Как найти сторону в шестиугольной призме

Правильная шестиугольная призма

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про составные многогранники .

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник . Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов . Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Обязательно посмотрите информацию о правильном шестиугольнике в этой статье (пункт 6) . Ещё вам пригодится навык извлечения квадратного корня их большого числа. Можете посмотреть статью на решение многогранников, там тоже вычисляли расстояние между вершинами и углы.

Кратко: что представляет собой правильный шестиугольник?

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны .

*Противолежащие стороны параллельны.

Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. *Это подтверждается очень просто: если мы соединим противоположные вершины шестиугольника, то получим шесть равных равносторонних треугольников. Почему равносторонних?

У каждого треугольника угол при его вершине лежащей в центре равен 60 0 (360:6=60). Так как у треугольника две стороны имеющие общую вершину в центре равны (это радиусы описанной окружности), то каждый угол при основании такого равнобедренного треугольника так же равен 60 градусам.

То есть правильный шестиугольник, образно говоря, состоит как бы из шести равных равносторонних треугольников.

Какой полезный для решения задач факт ещё следует отметить? Угол при вершине шестиугольника (угол между его соседними сторонами) равен 120 градусам.

*Умышленно не коснулись формул правильного N-угольника. Данные формулы мы подробно рассмотрим в будущем, здесь они просто не нужны.

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA ₁ E ₁ . По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ ₁ является гипотенузой, АА ₁ и А ₁ Е ₁ катеты. Ребро АА ₁ нам известно. Катет А ₁ Е ₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме Пифагора:

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB ₁ E ₁ . По теореме Пифагора:

Отрезок B ₁ E ₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус равен стороне шестиугольника, то есть

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 23. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC . В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Значит, угол AC ₁ C равен 60 градусам.

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AС ₁ С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е₁.

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е₁.

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

На этом всё! Успеха Вам!

В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите! Успехов вам!

Шестиугольная призма: характеристики, формулы, площадь, вершины, ребра

А шестиугольная призма Это трехмерное тело, состоящее из двух оснований в форме шестиугольника и сторон в форме прямоугольника или параллелограмма. Его можно найти в природе, например, в кристаллической структуре минералов, таких как бериллий, графит, цинк и литий.

Элементами шестиугольной призмы являются основание, грань, край, высота, вершина, радиус и апофема. По ним можно рассчитать площади и объемы.

На рисунке ниже показаны две шестиугольные призмы, одна из которых имеет прямоугольные боковые грани и является призмой.прямая шестиугольная призма, а правый, наклонный, с гранями в форме параллелограмма и косая шестиугольная призма.

Шестиугольные призмы. Источник: Wikimedia Commons.

На обоих рисунках шестиугольники оснований правильные, то есть их стороны и внутренние углы равны. Однако грани шестиугольной призмы могут быть неправильными шестиугольниками.

На следующем изображении показаны кристаллы бериллия, минерала, который кристаллизуется в гексагональной структуре, образуя призмы. Примеси придают минералу разный цвет, например силикат алюминия и бериллия, с примесями хрома и ванадия он называется изумруд а когда он прозрачный, это очень ценный драгоценный камень.

Минеральные кристаллы бериллия. Источник: Wikimedia Commons.

• 1 Характеристики гексагональной призмы
• 2 Элементы гексагональной призмы
• 3 формулы
  • 3.1 Периметр плоской фигуры
  • 3.2 Площадь правильного шестиугольника
  • 3.3 Площадь неправильного шестиугольника
  • 3.4 Площадь параллелограмма
  • 4.1 Площадь правильной и прямой шестиугольной призмы
  • 4.2 Площадь неправильной и прямой шестиугольной призмы
  • 8.1 Шаги

  Характеристики гексагональной призмы

  Шестиугольная призма представляет собой трехмерную фигуру с шестиугольным основанием. Есть множество объектов, которые соответствуют этому определению, но они совершенно разные.

  На следующем рисунке изображены различные шестиугольные призмы: слева правая шестиугольная призма с правильными гранями, справа и ниже две шестиугольные призмы с неправильными гранями. Шестиугольник в основании призмы ниже имеет особенность: он вогнутый, что означает, что некоторые из его внутренних углов больше 180 °.

