Как найти параметр в функции распределения

п.3. Числовые характеристики непрерывного распределения

Числовыми характеристиками непрерывного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Если для дискретных распределений числовые характеристики определяются через суммы (см. §62 данного справочника), то для непрерывных распределений для этого используются интегралы.

п.4. Таблица непрерывных распределений, их параметров и числовых характеристик

п.5. Примеры

Пример 1. Непрерывная случайная величина x задана плотностью распределения: $$ p(x)= \begin Ax^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end $$ Найдите множитель A, функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\)?

Находим множитель A из условия нормировки: \begin \int_<-\infty>^<+\infty>p(x)dx=\int_<0>^<2>Ax^2dx=1\\ A\cdot\frac<3>|_<0>^<2>=\frac<3>(2^3-0)=\frac<8A><3>=1\Rightarrow A=\frac38\\ p(x)= \begin \frac38 x^2,\ x\in [0;2]\\ 0,\ x\notin [0;2] \end \end График плотности распределения:

Функция распределения \(F(x)\) для \(x\lt 0\) равна 0, для \(x\gt 2\) равна 1.
Найдем \(F(x)\) в интервале \(x\in\left[0;2\right]\): \begin F(t)=\int_<0>^p(x)dx=\frac38\int_<0>^x^2dx=\frac38\cdot\frac<3>|_<0>^=\frac<8>\Rightarrow F(x)=\frac<8>\\ F(x)= \begin 0,\ x\lt 0\\ \frac<8>,\ x\in [0;2]\\ 1,\ x\gt 2 \end \end График функции распределения:

Найдем математическое ожидание: \begin M(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x\cdot p(x)dx=\int_<0>^<2>x\cdot\frac38 x^2dx=\frac38\int_<0>^<2>x^3dx=\frac38\cdot\frac<4>|_<0>^<2>=\frac<3><32>\cdot 2^4=1,5 \end Найдем дисперсию: \begin D(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_<0>^<2>x^2\cdot\frac38 x^2dx-1,5^2=\frac38\int_<0>^<2>x^4dx-1,5^2=\\ =\frac38\cdot\frac<5>|_<0>^<2>-1,5^2=\frac<3><40>\cdot 2^5-1,5^2=2,4-2,25=0,15 \end Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt=\sqrt<0,15>\approx 0,387 $$ Вероятность для x оказаться в интервале \(\frac12\leq x\leq 1\) равна: $$ P\left(\frac12\leq x\leq 1\right)=F(1)-F\left(\frac12\right)=\frac<1^3><8>-\frac<\left(\frac12\right)^3><8>=\frac<7> <64>$$

Пример 2. Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения: $$ F(x)= \begin 0,\ x\lt c\\ \frac<(x+2)^2><4>,\ c\leq x\leq d\\ 1,\ x\gt d \end $$ Найдите границы интервала c и d, плотность распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\)

Границы интервала ищем из условий: \begin F(c)=\frac<(c+2)^2><4>=0\Rightarrow c=-2\\ F(d)=\frac<(d+2)^2><4>=1\Rightarrow d=0 \end Получаем: \begin F(x)= \begin 0,\ x\lt -2\\ \frac<(x+2)^2><4>,\ -2\leq x\leq 0\\ 1,\ x\gt 0 \end \end График функции распределения:

Плотность распределения равна производной от функции распределения: $$ p(x)=F'(x) $$ Для \(x\lt -2\cup x\gt 0\) получим \(p(x)=0\), т.к. производная от постоянной равна 0.
На значащем интервале: $$ p(x)=\left(\frac<(x+2)^2><4>\right)=\frac<2(x+2)><4>=\frac <2>$$ Получаем: \begin p(x)= \begin \frac<2>,\ -2\leq x\leq 0\\ 0,\ x\lt -2\cup x\gt 0 \end \end График плотности распределения:

Найдем математическое ожидание: \begin M(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x\cdot p(x)dx=\int_<-2>^<0>x\cdot\frac<2>dx=\frac12\int_<-2>^<0>(x^2+2x)dx=\frac12\cdot\left(\frac<3>+x^2\right)|_<-2>^<0>=\\ =\frac12\left(0-\left(\frac<-8><3>+4\right)\right)=-\frac23 \end Найдем дисперсию: \begin D(x)=\int_<-\infty>^<+\infty>x^2\cdot p(x)dx-M^2(x)=\int_<-2>^<0>x^2\cdot\frac<2>dx-\left(-\frac23\right)^2=\\ =\frac12\int_<-2>^<0>(x^3+2x^2)dx-\frac49=\frac12\cdot\left(\frac<4>+\frac<2x^3><3>\right)|_<-2>^<0>-\frac49=\frac12\left(0-\left(\frac<16><4>-\frac<2\cdot 8><3>\right)\right)-\frac49=\\ =\frac23-\frac49=\frac29 \end Найдем СКО: $$ \sigma(x)=\sqrt=\frac<\sqrt<2>> <3>$$ Вероятность для x оказаться в интервале \(-1\leq x\leq -\frac12\) равна: $$ P\left(-1\leq x\leq -\frac12\right)=F\left(-\frac12\right)-F(-1)=\frac<\left(-\frac12+2\right)^2><4>-\frac<(-1+2)^2><4>=\frac<1,5^2-1^2><4>=\frac<9> <16>$$

Непрерывная случайная величина и её функция распределения.
Функция плотности распределения

О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:

– В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения.

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например:

однако в точках «стыка» всё хорошо:

и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!

! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.

При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: и плавно-плавно провести карандашом кусочек параболы :

Напоминаю, что левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с осью), а правый верхний луч продолжить за остриё оси (т.к. график бесконечен). Также не забываем, что не может убывать, и если вдруг окажется, что какой-то кусок графика идёт «сверху вниз», то ищите ошибку или опять же – имеет место опечатка. А может просто дрогнула рука 🙂

Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс.

Теперь вернёмся к смыслу функции распределения и рассмотрим пару конкретных «икс»:

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4.

Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле:

Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение

Например:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И точно такими же будут вероятности ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: . И возникает вопрос: как оценить эту «концентрацию» вероятностей на различных промежутках? – ведь функция распределения характеризует накопление вероятностей по мере увеличения , и много раз вычислять что-то неохота.

Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт

функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:
– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).

Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности:

Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить:
, что и требовалось проверить. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это означает, что площадь между осью и графиком равна единице, в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :

Ну вот, стало всё наглядно – где бОльшая площадь, там и более вероятные значения. Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она тоже неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . Следует также отметить, что в общем случае эта функция разрывна (следим, где «жирные» точки!).

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности:

Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .

Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:

Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:

Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:

Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим:
и подставим результат в уравнение:
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, что и требовалось проверить.

Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй 😉 Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей.

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения 😉 К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную , а также «прозвоним» точки «стыка»:

Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
, что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза:

Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна.

Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально сделал, чтобы напомнить вероятностный смысл функции плотности. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны.

Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой сжатую в 2 раза вдоль оси ординат синусоиду, сдвинутую на вверх:

В принципе, тут можно не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика, и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы.

И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:

Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения:

Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи.

Здесь случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения, т.к. определена при любом «икс». В ходе проверки на плотность удобно использовать чётность подынтегральной функции в несобственном интеграле, а для нахождения самого интеграла нужно представить и избавиться от трёхэтажности дроби. Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики – статья об асимптотах в помощь.

Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Постарайтесь освоить её как можно скорее – по «горячим» знаниям и навыкам!

Решения и ответы:

Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения:

Таким образом:

Найдём функцию плотности распределения:

Покажем, что действительно является функцией плотности:
1) Для любого значения , в частности, на среднем промежутке:
Внимание! Без 1-го пункта обойтись нельзя!
2)
Таким образом, найденная функция действительно является функцией плотности распределения.

Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, больше, чем .

Построим графики :

Пример 3. Решение:
1) По свойству функции плотности распределения:

В данной задаче:

Таким образом, искомая плотность:

2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
– если то и ;
– если то и ;
– если то и:
.
Таким образом:

3) Выполним чертежи:

4) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка :

Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае:

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним чертеж:

Составим функцию распределения вероятностей :
1) Если , то и
2) Если , то и
3) Если , то и:

4) Если , то и:

Таким образом:
,
Выполним чертеж:

Вычислим – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .

Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности:
1) Поскольку экспоненциальная функция положительна, то для любого , значит, свойство неотрицательности функции плотности выполнено.
2) Проверим выполнение свойства .
Сначала удобно найти первообразную:
(константу добавлять не нужно).
Используем чётность подынтегральной функции:

Вывод: является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, что и требовалось проверить.

Найдём функцию распределения:

– для всех .

Выполним чертёжи:

! Обратите внимание, что у 1-го графика одна, а 2-го – две горизонтальные асимптоты, «залезать» за которые нельзя!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Непрерывная случайная величина

Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.

Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).

Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $\arcsin$ и $\arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.

Примеры решений

Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения

1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[\pi, 5/4 \pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α -2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t Решебник по теории вероятности онлайн

Многомерные случайные величины — определение и вычисление с примерами решения

До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина. Однако, при изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами – абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин X ,Y , . . . , W обозначать (X ,Y , . . . , W) Такая система называется также многомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельно случайные величины, составляющие систему, а необходимо учитывать связи или зависимости между этими величинами.

При рассмотрении системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин

В дальнейшем, при изучении системы случайных величин ограничимся подробным рассмотрением системы двух случайных величин.

Закон распределения вероятностей системы случайных величин

Законом распределения вероятностей системы случайных величин называется соответствие, устанавливающее связь между областями возможных значений данной системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин. Пусть

Одномерную случайную величину иногда называют скалярной случайной величиной.

X и Y – дискретные случайные величины, возможные значения которых где Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей y того, что случайная величина X примет значение и одновременно с этим случайная величина Y примет значение . Вероятности фиксируются в таблице

Такая таблица называется таблицей распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события составляют полную группу несовместных событий, поэтомупри этом

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов, равная вероятности совместного выполнения двух неравенств

Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант с вершиной в точке плоскости XOY (см. рис.).

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то есть:

6. Вероятность попадания случайной точки (X,Y ) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (см. рис.) вычисляется по формуле:

Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин

Предположим, что функция распределения F(x, y) всюду непрерывна и дважды дифференцируема21 (за исключением, быть может, конечного числа кривых). Тогда, смешанная частная производная функции F(x, y)

Функция называется плотностью распределения (или, дифференциальной функцией распределения) системы непрерывных случайных величин .
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность распределения можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область D:

Используя последнюю формулу, выразим интегральную функцию F(x, y) распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин через плотность распределения f (x, y):

Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин:

Предполагается, что интегральная функция распределения вероятностей имеет непрерывную
смешанную частную производную второго порядка

если случайная величина (X,Y ) распределена на всей координатной плоскости (если же (X,Y ) распределена в некоторой плоской области

Пример №1

Пусть плотность распределения системы двух случайных величин (X,Y ) задана выражением:

Найти параметр А. Определить функцию распределения F(x, y) и вероятность попадания случайной точки (X,Y ) в прямоугольник D с вершинами:

Решение. Использовав свойство 2 плотности распределения, найдём постоянную величину А:

Следовательно

Определим теперь интегральную функцию распределения:

Таким образом, нетрудно теперь найти вероятность попадания случайной точки (X,Y ) в заданный прямоугольник D:

Условные законы распределения

Пусть известна плотность распределения системы двух случайных величин. Используя свойства функций распределения, можно вывести формулы для нахождения плотности распределения одной величины, входящей в систему:

Перейдём теперь к решению обратной задачи: по известным законам распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. Легко увидеть, что в общем случае эта задача неразрешима. Действительно, с одной стороны, законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, характеризуют каждую из случайных величин в отдельности, но ничего не говорят о том, как они взаимосвязаны. С другой стороны, искомый закон распределения системы должен содержать все сведения о случайных величинах системы, в том числе и о характере связей между ними. Таким образом, если случайные величины X ,Y взаимозависимы, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определённое значение, называется условным законом распределения.

Для дискретных случайных величин условным распределением составляющей
X при условии, чтоназывается совокупность условных вероятностей вычисленных в предположен, что случайная величина Y уже приняла значение Для нахождения пользуются формулой Заметим что Аналогично находим

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения. Условная функция распределения обозначается F(x | y); условная плотность распределения обозначается

Плотностью распределения для случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определённое значение (условной плотностью распределения), назовём величину

Аналогично, плотностью распределения для случайной величины Y при условии, что случайная величина X приняла определённое значение, назовём величинуОтсюда получаем или, с учётом формул (*)

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения. В частности,

Числовые характеристики условных законов распределения

Для описания условных законов распределения можно использовать различные характеристики подобно тому, как для одномерных распределений. Наиболее важной характеристикой является условное математическое ожидание. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при Y = y ( y – определённое возможное значение случайной величины Y )

Мы записали условные законы распределения случайной величины X при условии, что другая случайная величина Y приняла определённое значение.

называется сумма произведений возможных значений X на их условные вероятности:

Для непрерывных случайных величин:где f x | y – условная плотность распределения случайной величины X приY = y . Аналогично, условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x ( x – определённое возможное значение случайной величины X ) называется сумма произведений возможных значений Y на их условные вероятности:Для непрерывных случайных величин:где – условная плотность распределения случайной величины Y при X = x. Аналогично вводятся условные дисперсии и условные моменты более высоких порядков (предлагаем это сделать самостоятельно).

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Укажем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

ТЕОРЕМА 1: Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения
системы (X ,Y ) была равна произведению функций распределения составляющих:

ТЕОРЕМА 2: Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность вероятности
системы (X ,Y ) была равна произведению плотностей вероятностей составляющих:

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, к которым относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:а для непрерывных величин:

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y .

ТЕОРЕМА 3: Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Замечание: из теоремы 3 следует, что если корреляционный момент двух случайных величин X и Y не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:Очевидно, коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю (так как ).

Коррелированность и зависимость случайных величин

Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (или коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и Y называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное утверждение не всегда имеет место, то есть если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равным нулю, но может и равняться нулю.

Заметим, что для нормально распределённых составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Если связаны линейной зависимостью Если , то говорят о положительной (или прямой) корреляции между
X и Y , то есть с возрастанием одной случайной величины другая случайная величина также возрастает.
Если , то говорят об отрицательной корреляции между X и Y , то есть с возрастанием одной случайной величины другая случайная величина убывает.

Функция и плотность распределения системы случайных величин

На практике очень часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Функция распределения системы нескольких (более двух) случайных величин вводится как обобщение функции распределения системы двух случайных величин. Так, функцией распределения системы n случайных величин называется функция n аргументов , равная вероятности
совместного выполнения n неравенств , то есть:

Эта функция является неубывающей функцией каждой переменной при фиксированных значениях других переменных. Если хотя бы одна из переменных стремится к , то функция распределения стремится к нулю. Если все переменные стремятся к, то функция распределения стремится к единице. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы все остальные аргументы положить равнымиАналогично одномерному случаю можно вывести формулу, связывающую функцию распределенияи плотность вероятности

или что тоже самое Плотность распределения системы не может быть отрицательной:

Вероятность попадания случайной точки с координатамив n – мерную область Dвыражается интегралом Используя свойства функции распределения, получаем

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам. Например,

Числовые характеристики произвольного числа случайных величин

Основными числовыми характеристиками, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин являются следующие:

• 1) математические ожидания случайных величин, входящих в системукоторые в совокупности определяют математическое ожидание n –мерного случайного вектора;
• 2) дисперсии случайных величин, входящих в систему;
• 3) корреляционные моменты каждой пары из n случайных величин характеризующие попарно корреляцию всех случайных величин, входящих в систему.

Зная корреляционные моменты, можно найти коэффициенты корреляции которые характеризуют степень связи между каждой парой случайных величин. Так как дисперсия каждой из случайных величин системы есть не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно: корреляционный момент величины и той же величины

то все корреляционные моменты и дисперсии располагают в виде прямоугольной таблицы (матрицы)

которая называется корреляционной матрицей системы n случайных величин.

Из определения корреляционного момента следует, что . Это означает, что элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В этой связи часто для простоты в корреляционной матрице заполняют только её половину (правый верхний треугольник):

Если случайные величины системы некоррелированы, имеемпри Следовательно, корреляционная матрица системы некоррелированных случайных величин имеет вид:

Такая матрица, как вам известно, называется диагональной. Вместо
корреляционной матрицы часто используют нормированную корреляционную матрицу. Матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции, называется нормированной корреляционной матрицей. Все элементы главной диагонали нормированной корреляционной матрицы равны единице. Нормированная корреляционная матрица имеет вид:

Задача 1.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X ,Y ) задан таблицей

Найти:
— собственные законы распределения случайных величин X и Y ;
— математические ожидания M(X) M(Y );
— дисперсии D(X), D(Y );
— корреляционный момент ;
— коэффициент корреляции
— закон распределения случайной величины X при условии, что случайная
величина Y принимает своё наименьшее значение.

Решение. Складывая вероятности по строкам, получим закон распределения случайной величины X в виде ряда распределения

Складывая вероятности по столбцам, получим закон распределения случайной величины Y в виде ряда распределения

Найдём математические ожидания и дисперсии составляющих:

Найдём корреляционный момент и коэффициент корреляции

Найдём закон распределения случайной величины X при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение, то есть при условии, что Искомый закон распределения, как ранее отмечалось,
определяется совокупностью условных вероятностей где

Следовательно, искомый закон распределения имеет вид:

Задача 2.

Вне области плотность распределения двумерной случайной величины (X ,Y ) равна 0; в области D
плотность распределения

• — коэффициент A;
• — вероятность
• — одномерные плотности распределения
• — математические ожидания M(X), M(Y );
• — дисперсии D(X), D(Y );
• — корреляционный момент ;
• — коэффициент корреляции .

Решение. Для нахождения параметра А воспользуемся формулой

тогда

Получим

Найдём теперь вероятность попадания двумерной случайной величины в плоскую область G:

Далее, найдём одномерные плотности распределения:

Итак

Найдём математические ожидания и дисперсии составляющих

далее тогда

Так как , то нетрудно вычислить

Что такое многомерные случайные величины

Ранее мы рассматривали случайные величины, возможные значения которой определялись одним числом. Такие величины называют одномерными. Однако часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин, которую называют многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Понятие многомерной случайной величины

Многомерная случайная величина, случайный вектор, система случайных величин – это все различные интерпретации одного и того же математического объекта. В зависимости от удобства изложения мы будем пользоваться той или иной интерпретацией.

Так же, как и в случае одномерных случайных величин, случайные величины входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными. Например, успеваемость студентов вуза, которая характеризуется системой n случайных величин – оценками по различным дисциплинам, проставленными в зачетной книжке – является дискретной многомерной величиной. А размер деталей, который характеризуются длиной (X), шириной (Y) и высотой (Z) – является непрерывной трехмерной величиной.

Геометрически двумерную (X, Y) и трехмерную (X, Y, Z) случайные величины можно изобразить случайной точкой плоскости Oxy или трехмерного пространства Oxyz. При этом случайные величины X, Y или X, Y, Z являются составляющими этих векторов. В случае n-мерного пространства (n > 3) также говорят о случайной точке этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

Пример №2

Пусть вероятностный эксперимент состоит в рождении ребенка. Тогда каждому элементарному событию (каждому новорожденному) можно поставить в соответствие следующие числа: — рост, — вес, — пол (0 или 1). Таким образом , эксперимент описывается трехмерной случайной величиной, или системой трех случайных величин, или трехмерным вектором

Пример №3

Пусть эксперимент состоит в измерении коэффициента усиления транзистора на высокой частоте. Тогда элементарное событие — это одного транзистора и ему можно поставить в соответствие следующие случайные величины: — коэффициент передачи тока на высокой частоте, — обратный ток коллекторного перехода, — входная проводимость, — емкость эмиттерного перехода, — емкость коллекторного перехода, — выходная проводимость. Все перечисленные параметры для каждого транзистора при массовом производстве полупроводниковых приборов имеют отклонения от некоторого среднего значения (ввиду сложности поддержания технологического процесса стабильным для каждого кристалла при напылении, диффузии, травлении и т. д.). Поэтому их можно считать случайными величинами, и от значения каждого из них зависит коэффициент усиления транзистора на высокой частоте. Тогда в данном случае эксперимент описывается шестимерной случайной величиной, или шестимерным вектором, или системой шести случайных величин.

При изучении многомерных случайных величин удобно пользоваться следующей геометрической интерпретацией. Например (рис. 3.1), систему двух случайных величин можно рассматривать как случайную точку на плоскости с координатами или как случайный вектор на плоскости со случайными составляющими

Пример №4

Пусть двумерная случайная величина задана плотностью распределения.

Найти коэффициент и показать, что случайные величины независимые.

Для определения коэффициента используем условие нормировки

Учтем область определения

откуда

1-й способ проверки независимости

Найдем плотности распределений отдельных составляющих и применяя (3.4):

Подставим эти выражения в условие (3.13):

Значит случайные величины независимы.

2-й способ проверки независимости

Найдем условную плотность распределения:

Видим, что выполняется условие (3.12), значит случайные величины независимы.

3-й способ проверки независимости

Все предыдущие вычисления можно не делать, а сослаться на следствие к доказанной выше теореме. Видим, что двумерная плотность представима в виде произведения двух сомножителей, один из которых содержит только а другой только составляющие. Тогда на основании следствия из доказанной выше теоремы случайные величины независимы.

Пример №5

Двумерная случайная величина равномерно распределена внутри области выделенной на рис. 3.8 жирными прямыми:

Найти константу

Запишем уравнения прямых (см. рис. 3.7):

Используем условие нормировки

Этот интеграл вычислим в виде суммы трех интегралов, разбивая область на три части (пунктирные прямые на рис. 3.8):

Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины

Так же как и для одномерной случайной величины наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения. При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в виде таблицы (матрицы), содержащей все возможные сочетания значений каждой из одномерных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности. Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X, Y), то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы распределения (табл. 8.1), в каждой клетке (i, j) которой располагаются вероятности произведения событий

Так как события состоящие в том, что случайная величина Х примет значение , а случайная величина Y – значение , несовместны и единственно возможны, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. Итоговые столбцы или строки таблицы распределения (X, Y) представляют соответственно распределение одномерных составляющих Действительно, распределение одномерной случайной величины Х можно получить, вычислив вероятность события как сумму вероятностей несовместных событий

Таким образом, чтобы по таблице распределения (табл. 8.1) найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности pij из соответствующего этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Пример №6

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X, Y) задан в табл. 8.2. Найти законы распределения одномерных случайных величин X и Y.

Решение:

Случайная величина Х может принять значения: Х = 2 с вероятностью = 0,05 + 0,15 = 0,20; Х = 4 с вероятностью = 0,35 + 0,20 = 0,55; Х = 6 с вероятностью = 0,20 + 0,05 = 0,25. т.е. ее закон распределения

Аналогично закон распределения Y

Функция распределения многомерной случайной величины

При изучении одномерных случайных величин уже говорилось, что самой универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Точно также функция распределения полностью характеризует и многомерную случайную величину.

Определение: Функцией распределения n-мерной случайной величины выражающая вероятность

совместного выполнения n неравенств

В случае двумерной случайной величины XY функция распределения определяется неравенством

Геометрически функция распределения F(x, y) означает вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заштрихованную область – бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки M(x, y). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются – это означает, что функция непрерывна с л е в а по каждому аргументу. В случае двумерной дискретной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле: где суммирование вероятностей распространяется на все j, для которых и все i, для которых

Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е.

2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в – ∞, то функция распределения равна нулю, т.е.

4. Если один из аргументов обращается в + ∞, то функция распределения становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу, т.е.

5. Если оба аргумента равны + ∞, то функция распределения равна единице:

Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая перечисленными свойствами. Для дискретной двумерной случайной величины (X, Y) ее функция распределения представляет собой некоторую ступенчатую поверхность, ступени которой соответствуют скачкам функции F(x, y). Зная функцию распределения F(x, y) можно найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в пределы прямоугольника ABCD (рис. 8.2). Эта вероятность равна вероятности попадания в бесконечный квадрант с вершиной минус вероятность попадания в квадранты с вершинами в точкахиплюс вероятность попадания в квадрант с вершиной в точке (так как эта вероятность вычиталась дважды), т.е.

Плотность вероятности двумерной случайной величины

Для непрерывной двумерной случайной величины, так же как и для одномерной, существует понятие плотности вероятности.

Определение: Плотностью вероятности (или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины XY называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины XY представляет собой поверхность распределения в пространстве Oxyz.

Отметим свойства плотности вероятности двумерной случайной величины.

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины XY в область D равна

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле:

4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице: Зная плотность вероятности двумерной случайной величины (X, Y) можно найти функции распределения и плотность вероятностей ее одномерных составляющих X и Y.

Так как в соответствии с (8.7) то взяв в формуле (8.12) соответственно x = + ∞ и y = + ∞, получим функции распределения одномерных случайных величин X и Y:

Дифференцируя функции распределения соответственно по аргументам x и y, получим плотности вероятности одномерных случайных величин X и Y:

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности двумерной случайной величины по аргументу x дает плотность вероятности , а по аргументу y – плотность вероятности

Условные законы распределения двумерной случайной величины

Итак, мы выяснили, как по известному закону распределения системы двух случайных величин определить законы распределения одномерных величин, входящих в систему.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли по законам распределения одномерных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы в целом? Оказывается, в общем случае этого сделать нельзя. Для того, чтобы полностью описать систему случайных величин, недостаточно знать распределение каждой из ее составляющих. Нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с помощью условных законов распределения.

Определение: Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины XY называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в определенный интервал).

Для дискретных случайных величин условные вероятности находятся по формулам:

В случае непрерывных случайных величин необходимо определить плотность вероятности условных распределений. Заменяя в формулах для дискретных величин вероятности событий «элементами вероятностей», получим:

т.е. условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины равно отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей.

Пример №7

По данным примера 8.1 найти условный закон распределения составляющей Х при условии, сто составляющая Y приняла значение y1 =1.

Решение:

Искомый закон определяется следующей совокупностью условных вероятностей

Воспользовавшись формулой (8.16) и учитывая, что= 0,6 (пример 8.1), получаем:

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при Х = х (х – определенное возможное значение Х) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

Для непрерывных величин

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины Х.

Пример №8

Найти условное математическое ожидание составляющей Y при условии, что составляющая Х примет значение

Решение:

Найдем, для чего сложим вероятности, помещенные в первом столбце табл. 8.2

Найдем условное распределение вероятностей величины Y при при

Найдем условное математическое ожидание по формуле (8.19):

Условное математическое ожидание случайной величины Y при Х = х, т.е. Mx(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по Х. Аналогично My(X) называется функцией регрессии или регрессией X по Y. Графики этих функций называются соответственно линиями регрессии (или кривыми регрессии) Y по Х и Х по Y.

Зависимые и независимые случайные величины

Ранее мы назвали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Теперь можно дать общее определение независимости случайных величин, основанное на независимости событий X

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.