Как найти алгебраическое дополнение

Минор и алгебраическое дополнение

Для квадратной матрицы в теории матриц вводятся понятия «минор элемента» и «алгебраическое дополнение».

Минор $M_ $ элемента $a_ $ матрицы $A=\left(a_ \right)_ $ — это определитель матрицы, которая образована после вычеркивания из исходной матрицы строки с номером $i$ и столбца с номером $j$.

Выписать и вычислить миноры элементов $a_ <11>$ и $a_ <22>$ матрицы $A=\left(\begin <1>& <9>& <-2>\\ <0>& <-3>& <2>\\ <1>& <3>& <4>\end\right)$.

Алгебраическое дополнение $A_ $ элемента $a_ $ матрицы $A=\left(a_ \right)_ $ определяется следующей формулой:

где $M_ $ — минор соответствующего элемента матрицы.

Найти алгебраические дополнения элементов $a_ <11>$ и $a_ <22>$ матрицы $A=\left(\begin <1>& <9>& <-2>\\ <0>& <-3>& <2>\\ <1>& <3>& <4>\end\right)$.

Для прямоугольной матрицы вводится понятие «минор k-го порядка».

Минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_ \right)_ $ — это определитель матрицы, которая образована из исходной матрицы путем выписывания элементов, находящихся на пересечении k строк и k столбцов.

Схема формирования минора 3-го порядка изображена на рисунке.

Найти миноры 1-го и 2-го порядков матрицы $A=\left(\begin <1>& <9>& <-2>\\ <0>& <-3>& <2>\\ <1>& <3>& <4>\end\right)$.

$M=\left|1\right|=1$ (пересечение первой строки с первым столбцом);

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <1>& <3>\end\right|=1\cdot 3-1\cdot 9=3-9=-6$ (пересечение первой и третьей строк с первым и вторым столбцами).

Из примера видно, что миноры первого порядка совпадают с элементами исходной матрицы.

Главный минор — это минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_ \right)_ $, в котором на главной диагонали расположены только элементы главной диагонали исходной матрицы.

Найти главные миноры 2-го порядков матрицы $A=\left(\begin <1>& <9>& <-2>\\ <0>& <-3>& <2>\\ <1>& <3>& <4>\end\right)$.

$M=\left|\begin <1>& <9>\\ <0>& <-3>\end\right|=1\cdot (-3)-0\cdot 9=-3$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <1>& <4>\end\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6$ (пересечение первой и третьей строки, первого и третьего столбца).

Базисный минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_ \right)_ $ — это такой не равный нулю минор, что все миноры порядка выше k обращаются в ноль.

Найти базисный минор 2-го порядка матрицы $A=\left(\begin <1>& <0>& <-2>\\ <0>& <0>& <2>\\ <0>& <0>& <0>\end\right)$.

$M=\left|\begin <1>& <-2>\\ <0>& <2>\end\right|=1\cdot 2-0\cdot (-2)=2-0=2$ (пересечение первой и второй строки, первого и третьего столбца).

Любой минор 3-го порядка совпадает с исходной матрицей. Так как матрица имеет нулевой столбец, то ее определитель равен нулю. Следовательно, найденный минор является базисным.

Дополнительный минор (n-k)-го порядка матрицы $A=\left(a_ \right)_ $ — это такой минор, элементы которого выписаны из исходной матрицы после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор М.

Найти дополнительный минор для минора 2-го порядка матрицы $A=\left(\begin <1>& <2>& <0>& <-3>\\ <4>& <2>& <1>& <-5>\\ <0>& <2>& <-1>& <3>\\ <0>& <1>& <0>& <3>\end\right)$.

$M=\left|\begin <1>& <2>\\ <4>& <2>\end\right|=1\cdot 2-4\cdot 2=2-8=-6$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

$M’=\left|\begin <-1>& <3>\\ <0>& <3>\end\right|=-1\cdot 3-0\cdot 3=-3$ — дополнительный минор

§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение

Определение. Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркиванияi-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителяn-го порядка имеет порядок (n—1). Будем его обозначать через .

Пример 1. Пусть , тогда.

Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный нат.е, гдеi –номер строки и j -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

.

Пример 2. Пусть , тогда

,

.

Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.

Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.

Определение. Определителем матрицы A n-го порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.

Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.

Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.

Пример 4. Вычислить определитель: .

Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.

Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства 7). Умножим первую строку последовательно на числа (–5), (–3) и (–2) и прибавим её ко 2-ой, 3-ей и 4-ой строкам и получим:

.

Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:

( вынесем из 1-ой строки (–4), из 2-ой — (–2), из 3-ей — (–1) согласно свойству 4)

(так как определитель содержит два пропорциональных столбца).

§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители

Определение. Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы (=0 при ij, или =0 при ij) называется треугольной.

Их схематичное строение соответственно имеет вид: или.

Здесь 0 – означает нулевые элементы, а – произвольные элементы.

Теорема. Определитель квадратной треугольной матрицы равен произведению её элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.

.

.

Определение. Квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы, называется диагональной.

Её схематический вид:

Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы называется единичной матрицей. Она обозначается через:

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

. . . Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.

Минор $M_$ элемента $a_$

Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left( \begin 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end \right)$. Найдём минор элемента $a_<32>$, т.е. найдём $M_<32>$. Сперва запишем минор $M_<32>$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_<32>$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_<32>$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_<32>$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$ M_<32>=\left| \begin 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3)\cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Итак, минор элемента $a_<32>$ равен 579, т.е. $M_<32>=579$.

Часто вместо словосочетания «минор элемента матрицы» в литературе встречается «минор элемента определителя». Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_$. Например, найдём минор элемента $a_<12>$ определителя $\left| \begin -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_<12>$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Итак, минор элемента $a_<12>$ равен 83, т.е. $M_<12>=83$.

Алгебраическое дополнение $A_$ элемента $a_$

Пусть задана квадратная матрица $A_$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

где $M_$ – минор элемента $a_$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_<32>$ матрицы $A=\left( \begin 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end \right)$, т.е. найдём $A_<32>$. Ранее мы уже находили минор $M_<32>=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_<12>$, если $A=\left( \begin -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end \right)$. Согласно формуле $A_<12>=(-1)^<1+2>\cdot M_<12>=-M_<12>$. Однако чтобы получить $M_<12>$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_<12>$:

Минор k-го порядка матрицы $A_$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=\left( \begin -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end \right) $$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$ \left( \begin -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue <2>& \boldblue <7>& 14 & \boldblue <6>\\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue <0>& \boldblue <1>& 19 & \boldblue<8>\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue <5>& \boldblue <3>& -21 & \boldblue<9>\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end \right);\; M=\left|\begin 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end \right|. $$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_<11>$, $a_<22>$, $a_<33>$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_<11>=-1$, $a_<22>=7$, $a_<33>=18$, $a_<44>=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$\left( \begin \boldgreen <-1>& 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen <7>& 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen <18>& 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen<8>\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end \right) $$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_<11>=-1$ и $a_<33>=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$ M=\left|\begin \boldgreen <-1>& -3 \\ 15 & \boldgreen <18>\end \right| $$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$ \left( \begin \boldpurple <-1>& 0 & \boldpurple <3>& \boldpurple <0>& 0 \\ \boldpurple <2>& 0 & \boldpurple <4>& \boldpurple <1>& 0\\ \boldpurple <1>& 0 & \boldpurple <-2>& \boldpurple <-1>& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right);\; M=\left|\begin -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end \right|. $$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=\left( \begin -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end \right) $$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$ \left( \begin -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred <-17>& -3 & \boldred <19>& 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred <12>& 20 & \boldred <21>& 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end \right);\; M=\left|\begin -17 & 19 \\ 12 & 21 \end \right|. $$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:

$$ \left( \begin -1 & \boldblue <2>& 0 & \boldblue <-2>& \boldblue<-14>\\ 3 & \boldred <-17>& -3 & \boldred <19>& \boldblue<29>\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred <12>& 20 & \boldred <21>& \boldblue<54>\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end \right);\; M’=\left|\begin 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end \right|. $$

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M»$ (минор третьего порядка):

$$ \left( \begin -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred <-17>& \boldblue <-3>& \boldred <19>& 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue <11>& \boldblue <19>& \boldblue <-20>& -98\\ 6 & \boldred <12>& \boldblue <20>& \boldred <21>& 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end \right);\; M»=\left|\begin -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end \right|. $$

Минор $M»$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$ \left(\begin -1 & \boldgreen <2>& 0 & -2 & \boldgreen<-14>\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen <-6>& 8 & -9 & \boldgreen<41>\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end \right);\; M=\left|\begin 2 & -14 \\ -6 & 41 \end \right|. $$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

$$ \left( \begin \boldred <-1>& \boldred <2>& \boldred <0>& \boldred <-2>& \boldred<-14>\\ 3 & \boldred <-17>& -3 & 19 & \boldred<29>\\ \boldred <5>& \boldred <-6>& \boldred <8>& \boldred <-9>& \boldred<41>\\ -5 & \boldred <11>& 16 & -20 & \boldred<-98>\\ -7 & \boldred <10>& 14 & -36 & \boldred <79>\end \right);\; M’=\left|\begin 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end\right|. $$

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Словосочетание «алгебраическое дополнение к минору $M$» часто заменяют словосочетанием «алгебраическое дополнение минора $M$».

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin 2 & -14 \\ -6 & 41 \end \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M’=\left| \begin 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Минор и алгебраическое дополнение

Минором $M_$ к элементу $a_$ определителя $n$-го порядка называется определитель $(n-1)$-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием $i$-той строки и $j$-того столбца.

Задание. Найти минор $ M_ <23>$ к элементу $ a_ <23>$ определителя $ \left| \begin <1>& <2>& <-1>\\ <1>& <0>& <3>\\ <7>& <8>& <4>\end\right| $ .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением $ A_ $ к элементу $ a_ $ определителя $n$-го порядка называется число $ A_=(-1)^ \cdot M_ $

Задание. Найти алгебраическое дополнение $ A_ <23>$ к элементу $ a_ <23>$ определителя $ \left| \begin <1>& <2>& <-1>\\ <1>& <0>& <3>\\ <7>& <8>& <4>\end\right| $ .

Сумма произведений элементов «произвольной» строки на алгебраические дополнения к элементам $i$-ой строки определителя равна определителю, в котором вместо $i$-ой строки записана «произвольная» строка.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Похожие публикации:

1. Replace battery на бесперебойнике что это
2. Как почистить лог транзакций ms sql
3. Кому не стоит идти в программисты
4. Чат рулетка почему не работает камера