Функция не определена что это значит

А на числовой прямой всё это безобразие выглядит так:

На интервале мы никогда достигаем границ — точек $a$ и $b$. Поэтому не имеет значения, как близко к этим границам располагается точка $<_<0>>$. Всегда можно взять расстояние до ближайшей границы (например, $\left| <_<0>>-a \right|$), поделить пополам — вот вам и отступ $\delta \gt 0$.

3.2. Непрерывность на отрезке

Отрезок $\left[ a;b \right]$ принципиально отличается от интервала $\left( a;b \right)$ тем, что мы можем зайти, например, в левый конец отрезка — точку $a$ — и ничего левее этой точки принадлежать отрезку уже не будет.

Никакие отступы, никакие $\delta $-окрестности тут не помогут. Поэтому нам нужны два новых определения.

Определение 5. Функция $f\left( x \right)$ называется непрерывной справа в точке $<_<0>>$, если

\[\lim\limits__<0>>+> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)\]

непрерывной слева в точке $<_<0>>$, если

\[\lim\limits__<0>>-> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)\]

Теперь мы можем рассматривать непрерывность на любых привычных нам множествах — интервалах и отрезках. Чуть позже в этом уроке мы сформулируем замечательную теорему о непрерывности элементарных функций, но пока давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 4. Функция $f\left( x \right)=\sqrt<4-<^<2>>>$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Для начала найдём область определения $f\left( x \right)$. Поскольку арифметический квадратный корень определён только из неотрицательного числа, имеем:

\[\begin 4-<^<2>> & \ge 0 \\ <^<2>> & \le 4 \\ \left| x \right| & \le 2 \\ x& \in \left[ -2;2 \right] \\ \end\]

Для лучшего понимания ситуации начертим график $y=\sqrt<4-<^<2>>>$. Заметим, что

это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r=2$. Графиком функции будет лишь та часть этой окружности, для которой $y\ge 0$:

Очевидно, что функция непрерывна для всех $x\in \left[ -2;2 \right]$, причём в $x=-2$ непрерывна справа, в $x=2$ непрерывна слева.

Пример 5. Функция $f\left( x \right)=\sqrt$ непрерывна на всей своей области определения.

Проверить это и построить график.

Область определения функции $f\left( x \right)=\sqrt$:

\[x\in \left[ 0;+\infty \right)\]

График — стандартная «уложенная набок» ветвь параболы:

Видим, что функция $f\left( x \right)$непрерывна во всех точках $x\in \left[ 0;+\infty \right)$, причём в $x=0$ непрерывна справа. Задача решена.

Возможно, вы уже заметили, что все функции, которые мы сегодня изучали, были непрерывны на всей своей области определения. Проблемы возникали лишь во всяких конструкциях вида $<1>/\;$, где возможно деление на ноль. Но даже гипербола $y=<1>/\;$ не определена лишь в точке $x=0$, а во всех остальных точках она определена и непрерывна.

И это не случайно. Существует целый класс функций, которые непрерывны на всей своей области определения. Настала пора познакомиться с ними.

3.3. Непрерывность элементарных функций

В математическом анализе существует особый класс функций, которые называются элементарными.

1. Любой многочлен $P\left( x \right)=<_><^>+. +<_<1>>x+<_<0>>$;
2. Рациональная функция $f\left( x \right)=/\;$, где $P\left( x \right)$ и $Q\left( x \right)$ — многочлены;
3. Степенная функция $f\left( x \right)=<^>$, где $a\in \mathbb$;
4. Логарифмическая функция $f\left( x \right)=<<\log >_>x$, где $a \gt 0$, $a\ne 1$;
5. Показательная функция $f\left( x \right)=<^>$, где $a \gt 0$, $a\ne 1$;
6. Все тригонометрические функции: $\sin x$, $\cos x$, $\operatornamex$, $\operatornamex$;
7. Все обратные тригонометрические функции: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\operatornamex$, $\operatornamex$;
8. Любые функции, которые можно составить из предыдущих с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.

Кстати, модуль тоже является элементарной функцией:

Для всех таких функций выполняется замечательная теорема:

Теорема 2. Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Если область определения представляет собой отрезок или иное замкнутое множество, то на концах таких отрезков выполняется односторонняя непрерывность.

Универсального доказательства этой теоремы сразу для всех элементарных функций не существует. Сначала доказывают непрерывность степенной и показательной функции. Затем показывают непрерывность арифметических операций (тот ещё квест, особенно для многочленов).

Кроме того, есть целая группа теорем, которые верны для всех непрерывных функций:

• 1.Теорема о нуле непрерывной функции и о промежуточном значении на отрезке.
• 2.Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке и о достижении точной верхней и нижней грани.
• 3.Теоремы о непрерывности обратной функции и композиции функций.

Каждой из этих теорем посвящён отдельный урок — с точной формулировкой, доказательством и примерами (см. содержание раздела). Сейчас нас интересуют более приземлённые вопросы.

Например, может возникнуть вопрос: а что, разве есть какие-то другие функции, помимо элементарных? Конечно есть.

Функция Дирихле определена для всех $x\in \mathbb$. Она равна единице в том случае, если $x=

/\;$ — рациональное число, и равна нулю во всех остальных случаях.

Очевидно, что в любой $\delta $-окрестности точки $<_<0>>\in \mathbb$ и слева, и справа найдутся иррациональные числа. И наоборот: в любой $\delta $-окрестности иррационального числа $a\in \mathbb\backslash \mathbb$ найдутся его рациональные приближения с избытком и недостатком. Следовательно, односторонние пределы

\[\lim\limits__<0>>-> D\left( x \right)\quad \lim\limits__<0>>+> D\left( x \right)\]

не существуют ни в одной точке графика. И функция Дирихле терпит разрыв в каждой точке числовой прямой.:)

Кстати, сам график выглядит примерно так:

Линия $y=1$ проведена пунктиром из тех соображений, что множество рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел — нет. Но это всё условности.:)

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию

\[f\left( x \right)=\sin \left( <1>/\; \right)\]

Эта функция представляет собой композицию двух элементарных функций: $\sin x$ и $<1>/\;$. Следовательно, перед нами элементарная функция, которая определена и непрерывна везде, кроме $x=0$.

Посчитаем левосторонний и правосторонний предел в точке $x=0$. Для этого заметим, что при $x\to 0$ величина $<1>/\;\to \infty $. Следовательно, в любой $\delta $-окрестности точки $x=0$ найдутся и точки вида $t=\pi n$, $n\in \mathbb$, в которых $\sin t=0$; и точки вида $t=<\pi >/<2>\;+\pi n$, в которых $\sin t=\pm 1$.

Следовательно, ни левосторонний, ни правосторонний пределы не определены:

\[\lim\limits_ \sin \frac<1>\quad \lim\limits_ \sin \frac<1>\]

А это значит, что общий предел в точке $x=0$ тоже не определён. Следовательно, $x=0$ — не просто точка разрыва (это и так понятно, поскольку в нуле функция не определена). Принципиально невозможно доопределить $f\left( x \right)$ в нуле так, чтобы получилась непрерывная функция.

График $y=\sin \left( <1>/\; \right)$ выглядит так (единичный отрезок — две клетки):

Чем ближе $x\to 0$, тем быстрее график «бегает» между $y=-1$ и $y=1$. В какой-то момент из-за конечной толщины линий на чертеже строить график становится невозможно. Даже если мы возьмём за единичный отрезок тысячу клеток. Даже если будем чертить на огромных листах. Никакие листы и отрезки не могут сравниться с бесконечностью.:)

Ну и перед тем как переходить к практике, давайте разберёмся, что же произойдёт, если хотя бы одно условие непрерывности не выполняется.

4. Точки разрыва

Урок о непрерывности функции в точке будет неполным, если мы не поговорим про точки разрыва.

Напомню, что функция $f\left( x \right)$ является непрерывной в точке $<_<0>>$, когда выполнены три условия:

1. Функция $f\left( x \right)$ определена в этой точке, т.е. мы можем посчитать $f\left( <_<0>> \right)$.
2. Существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)$.
3. Должно выполняться равенство $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=f\left( <_<0>> \right)$.

А что, если хотя бы одно условие не выполнено? Перед нами точка разрыва.

Определение 7. Если функция $f\left( x \right)$ не является непрерывной в точке $<_<0>>$, то она называется разрывной в точке $<_<0>>$. Сама точка $<_<0>>$ при этом называется точкой разрыва функции $f\left( x \right)$.

Определение 8. Точка разрыва $<_<0>>$ называется точкой разрыва первого рода функции $f\left( x \right)$, если существуют конечные односторонние пределы $\lim\limits__<0>>+> f\left( x \right)$ и $\lim\limits__<0>>-> f\left( x \right)$.

В противном случае $<_<0>>$ называется точкой разрыва второго рода.

Классический пример точки разрыва второго рода:

Ветви гиперболы «улетают» в бесконечность рядом с точкой $<_<0>>=0$.

Ещё один пример:

Мы уже рассматривали график этой функции и знаем, что односторонних пределов в $<_<0>>=0$ не существует. Поэтому функция терпит разрыв второго рода.

Да даже обычный $y=\operatornamex$ терпит разрыв второго рода в точках вида $<_>=<\pi >/<2>\;+\pi n$, $n\in \mathbb$.

Определение 9. Разрыв первого рода в точке $<_<0>>$ называется устранимым, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $A\ne f\left( <_<0>> \right)$.

То же самое, если существует конечный предел $\lim\limits__<0>>> f\left( x \right)=A$, но $f\left( <_<0>> \right)$ не определена.

Из определения очевидно, что устранимыми могут быть только разрывы первого рода. Вот несколько примеров:

• $y=\frac<\sin x>$, $<_<0>>=0$ (устранимый: $y\left( 0 \right)=1$)
• $y=\frac<\left| x-1 \right|>$, $<_<0>>=1$ (неустранимый)
• $y=\frac<<^<2>>\left( x+2 \right)>$, $<_<0>>=-2$ (устранимый: $y\left( -2 \right)=4$)

Рассмотрим более сложный пример

Это элементарная функция, поэтому единственная точка разрыва: $x=0$ — в ней не определена дробь $<1>/\;$.

Выясним, какого рода этот разрыв. Посчитаем предел слева:

И предел справа:

Понятно, что показательная функция $y=<<\text>^>$ растёт быстрее линейной $y=t$ при $t\to +\infty $. Поэтому конечного предела нет.

Итого функция терпит разрыв второго рода в точке $x=0$. Этот разрыв хорошо виден на графике:

Обратите внимание: точка $x=1$ является точкой локального минимума, а прямая $y=x+1$ — наклонная асимптота нашего графика. Чтобы находить такие точки, нужно разобраться с производными.

О производных и дифференциалах мы поговорим в отдельных уроках. А пока лишь одна заключительная рекомендация:

При исследовании функции на непрерывность обязательно чертите её график. Хотя бы в виде эскиза. Даже если задание кажется вам «очевидным».

Так вы защитите себя от глупых ошибок. И намного быстрее поймёте, как ведёт себя функция в окрестностях точек разрыва.

1.4.6. Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»

Областью определения функции является все множество действительных чисел, причем по обе стороны точки Х = 5 функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке Х = 5 поставим условие

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Найдем предел данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, если принять F (0) = 3, функция станет непрерывной точке Х = 0.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Вычисляя предел функции в точке Х = 0, воспользуйтесь тем, что второй множитель – ограниченная функция, и примените свойства бесконечно малых.

Ограниченная функция. Как известно, произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая, поэтому

То есть предел существует и конечен. Поэтому можно доопределить функцию так: F (0) = 0.

Ответ: F (0) = 0.

Каким числом можно доопределить функцию

При Х = 0, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой особенностью, то есть существует конечный предел функции в этой точке.

Найдем односторонние пределы данной функции в точке Х = 0:

Следовательно, предел данной функции в точке Х = 0 в обычном смысле не существует, поэтому добиться ее непрерывности в этой точке невозможно.

Ответ: это невозможно.

Найти количество точек разрыва функции

Исследовать характер этих точек.

На область определения накладываются два ограничения: логарифмируемое выражение должно быть положительным, а знаменатель дроби – не равным нулю.

Данная функция не существует при трех значениях аргумента: Х = 0 и Х = +1 (в первом случае знаменатель не существует, во втором он равен нулю). Каждая из найденных точек является внутренней точкой области определения и, следовательно, точкой разрыва.

Исследуем характер точек разрыва:

Следовательно, Х = 0 – устранимая особенность.

И Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Ответ: Х = 0 – устранимая особенность, Х = +1 – точки разрыва 2-го рода.

Выяснить, какие из функций

Имеют точки разрыва 1-го рода.

В точке разрыва 1-го рода существуют конечные односторонние пределы функции, но они не равны между собой.

Найдем точки разрыва каждой функции и исследуем их характер.

Не определена при Х = 0.

Следовательно, единственная точка разрыва этой функции – это точка разрыва 2-го рода.

Не определена при Х = 0 (заметим, что знаменатель основной дроби не равен нулю ни при каком значении Х).

Найдем односторонние пределы F (X) в точке Х = 0:

Следовательно, Х = 0 – точка разрыва 1-го рода.

Не определена при Х = 5.

Следовательно, точка Х = 5 – точка разрыва 2-го рода.

Не определена при Х = -0,5. При этом

Таким образом, односторонние пределы в точке Х = -0,5 равны соответственно 1 и -1, то есть эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n < 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

— 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; — 0 . 958 ; — 1 . 489 ; — 1 . 747 ; — 1 . 874 ; . . . ; — 1 . 998 ; . . . → — 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к — 2 , значит lim x → 2 — 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = — 7 . 333 ; — 5 . 333 ; — 3 . 833 ; — 2 . 958 ; — 2 . 489 ; — 2 . 247 ; — 2 . 247 ; — 2 . 124 ; . . . ; — 2 . 001 ; . . . → — 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к — 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x — 8 2 — 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 — 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 — 8 ) 2 — 8 = — 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 — 25 x — 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 — 25 x — 5 ⇔ x — 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 — 25 x — 5 упростим: x 2 — 25 x — 5 = ( x — 5 ) ( x + 5 ) x — 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 — 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x < — 1 , x 2 + 2 , — 1 ≤ x < 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = — 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

• слева от точки х 0 = — 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 — 0 ( x + 4 ) = — 1 + 4 = 3 ;
• непосредственно в точке х 0 = — 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( — 1 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 ;
• на промежутке ( — 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → — 1 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 — 0 f ( x ) = lim x → 1 — 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
• в точке х 0 = — 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
• справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 f ( x ) = f ( — 1 ) = 3 — это означает, что в точке х 0 = — 1 заданная кусочная функция непрерывна;
• lim x → — 1 — 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 — таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 — 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

— 8 ; — 4 ; — 2 ; — 1 ; — 1 2 ; — 1 4 ; . . . ; — 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( — 8 ) ; f ( — 4 ) ; f ( — 2 ) ; f ( — 1 ) ; f — 1 2 ; f — 1 4 ; . . . ; f — 1 1024 ; . . . = = — 1 8 ; — 1 4 ; — 1 2 ; — 1 ; — 2 ; — 4 ; . . . ; — 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 — 0 f ( x ) = lim x → 0 — 0 1 x = — ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность — бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .