Производная экспоненты
То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.
Примеры решения
Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу:
Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)’ = 2 $.
Подставляем всё в формулу:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y’ = ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Записываем: $$ y’ = (\cos e^x)’ = -\sin e^x \cdot (e^x)’ = -\sin e^x \cdot e^x = -e^x \sin e^x $$
Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!
Почему производная экспоненты равна ей самой?
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уверен, что многие из Вас из школьного курса математики прекрасно помнят чудесную функцию — экспоненту, производная которой, сколько бы её не брать, равняется исходной функции.
Число в основании функции-экспоненты — это знаменитое число Эйлера е = 2,718281828.
Однако, многие ли из Вас знают, почему так происходит? Сегодня я хочу это рассказать на максимально простом языке. Поехали! Рассмотрим две показательные функции:
Вспомним теперь классическое определение производной функции как предела отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Простыми словами: мы анализируем скорость изменения функции f(x) при бесконечно малом изменении её аргумента, которое мы будем обозначать ∆х.
В формулах для первой функции это выглядит так:
Давайте кое-что посчитаем на калькуляторе, а именно выражение под знаком предела. Например, пусть изменение функции ∆х = 0,001. Тогда:
Впрочем, это ничего нам не даст. До того момента, как мы не посчитаем аналогичное выражение для функции, в основании которой 3:
А вот это уже интересно. Если немного вспомнить математический анализ, то в голове всплывает вторая теорема Больцано-Коши или теорема о промежуточном значении.
Применительно к нашему случаю она позволяет утверждать, что рассматриваемая функция (имеется ввиду дробь (x^∆х-1)/∆х) при каком-то x равняется единице! Если мы найдем такое х, то по определению получим равенство функции её производной! Начинаем! Приравниваем нашу функцию к единице:
Это. просто. восклицательный знак
Второй замечательный предел — это известное из школьного курса соотношение, неизменно приводящее к числу Эйлера. Таким образом, доказательство окончено!
TELEGRAM «Математика не для всех» — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Почему производная экспоненты равна экспоненте?
Нигде нормального доказательства нет, я не понимаю, в каком месте тут применим 2-й замечательный предел, в частности, почему предел равен 1? Снизу же dx, который стремится к 0, значит предел равен бесконечности. Объясните пожалуйста, исходя из чего равенство верно? Заранее спасибо. 
Числитель тоже стремится к нулю. Это неопределенность (0/0). exp(dx)-1
dx, поэтому предел равен 1. Насчет 2-го замеч. предела, см. учебники, там есть доказательство.
Производная экспоненциальной функции
В данном случае n допустимо взять из множества натуральных или действительных чисел.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Вывод производной от экспоненты в степени x
Запишем условия для проведения доказательств: \(e^x\) с условием, что \(x = (-\infty; +\infty)\) . При этом:
Обратимся к особому свойству, характерному для экспоненты:
Заметим, что в данном случае имеется возможность для преобразования числителя в пределе:
Целесообразно ввести следующее обозначение:
В результате запишем такое выражение:
В логарифмическом свойстве говорится о том, что:
Заметим, что в данном случае экспонента не прерывается. По этому условию сделаем следующий вывод:
В том случае, когда \(\Delta x\) стремится к нулевому значению, будет корректно записать, что t стремится к нулевому значению. Выполним необходимые вычисления:
Введем следующее обозначение:
В результате получим, что:
Если выполняется условие, при котором t стремится к нулевому значению, то n будет стремиться к бесконечности. Выполним соответствующие преобразования предела:
Обратимся вновь к логарифмическому свойству:
\(b\cdot ln c=ln c^b\)
В результате получим, что:
Целесообразно переписать предел таким способом:
Заметим, что в данном случае можно применить свойство непрерывности логарифма и свойство, характерное для пределов, когда функция не прерывается. В итоге получим:
Заметим, что функция f(x) обладает пределом со знаком плюс.
Непрерывный логарифм и существование предела со знаком плюс, то есть:
дают нам право заключить следующее:
В этой ситуации целесообразно оперировать значением, которое имеет второй замечательный предел:
Получилось доказать справедливость исходного равенства:
Графики экспоненциальных функций
Примеры решения задач
Дана следующая функция: \(y(x)=e^<2x>\) Требуется вычислить, чему равна ее производная.
Воспользуемся рассмотренным ранее правилом. Получим, что необходимая производная вычисляется таким образом:
Заметим, что в данном случае экспонента обладает степенью, записанной в виде сложной функции. Тогда целесообразно выполнить умножение производной от экспоненты на производную от степени. В итоге получим:
Достаточно просто продолжить вычисления, если избавиться от постоянной в знаке производной. Перенесем ее таким способом:
Требуется вычислить значение производной следующей функции: \(y(x)=2 e^
Воспользуемся уже знакомым алгоритмом расчетов и произведем необходимые вычисления для поиска требуемой производной:
Заметим, что в данном случае допустимо избавиться от постоянной путем ее переноса за знак производной. Выполним необходимые преобразования и запишем готовый ответ к заданию: