цепи. Заметим только, что понятие постоянной времени не применимо для частного случая заряда-разряда конденсатора постоянным током, где закон изменения напряжения и заряда на конденсаторе имеет линейный характер, а не экспоненциальный.
Постоянные времени RC-цепей (в качестве величин с прозрачным физическим смыслом) участвуют в аналитических решениях дифференциальных уравнений, описывающих не только экспоненциальные процессы в электрических схемах, содержащих RC-цепи (например, пассивные и активные RC-фильтры).
Дифференциальное уравнение [ править ]
Основная статья: теория систем LTI
Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением
τ d V d т + V знак равно ж ( т )
где τ представляет собой экспоненциальную константу затухания, а V является функцией времени t
V знак равно V ( т ) .
Правая часть — это вынуждающая функция
f
(
t
), описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как
вход
системы , на который
V
(
t
) является
ответом
или выходом системы. Классические примеры для
f
(
t
) :
Функция Хевисайда , часто обозначается U
это начальное значение V . Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени τ .
Обсуждение [ править ]
Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время τ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро экспоненциальная функция затухает.
t = время (обычно
t
> 0 в технике управления)
V
0 = начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).
Конкретные случаи [ править ]
1) Пусть ; тогда и так t = 0 V = V 0 e 0 e^ > V = V 0 > 2) Пусть ; тогда t = τ V = V 0 e − 1 ≈ 0.37 V 0 e^ \approx 0.37V_ > 3) Пусть , и так V = f ( t ) = V 0 e − t / τ e^ > lim t → ∞ f ( t ) = 0 f(t)=0> 4) Пусть ; тогда t = 5 τ V = V 0 e − 5 ≈ 0.0067 V 0 e^ \approx 0.0067V_ >
После периода в одну постоянную времени функция достигает e
−1 = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля — как показывает опыт, в технике управления стабильной системой является система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.
Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи.
Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов
Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.
Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.
Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:
и с емкостным, как:
где — входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.
Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать
где в соответствии с вышесказанным
Переходные процессы при подключении последовательной R-L-C-цепи к источнику напряжения
Рассмотрим два случая:
Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать
Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения
Характеристическое уравнение цепи
решая которое, получаем
В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:
1. или , где — критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.
2. — предельный случай апериодического режима.
В этом случае и
3. — периодический (колебательный) характер переходного процесса.
В этом случае и
где — коэффициент затухания; — угловая частота собственных колебаний; — период собственных колебаний.
Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать
Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:
решая которые, получим
Тогда ток в цепи
и напряжение на катушке индуктивности
На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .
Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать
Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем
Для нахождения постоянных интегрирования запишем
На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .
При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым
Здесь также возможны три режима:
Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 — ; 2 — ; 3 — , — которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
- Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
- Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?
RC-цепи, 5 самых ходовых схем фильтров и их простой рассчет
RC-цепь, такое частое явление радиоэлектроники. Такие фильтры стоят повсюду. Понимание того, как какой фильтр влияет на форму АЧХ сигнала во многом определяет правильность чтения всей электронной схемы. В статье собраны 5 основных RC-фильтров, приведены их АЧХ и упрощенные формулы расчета.
В ранние годы развития радиоэлектроники для воздействие на Амплитудно — Частотную Характеристику (АЧХ) сигнала в основном применялись LC — фильтры, т.е. фильтры состоящие из катушки индуктивности и конденсатора. Со временем им на смену пришла RC-цепь, которая была плотно взята в оборот радиоэлектроникой ввиду меньшей стоимости и габаритов.
Конечно, фильтры на RC-цепях не могут полностью вытеснить LC собратьев. Например в фильтрах для АС предпочтительнее использование LC-фильтров. Но практически во всей маломощной электронике главенствуют именно RC-цепи. Например двойная RC-цепь в фильтре RIAA-корректора.
Интересным вариантом избавления от катушек являются фильтры на гираторах, где посредством конденсатора и операционного усилителя эмитируется работа катушки.
Постоянная времени RC — RC time constant
Постоянная времени RC
, также называемая тау, постоянная времени (в секундах ) RC-цепи , равна произведению сопротивления цепи (в омах ) на емкость цепи (в фарадах ), т. Е.
τ знак равно р C [секунды]
Это время, необходимое для зарядки конденсатора через резистор от начального напряжения заряда, равного нулю, до примерно 63,2% от значения приложенного напряжения постоянного тока или для разряда конденсатора через тот же резистор примерно до 36,8% от его начального значения. напряжение заряда. (Эти значения получены из математической константы e
: и .) Следующие формулы используют ее, принимая постоянное напряжение, приложенное последовательно к конденсатору и резистору, для определения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени: 63,2 % знак равно 1 — е — 1 >
Постоянная времени электрической цепи — что это такое и где используется
Природе свойственны периодические процессы: день сменяет ночь, теплое время года сменяется холодным и т. д. Период этих событий почти постоянен и поэтому может быть строго определен. Кроме того, мы вправе утверждать, что приведенные в качестве примера периодические природные процессы не являются затухающими, по крайней мере по отношению к продолжительности жизни одного человека.
Однако в технике, а в электротехнике и в электронике — особенно, далеко не все процессы являются периодическими и незатухающими. Обычно какой-нибудь электромагнитный процесс сначала возрастает, а затем убывает. Часто дело ограничивается лишь фазой начала колебания, которое так и не успевает толком набрать размах.
Сплошь и рядом в электротехнике можно встретить так называемые экспоненциальные переходные процессы, суть которых заключается в том, что система просто стремится придти к какому-то равновесному состоянию, которое в конце концов выглядит как состояние покоя. Такой переходный процесс может быть как нарастающим, так и спадающим.
Внешняя сила сначала выводят динамическую систему из состояния равновесия, а затем не препятствует естественному возврату данной системы к ее исходному состоянию. Эта последняя фаза и есть так называемый переходный процесс, которому свойственна определенная длительность. Кроме того процесс выведения системы из равновесия также является переходным процессом с характерной длительностью.
Так или иначе, постоянной времени переходного процесса мы называем его временную характеристику, определяющую время, через которое некоторый параметр данного процесса изменится в «е» раз, то есть увеличится или уменьшится примерно в 2,718 раз по сравнению с состоянием, принятым за исходное.
Рассмотрим для примера электрическую цепь, состоящую из источника постоянного напряжения, конденсатора и резистора. Подобного рода цепь, где резистор включен последовательно с конденсатором, называется интегрирующей RC-цепью.
Если в начальный момент времени подать на такую цепь питание, то есть установить на входе некоторое постоянное напряжение Uвх, то Uвых — напряжение на конденсаторе, начнет по экспоненте нарастать.
Через время t1 напряжение на конденсаторе достигнет 63,2% от напряжения на входе. Так вот, промежуток времени от начального момента до t1 – это и будет постоянная времени данной RC-цепи.
Данную константу цепи называют «тау», она измеряется в секундах, а обозначают ее соответствующей греческой буквой. Численно для RC-цепи она равна R*C, где R выражается в омах, а С — в фарадах.
Портал ТОЭ
6.2 Классический метод расчёта переходных процессов
Анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами R , L , C (рис. 6.2 ) сводится к решению линейных неоднородных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.
где i ( t ) – переходный ток.
Дифференцированием приводим это уравнение к неоднородному дифференциальному уравнению 2-го порядка:
Порядок дифференциального уравнения определяется числом накопителей энергии в цепи.
Решение дифференциального уравнения:
где i пр ( t ) – частное решение неоднородного уравнения, принуждённая составляющая, ток в установившемся режиме, когда переходный процесс закончен (при t = ∞ );
i св ( t ) – общее решение однородного уравнения, свободная составляющая, ток во время переходного процесса, возникающий вследствие изменения электрических и магнитных полей.
Таким образом здесь используется метод наложения. Физически существует только i ( t ) , а разложение его на i пр и i св является математическим приёмом, облегчающим расчёт переходного процесса.
Расчёт принуждённой составляющей сводится к расчёту по известным методам установившегося значения искомой величины в схеме после коммутации.
Для расчёта свободной составляющей следует найти корни характеристического уравнения p k и n постоянных интегрирования A k .
Если характеристическое уравнение
имеет n различных корней p k ( k = 1 , 2 , … ,n ) , то
Корню p k кратности m k ≥ 1 соответствует слагаемое свободной составляющей вида
Чтобы определить постоянные интегрирования A k , необходимо знать значения искомой величины и всех её производных до ( n − 1) порядка включительно в момент времени t = 0+ . Для их определения используются законы коммутации.
Составление характеристического уравнения
-
Составляем уравнение электрического состояния цепи для свободного режима (т.е. при устранении вынужденной (принуждающей) силы). Это соответствует схеме с исключёнными источниками – источники ЭДС закорачиваются, ветви с источниками тока размыкаются.
Например для рис. 6.3 :
Корни характеристического уравнения – собственные частоты цепи, т.к. они определяют характер свободных процессов.
Степень характеристического уравнения может быть определена по электрической схеме без составления уравнения: она равна числу основных независимых начальных условий в послекоммутационной схеме после максимального её упрощения и не зависит от числа ЭДС в схеме.
Упрощение заключается в том, что последовательно и параллельно соединённые реактивные элементы должны быть заменены эквивалентными.
Рассмотрим схему на рис. 6.4 . Три реактивных элемента в упрощённой схеме определяют три независимых начальных условия, т.е. порядок характеристического уравнения равен трём.
Свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от источников энергии, поэтому свободные токи не могут протекать сколь угодно долго в цепи, где есть активные элементы. Свободные токи должны затухать, в связи с этим действительные части корней p k характеристического уравнения должны быть отрицательными.
-
Так, при наличии одного корня p = − a
Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).
Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения
| Вид корней характеристического уравнения | Выражение свободной составляющей |
| Корни вещественные и различные | |
| Корни вещественные и | |
| Пары комплексно-сопряженных корней |
Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс.Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).
Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
которое называетсядекрементом колебания,или натуральным логарифмом этого отношения
называемым логарифмическим декрементом колебания, где .
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
- Чем обусловлены переходные процессы?
- Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?
- Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
- Доказать законы коммутации: и — с энергетических позиций.
- В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?
- Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .
Дата добавления: 2015-04-19 ; просмотров: 916 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