Композиции перемещений плоскости
Некоторые наиболее сложные задачи на построение решаются методом последовательного применения нескольких перемещений плоскости, которое называется композицией перемещений, поэтому мы в этом параграфе рассмотрим некоторые сведения, относящиеся к вопросу о композиции перемещений.
Определение 4.11. Композицией двух преобразований называется результат последовательного выполнения этих преобразований.
Определив композиции перемещений плоскости, мы можем рассмотреть еще одно перемещение плоскости — скользящая симметрия.
Скользящая симметрия
Определение 4.12. Скользящей, или переносной, симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса, вектор которого параллелен оси симметрии.
Скользящую симметрию с осью d и вектором а обозначают так: S$, или сокращенно d5. Параллельный перенос на нулевой вектор есть тождественное преобразование, поэтому, если а = б, то S° = Sj. Осевая симметрия — частный случай скользящей симметрии.
Рассмотрим свойства скользящей симметрии.
- 1. Композиция осевой симметрии и параллельного переноса обладает переместительным свойством.
- 2. Скользящая симметрия неподвижных точек не имеет.
- 3. Ось d — единственная неподвижная прямая скользящей симметрии.
- 4. Скользящая симметрия — перемещение II рода.
Укажем некоторые наиболее важные свойства композиции перемещений плоскости.
Теорема 4.3. Всякое перемещение плоскости есть композиция не более трех осевых симметрий.
Теорема 4.4. Композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны, есть параллельный перенос. Вектор переноса перпендикулярен осям и направлен от первой оси ко второй, а его модуль равен удвоенному расстоянию между осями.
Теорема 4.5. Композиция двух осевых симметрий, оси которых пересекаются, есть поворот вокруг точки пересечения осей. Угол поворота равен удвоенному углу от первой оси до второй.
Теорема 4.6. Композиция трех осевых симметрий есть осевая симметрия тогда и только тогда, когда оси данных симметрий имеют единственную точку или параллельны между собой.
Теорема 4.7. Композиция трех осевых симметрий, оси которых не параллельны и не имеют общей точки, есть скользящая симметрия.
Теорема 4.8 (Шаля). Всякое перемещение плоскости —либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.
Теорема 4.9. Композиция В^Аа двух поворотов Аа и Вр есть или поворот Са+р, если а + (3 2я.
Теорема 4.10. Два перемещения обладают переместительным свойством тогда и только тогда, когда одно перемещение посредством другого преобразуется в себя.
Теорема 4.11. На плоскости переместительным свойством обладают:
- 1) две осевые симметрии с перпендикулярными осями;
- 2) осевая и центральная симметрии, если ось проходит через центр;
- 3) осевая симметрия и параллельный перенос, если вектор параллелен оси;
- 4) осевая и скользящая симметрии, если их оси совпадают;
- 5) два параллельных переноса;
- 6) параллельный перенос и скользящая симметрия, если вектор параллелен оси;
- 7) два поворота с общим центром(в частности, центральная симметрия и поворот с общим центром).
- 8) две скользящие симметрии с общей осью.
Приведем таблицу (табл. 4.2), которая содержит ответ на вопрос, что представляет собой композиция тех или иных перемещений плоскости.
Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую
Пусть 
— вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор 
′ равен вектору : ′ = (рис. 23).
Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .
Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор 
.
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: 
′ = .
Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .
Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .
Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда 
= – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор 
, есть перенос на вектор – .
Перенос на нулевой вектор />является тождественным преобразованием: />( М ) = М для любой точки М пространства.
5.2. Параллельный перенос в координатах
Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор />( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор />.
Так как M ′ = 
( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда
(1)
Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор 
( a ; b ; c ) .
Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( 
; 
; 
), C ′ ( 
; 
; 
) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем
= x 1 + a, 
= y 1 + b, 
= z 1 + c,
= x 2 + a, 
= y 2 + b, 
= z 2 + c . (2)
Расстояние между точками А и C равно
.
Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .
Учитывая (2), получаем
| A ′ C ′ | = 
=
= 
= | AC| .
Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.
5.3. Свойства параллельного переноса
Можно доказать, что параллельный перенос отображает :
— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;
— луч на сонаправленный с ним луч;
— вектор 
на равный ему вектор 
(на себя);
— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.
Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.
Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .
На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.
Пусть />( a ) = a ′ , />( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .
Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼
Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.
Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.
Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .
Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .
Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.
Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и 
. Её обычно обозначают не ∘ , а + .
Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .
Таким образом, композиция переносов на векторы и 
есть перенос на вектор + .
Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).
5 .4. Скользящая симметрия
Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).
Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:
— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);
— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;
— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;
— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );
— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;
— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором />, является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – />.
Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 
. Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.
Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую
ВОПРОС : Существуют ли еще какие-нибудь «простейшие» движения, несводимые к ранее перечисленным ?
Если бы выполнялось 
, то отрезки задавали бы параллельный перенос плоскости. Пусть 
. Покажем, что отрезки можно совместить поворотом. Т.к. при повороте точки и ее образ лежат на общей окружности с центром О, то этот центр должен принадлежать серединному перпендикуляру l1 к отрезку А1А2. С другой стороны, этот центр принадлежит к серединному перпендикуляру l2, к отрезку В1В2. Если 
= 0, то это искомый центр поворота (Рис.13, а).
Пусть — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор ′ равен вектору : ′ = (рис. 23).
Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′ = .
Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .
Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .
Так как M ′ = ( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда
(1)
Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .
Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем
= x 1 + a, = y 1 + b, = z 1 + c,
= x 2 + a, = y 2 + b, = z 2 + c . (2)
.
| A ′ C ′ | = =
= = | AC| .
— вектор на равный ему вектор (на себя);
Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼
Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .
Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .
Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не ∘ , а + .
Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .
Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор + .
Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).
Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).
— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );
Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.
аналитическая-геометрия — Найти уравнение образа прямой x=0 при скользящей симметрии
При данной скользящей симметрии, прямая y=0 переходит сначала в прямую, симметричную ей относительно оси (пока мы не знаем, какой именно), а потом смещается параллельно вдоль этой оси, и становится прямой x=-6. Значит, до сдвига это прямая вида x=c, и тогда точка (c,0) есть вторая инвариантная точка оси симметрии.
Поскольку угол между y=0 и x=c равен 90 градусам, ось проходит под углом 45 градусов к обеим этим прямым. Значит, это прямая y=4-x, где c=4. Таким образом, под действием параллельного переноса, x=4 переходит в x=-6, то есть перенос осуществляется влево и вверх на 10 единиц.
Таким образом, x=0 сначала отражается относительно оси и становится прямой y=4, а потом уже она смещается, и переходит в прямую y=14.