  Разнообразие гексагональных призм. Источник: Wikimedia Commons.

  Вместо этого шестиугольные основания призм выше — многоугольники. выпуклый: все внутренние углы меньше 180 °.

  Элементы гексагональной призмы

  Элементы шестиугольной призмы. Источник: Ф. Сапата.

  Несмотря на большое разнообразие, гексагональные призмы имеют несколько общих элементов, которые помогают нам точно определить форму объекта. Это следующие:

  Как и любая призма, шестиугольная призма имеет следующие элементы:

  –Базы: в количестве два (2), в форме шестиугольника и конгруэнтных, то есть одинаковой меры. Шестиугольные грани могут быть правильными или неправильными.

  –Лица: Всего у шестиугольной призмы восемь (8) граней, которые можно сосчитать, используя рисунок 1. Из 8 граней две (2) являются основаниями, а шесть (6) — боковыми.

  –Край: сегмент, соединяющий два основания или две стороны призмы.

  –Рост: расстояние между двумя гранями призмы. Соответствует длине кромки в случае правой призмы.

  –Вершина: точка пересечения основания и двух боковых граней.

  Если основания призмы правильные, симметрия фигуры позволяет определить дополнительные элементы, характерные для правильного шестиугольника стороны к.

  –Радио: расстояние, измеренное от центра шестиугольника до любой вершины.

  –Апофема: отрезок, идущий от центра шестиугольной грани до середины одной из сторон.

  С помощью этих элементов рассчитываются площади и объемы, как мы увидим позже.

  Формулы

  Существует множество формул, относящихся к шестиугольной призме. По ним рассчитывается площадь его оснований и боковых граней, объем и другие важные характеристики. Полезны площади правильного шестиугольника, неправильного шестиугольника и параллелограмма, а также периметры.

  Периметр плоской фигуры

  Это мера его контура, который в случае многоугольника, подобного шестиугольнику, является суммой его сторон. Если шестиугольник правильный со стороной к, есть формула для периметра п:

  Площадь правильного шестиугольника

  Назовем область A и L_К к длине апофемы. Площадь определяется по:

  Где п периметр фигуры.

  В зависимости от размера стороны к, площадь также можно рассчитать по:

  Неправильная область шестиугольника

  Нет конкретной формулы, так как она зависит от расположения сторон, но шестиугольник можно разделить на треугольники, вычислить площадь каждого и сложить их вместе.

  Другой метод определения площади — это метод определения Гаусса, для которого необходимо знать координаты вершин шестиугольника.

  Площадь параллелограмма

  A = основание x высота

  да к это база и час высота, площадь:

  Область шестигранной призмы

  Это сумма площадей оснований — двух шестиугольников — и площадей граней — шести прямоугольников или параллелограммов -.

  Площадь правильной и прямой шестиугольной призмы

  Если шестиугольная призма имеет основания в виде правильных шестиугольников, а боковые грани перпендикулярны этим основаниям, ее площадь определяется как сумма:

  А = 2 х 2,5981.a 2 + 6а.ч

  Где к сторона шестиугольника и час высота призмы.

  Неравномерная и прямая шестиугольная призма

  Если основания представляют собой неправильные шестиугольники, площадь рассчитывается по формуле:

  -К_база площадь неправильного шестиугольного основания.

  -P — периметр основания.

  -h — высота призмы

  Вершины

  Каждая шестиугольная грань имеет 6 углов или вершин, что дает в общей сложности 12 вершин для шестиугольной призмы.

  Края

  Существует формула для определения количества граней призмы. Он был открыт великим математиком Леонардом Эйлером (1707-1783) и называется Теорема Эйлера для многогранников. Говорит так:

  Если C — количество граней, V — количество вершин, V и A — количество ребер. Правда, что:

  Величины для гексагональной призмы: C = 8 и V = 12. Следовательно, A:

  А = С + В — 2 = 8 + 12-2 = 18

  Объем

  Объем V любой призмы, прямой или наклонной, с правильными или неправильными гранями, определяется как:

  V = площадь основания x высота

  Поэтому нам понадобятся формулы для площади, которую мы видели ранее.

  Например, для правой шестиугольной призмы, основания которой являются правильными шестиугольниками, объем определяется как:

  Как сделать шестиугольную призму?

  Рисунок 6. Шаблон для построения шестиугольной призмы. Источник: Wikimedia Commons.

  Прямую шестиугольную призму можно сделать с помощью этого шаблона и следующих материалов:

  -Картон или картон.

  Шаги

  -Выберите размер стороны основания и высоту призмы.

  -При помощи линейки и карандаша аккуратно перенесите измерения на картон или картон.

  -Затем аккуратно сложите, чтобы собрать фигуру.

  — Основания удерживаются на месте с помощью клея, а также первая и последняя стороны, которые должны закрывать фигуру.

  Призма

  Слышали такое выражение «смотреть сквозь призму чего-либо»? Оно значит ситуацию, в которой мы воспринимаем что-либо под влиянием каких-то убеждений или представлений. Замысловато, конечно… Возможно, потому что и сама призма — непростое понятие. Давайте разберемся с ней с точки зрения математики.

  Определение призмы

  Многие из нас пользуются стикерами. Для записи своих дел, для закладок, для пометок при ведении конспектов. Даже если мы ими не пользуемся, то наверняка видели их в магазинах или у родственников и друзей.

  Один такой стикер можно принять за плоскость. Теперь вспомним, как выглядит упаковка с ними. Много-много стикеров накладываются друг на друга и получается небольшая объемная фигура, сверху и снизу которой лежат два абсолютно одинаковых листа. При этом сразу заметим, что нижний и верхний стикеры будут параллельны друг другу.

  На самом деле, упаковка со стикерами является не чем иным, как призмой!

  Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами.

  Определение может показаться немного запутанным, но в нем нет ничего страшного. Разберемся, поближе взглянув на составные призмы.

  Строение призмы

  Представим себе обычную коробку. Ее дно и крышка равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Это и есть равные многоугольники. Также их называют основаниями призмы.

  Посмотрим на стенки коробки. Они являются параллелограммами, просто с прямыми углами. Подробнее про параллелограммы можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы.

  Возьмем линейку и измерим расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки одного основания проведем перпендикуляр к другому.

  Подробнее про расстояния между плоскостями можно узнать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами».

  Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы.

  Высота призмы — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание призмы.

  В задачах намного удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы.

  Рассмотрим элементы призмы.

  Ребро — это линия пересечения двух плоскостей.

  Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую нам нужно натянуть на каркас так, чтобы коробка не изменилась. В этом случае все прямые этого каркаса и будут ребрами.

  Ребра бывают двух видов:

  • ребра оснований,
  • боковые ребра.

  Отличить их также легко: ребра основания являются стороной многоугольника, который в нем лежит, в то время как боковые ребра не принадлежат основаниям.

  У боковых ребер есть одно очень важное свойство: они равны между собой и параллельны.

  Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

  Например, мы можем взять клетку попугая и от угла до угла сделать ему жердочку, чтобы птичке было весело жить. Эта жердочка и будет диагональю призмы.

  Виды призм

  Вернемся к рассуждениям о том, чем упаковка стикеров похожа на призму. Например, куб и параллелепипед будут отличаться. А если в основании призмы будет лежать треугольник или шестиугольник? Или двадцатиугольник? Разделим призмы на несколько видов.

  Мы рассмотрим две классификации.

  В первом случае будем рассматривать призмы по фигурам, которые лежат в основании. В многоугольнике может быть множество сторон, а значит, и в основании призмы может быть треугольник, четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и так далее.

  В зависимости от фигуры в основании призмы могут называться по-разному. Вот три основных, которые чаще всего встречаются при решении заданий:

  • треугольная призма,
  • четырехугольная призма,
  • шестиугольная призма.

  Аналогичным образом можно дать название любой призме, например, десятиугольная призма или стоугольная призма.

  В определении призмы сказано, что в боковых гранях лежат параллелограммы. До этого мы чертили только прямоугольники, но в боковых гранях могут лежать не только они.

  С этим связана вторая классификация призм. По этому признаку призмы делятся всего на два вида:

  • прямые,
  • наклонные.

  Разберемся в них чуть подробнее.

  Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

  В этом случае боковые ребра и ребра оснований действительно образовывают прямоугольник.

  Наклонная призма — призма, боковые ребра которой находятся под углом к основаниям.

  Где мы можем найти прямые и наклонные призмы? Оказывается, в архитектуре. Обычный жилой дом типовой застройки будет прямой призмой. А вот примером наклонной призмы может служить комплекс зданий “Ворота Европы” в Мадриде.

  Чуть подробнее остановимся на прямых призмах. Они встречаются достаточно часто и обладают несколькими важными свойствами.

  Посмотрите на свою комнату. Если по плану квартиры она будет многоугольником, то вы как бы сидите в призме. Теперь ответим на вопрос: как найти высоту комнаты?

  Простой ответ: померить по стене. А если посмотреть на угол, то можно заметить, что ребро призмы совпадает с высотой. Таким образом, мы получаем первое свойство прямых призм.

  Свойство 1. Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром.

  Посмотрим на стены комнаты, на их форму. Они все являются прямоугольниками, верно?

  Свойство 2. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

  Если мы в основании прямой призмы разместим правильный многоугольник, у нас получится правильная призма.

  Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

  Например, в правильной треугольной призме будет лежать равносторонний треугольник, а в правильной шестиугольной призме — правильный шестиугольник.

  Определение параллелепипеда

  Еще одной разновидностью прямоугольной призмы является параллелепипед.

  Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

  Параллелепипеды встречаются повсюду: коробки, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда.

  Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные грани параллелепипеда равны. Как пример, вспомним ту же комнату: потолок и пол равны, так же как и стены, находящиеся напротив друг друга.

  Нельзя не упомянуть про одно очень важное свойство параллелепипеда:

  • Все его диагонали пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам. Это свойство справедливо для всех видов параллелепипеда.

  Какие бывают параллелепипеды?

  Параллелепипеды также бывают прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех остальных призм.

  Прямой параллелепипед

  Рассмотрим несколько интересных свойств прямого параллелепипеда.

  1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям.

  2 свойство. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его бокового ребра.

  3 свойство. Боковые грани, которые лежат напротив друг друга, равны между собой и являются прямоугольниками.

  Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два вида:

  • Прямой параллелепипед: в основании лежит параллелограмм;
  • Прямоугольный параллелепипед: в основании лежит прямоугольник.

  Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда.

  1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

  2 свойство. Все углы в прямоугольном параллелепипеде, образованные двумя гранями, равны 90°.

  3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты.

  Таким образом, мы получаем важную формулу для параллелепипеда.

  d 2 = a 2 + b 2 + c 2

  Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Два ребра, выходящие из одной его вершины, равны \(\sqrt<35>\) и \(\sqrt<46>\). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите третье ребро параллелепипеда.

  Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равняется х. Получаем уравнение:

  \(15^2 = (\sqrt<35>)^2 + (\sqrt<46>)^2 + x^2\)
  225 = 35 + 46 + x 2
  x 2 = 144
  x = 12

  Ответ: 12.

  У прямоугольного параллелепипеда существует еще несколько видов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на:

  • Произвольный прямоугольный параллелепипед. В основании может лежать прямоугольник.

  

  • Правильный прямоугольный параллелепипед. В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
    При этом боковые ребра не равны ребрам основания. Следовательно, в основаниях будут лежать квадраты, а в боковых гранях прямоугольники.
  • Куб. В основании лежит квадрат, а боковые ребра равны ребрам основания.
    В кубе все ребра равны, а все его грани будут квадратом.

  Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипеда.

  Формулы для призмы

  Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут встретиться не только в задачах, но и в жизни.

  Немного вспомним моделирование, а именно развертку кубика. Мы знаем, что из листа бумаги без труда можно сложить кубик, если правильно его вычертить.

  На рисунке оранжевым показаны основания, а желтым боковые грани нашего будущего кубика. А теперь представим, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать?

  Нужно найти площади желтых квадратиков и сложить их.

  Площадь боковой поверхности призмы — сумма площадей всех боковых ее граней.

  Единой формулы тут нет, поскольку призмы могут очень сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах придется считать площадь каждой боковой грани, а уже после их складывать.

  Но есть один фокус! Правда, он работает только для прямой призмы. Если по условию дана прямая призма, то можно воспользоваться формулой

  В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, которая совпадает с высотой боковой грани.

  Пример 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равняется 2, а высота 10.

  Решение.

  Шаг 1. Поскольку правильная призма по определению прямая, мы можем воспользоваться формулой S = Ph.

  Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, следовательно, периметр основания будет равен 6 * 2 = 12.

  Шаг 3. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 12 * 10 = 120.

  Ответ: 120.

  Пример 2. Дана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найдите площадь ее боковой поверхности.

  Решение.

  Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно воспользоваться формулой S = Ph.

  Шаг 2. Найдем периметр основания. Для этого необходимо найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: \(\sqrt <12^2 + 5^2>= \sqrt <144 + 25>= \sqrt <169>= 13\).

  Шаг 3. Найдем периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30.

  Шаг 4. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 30 * 13 = 390.

  Ответ: 390.

  Мы научились находить площадь боковой поверхности. А как найти всю площадь призмы? Вспомним нашу развертку с кубиком. Чтобы найти всю площадь кубика, нужно найти площадь всех квадратов, из которых он состоит. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь оснований.

  Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней.

  Следовательно, нам нужно сложить площади всех боковых граней и дважды площадь основания. Получаем следующую формулу.

  Вспомним обычный хлеб, черный или белый. Его форма очень приближена к параллелепипеду. Тогда его корочка будет площадью полной поверхности параллелепипеда. А все что внутри, то есть мякиш, можно принять за объем.

  Пример 3. Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найдите площадь поверхности призмы.

  Решение.

  Шаг 1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле \(\frac<1> <2>* D_1 * D_2\). Следовательно, площадь ромба равна \(\frac<1> <2>* 12 * 16 = 96\).

  Шаг 2. Заметим, что диагонали ромба образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна \(\sqrt <6^2 + 8^2>= \sqrt <36 + 64>= \sqrt <100>= 10\).

  Шаг 3. Периметр ромба будет равен 4 * 10 = 40. Тогда площадь боковой поверхности равна 40 * 25 = 1000.

  Шаг 4. Площадь полной поверхности будет равняться 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192.

  Ответ: 1192

  Пример 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равняется 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы.

  Решение.

  Шаг 1. Воспользуемся формулой S = S_бок + 2S_осн. Площадь основания будет равняться площади квадрата, то есть 5 * 5 = 25.

  Шаг 2. Подставим известные величины в формулу:

  Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр равен 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение:

  Шаг 4. Поскольку по условию дана правильная призма, то высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равняется 96,5.

  Ответ: 96,5.

  Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Допустим, мы налили в прямоугольный аквариум немного воды. Как определить, сколько воды мы налили?

  Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы.

  Эта формула общая, однако для каждой призмы она может принять свой вид в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для поиска площади основания или высоты.

  Например, чтобы найти объем воды в аквариуме, необходимо длину умножить на ширину и на высоту, а значит формула принимает вид V = abh.

  Пример 5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы.

  Решение.

  Шаг 1. Для начала найдем площадь основания. В этом случае мы можем воспользоваться формулой \(\frac<1><2>ab\). Площадь равна \(\frac<1> <2>* 12 * 15 = 90\).

  Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные величины:

  Ответ: 360.

  Пример 6. Дан сосуд, в основании которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см 3 воды. Высота жидкости оказалась равной 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась с 10 см на 14 см. Найдите объем шарика.

  Решение. Немного вспомним физику, а именно тот факт, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Значит, чтобы найти объем шарика, необходимо найти насколько изменился объем воды.

  Шаг 1. Найдем площадь основания сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема:
  \(S = \frac\)
  Тогда:
  \(S = \frac<3000> <10>= 300\)

  Шаг 2. А теперь найдем объем после того, как в воду погрузили шарик. Он будет равен 300 * 14 = 4200.

  Шаг 3. Объем вытесненной жидкости равен 4200 — 3000 = 1200.

  Ответ: 1200.

  Мы рассмотрели основные формулы, которые применяются для решения задач. Стоит заметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально преобразовывать под ситуацию.

  Фактчек

  • Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные стороны — боковыми гранями. В призме есть ребра — линии пересечения двух ее граней. Ребра как бы образуют каркас призмы.
  • Призмы можно разделить на несколько видов по тому, какая фигура лежит в основании: треугольник, четырехугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник. Призмы бывают прямые и наклонные. В прямых призмах боковые ребра перпендикулярны основанию, а в наклонных — нет. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  • Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды бывают наклонными и прямыми. Прямые параллелепипеды включают в себя прямоугольные параллелепипеды, которые, в свою очередь, делятся на произвольные, правильные и кубы.
  • В призме можно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем. Для каждого из этих случаев необходимо пользоваться формулами.

  Проверь себя

  Задание 1.
  Что такое диагональ призмы?

  1. Отрезок, соединяющий две соседние вершины в призме.
  2. Отрезок, соединяющий противоположные углы в боковой грани призмы.
  3. Отрезок, соединяющий противоположные углы в основании призмы.
  4. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

  Задание 2.
  Что такое прямая призма?

  1. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
  2. Призма, боковые ребра которой расположены под острым углом относительно основания.
  3. Призма, боковые ребра которой расположены под тупым углом относительно основания.
  4. Призма, в основании которой лежит прямоугольник.

  Задание 3.
  Как найти высоту прямой призмы?

  1. Высоту нужно найти с помощью оснований.
  2. Высота совпадает с боковым ребром.
  3. Необходимо найти расстояние между двумя вершинами, не принадлежащими одной грани.
  4. В прямой призме невозможно найти высоту.

  Задание 4.
  Какая фигура лежит в основании прямоугольного параллелепипеда?

  1. Параллелограмм с острыми углами.
  2. Ромб с острыми углами.
  3. Трапеция.
  4. Прямоугольник.

  Задание 5.
  Как найти площадь полной поверхности призмы?

  1. Нужно найти сумму площадей всех боковых граней.
  2. Нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
  3. Нужно сложить площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания.
  4. Нужно сложить площади оснований.

  Ответы: 1. — 4 2. — 1 3. — 2 4. — 4 5. — 3

  Призма

  Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

  Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

  Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

  Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

  Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

  Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

  Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

  $P_<осн>$ — периметр основания;

  $S_<осн>$ — площадь основания;

  $S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

  $S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

  $h$ — высота призмы.

  В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

  В основании лежит треугольник.

  1. $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$
  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

  В основании лежит четырехугольник

  1. Прямоугольник

  $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

  2. Ромб

  $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

  $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

  3. Трапеция

  $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

  Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

  Рассмотрим площади правильных многоугольников:

  1. Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

  $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

  3. Правильный шестиугольник

  Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

  Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

  Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

  Распишем формулу площади полной поверхности:

  В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

  Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

  Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

  Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

  Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

  Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

  Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

  Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

  $MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

  Подобие треугольников

  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

  Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

  Прямоугольный треугольник и его свойства:

  В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

  Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

  Теорема Пифагора

  В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

  Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

  В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

  Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

  Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

  Значения тригонометрических функций некоторых углов:

  $α$	$30$	$45$	$60$
  $sinα$	$<1>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<√3>/<2>$
  $cosα$	$<√3>/<2>$	$<√2>/<2>$	$<1>/<2>$
  $tgα$	$<√3>/<3>$	$1$	$√3$
  $ctgα$	$√3$	$1$	$<√3>/<3>$

  Теорема синусов

  Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

  Теорема косинусов

  Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

  Читать:

  Виндовс 7 не запускается и не восстанавливается что делать