Часы со стрелками показывают
В этой публикации рассмотрим задачу: в условии говорится о движении стрелок часов. Это задача на движение. Рассмотрим разные подходы к решению, будет и такой, при применении которого такие задания будете решать не более чем за одну минуту. Приступим! Алгебраический подход к решению:
99600. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
За один час минутная стрелка проходит один круг, то есть скорость хода стрелки будет ОДИН круг в час. Часовая за час проходит 1/12 круга, то есть её скорость будет 1/12 круга в час. Обозначим время которое идут стрелки переменной «t».
Тогда до встречи стрелки пройдут:
*В данном случае у нас роль расстояния играет круг циферблата .
Отставание минутной от часовой составляло 8 часов – это 2/3 круга. То есть получается, что разность между пройденными «расстояниями» составляет 2/3.
*Если вам удобнее занести данные в таблицу, то:
Итак, в первый раз стрелки пересекутся через 8/11 часа.
Пусть во второй раз они пересекутся через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1∙z, а часовая (1/12)∙z, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Значит через 12/11 часа стрелки пересекутся во второй раз, еще через 12/11 часа — в третий, и еще через 12/11 часа — в четвертый.
Значит если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки пересекутся через:
*Если развита интуиция и логическое мышление, то ответ в данной задаче можно дать сразу по прочтении условия. Смотрите: первый раз стрелки пересекутся в девятом часу, второй раз в десятом, третий в одиннадцатом, а четвёртый ровно в двенадцать, то есть через 4 часа (240 минут).
Ещё задача. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?
Отставание минутной от часовой составляло 7 часов 45 минут, то есть 7 плюс ¾ часа. Переведём в часть круга. Воспользуемся пропорцией:
По аналогии с предыдущей задачей:
Итак, в первый раз стрелки пересекутся через 31/44 часа.
Пусть во второй раз они пересекутся через время z, тогда:
Значит через 12/11 часа стрелки пересекутся во второй раз, еще через 12/11 часа — в третий и так далее … Значит если старт был в 4:45, то в седьмой раз стрелки пересекутся через:
В минутах это 7∙60+15=435.
Небольшой итог! При решении необходимо:
— определить отставание минутной стрелки от часовой в частях круга,
— далее вычислить через какое время стрелки пересекутся в первый раз,
— затем определить время пересечения стрелок во второй и последующие разы (его можно просто запомнить 12/11 часа – это время через которое стрелки встречаются «от пресечения до пересечения»),
— далее вычислить общее время.
Но! Теперь СПЕЦ-совет для решения такой задачи на самом экзамене. Ведь не секрет, что время имеет большую ценность и разбрасываться им на экзамене просто преступно ))).
Способ второй (простая логика)! Решаем за минуту!
Давайте разберём предыдущую задачу. Время 4 часа 45 минут.
Первый раз стрелки пересекутся между пятью и шестью часами, то есть в шестом часу, второй в седьмом часу, третий раз в восьмом, четвёртый в девятом, пятый в десятом, шестой в одиннадцатом, седьмой в 12 часов.
То есть времени пройдёт 7 часов 15 минут, 7∙60+15=435.
Таким образом, просто загибая пальцы на руке вы решаете задачу за одну минуту без лишних вычислений.
Теперь ряд задач на часы со стрелками для отработки.
На часах 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?
Время 3 часа. Первый раз стрелки пересекутся в четвёртом часу, второй в пятом часу, третий раз в шестом, четвёртый в седьмом, пятый в восьмом, шестой в девятом, седьмой в десятом, восьмой в одиннадцатом, девятый в 12 часов.
То есть пройдёт 9 часов, 9∙60=540 минут.
Время 11 часов 40 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся 12 часов, то есть через 20 минут.
Время 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся в восьмом часу, второй в девятом, третий раз в десятом, четвёртый в одиннадцатом в 12 часов.
То есть времени пройдёт от 6:45 до 12 пройдёт 5 часов 15 минут, 5∙60+15=315 минут.
Время 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся в восьмом часу, второй в девятом, третий раз в десятом, четвёртый в одиннадцатом в 12 часов.
То есть времени пройдёт от 6:35 до 12 пройдёт 5 часов 25 минут, 5∙60+25=325 минут.
Время 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся в третьем часу, …. , десятый в 12 часов.
То есть времени пройдёт 10 часов, 10∙60=600 минут.
Время 8 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся в девятом часу, второй в десятом, третий раз в одиннадцатом, четвёртый в 12 часов.
То есть времени от 8:20 до 12 пройдёт 3 часов 40 минут, 3∙60+40=220 минут.
Время 2 часа 5 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
Первый раз стрелки пересекутся в третьем часу, …. , десятый в 12 часов.
То есть пройдёт 9 часов 55 минут, 9∙60+55=595 минут.
Как видите, такие задачи можно решать устно. Заметили что все они составлены таким образом, что последнее пересечение стрелок попадает на 12:00? Иначе в ответе нельзя получить целое число или конечную десятичную дробь (это требование и условие для задач экзамена). Только через следующие 12 часов (это ещё плюс 11 пересечений).
Задача про стрелки часов. Задание 11
Эта задача ничуть не сложнее, чем задача на движение по кругу. У нас по кругу движутся часовая и минутная стрелки. Минутная стрелка за час проходит полный круг, то есть 360°. Значит, ее скорость равна 360° в час. Часовая стрелка за час проходит угол 30° ( это угол между двумя соседними числами на циферблате). Значит, ее скорость 30° в час.
В 8 часов 00 минут расстояние между стрелками составляет 240°:
Пусть минутная стрелка в первый раз встретится с часовой через t часов. За это время минутная стрелка пройдет 360°t, а часовая 30°t, причем минутная пройдет на 240° больше, чем часовая. Получим уравнение:
То есть через 8/11 часа стрелки первый раз встретятся.
Теперь до следующей встречи минутная стрелка пройдет на 360° больше, чем часовая. Пусть это произойдет через х часов.
360°х-30°х=360°. Отсюда х=12/11. И так еще два раза.
Получаем, что минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой через 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 мин.
Ответ: 240 мин.
2. Задание 11 (№ 114773). Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?
В этой задаче скорость движения стрелок будем выражать в градусах/минуту.
Скорость минутной стрелки равна 360˚/60=6˚ в минуту.
Скорость часовой стрелки равна 30˚/60=0,5˚ в минуту.
В 0 часов положение часовой и минутной стрелок совпадало. 1 час 35 минут — это 95 минут. За это время минутная стрелка прошла 95х6=570˚=360˚+210˚, а часовая прошла 95×0,5˚=47,5˚. И у нас такая картинка: 
Первый раз стрелки встретятся через время 
, когда часовая стрелка повернется на 
:
