Какие из следующих выражений являются предикатами

§ 2. Понятие формулы логики предикатов. Равносильные формулы логики предикатов

В логике предикатов используется следующая символика:

1. Символы р, q, r, . — переменные высказывания, принимающие два значения: 1 — истина, 0 — ложь.

2. Предметные переменные — х, у, z. которые пробегают значения из некоторого множества М: х°, у° , z° , . — предметные константы, то есть значения предметных переменных;

3. Р( · ), f( · ) — одноместные предикатные переменные; Q(·,·. ·), R(·,·. ·) — n-местные предикатные переменные. Р°( · ), Q°(·,·. ·) — символы постоянных предикатов.

4. Символы логических операций:

5. Символы кванторных операций: .

6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение 1. (формулы логики предикатов).

1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является формулой.

2.Если F(·,·. ·) — n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, a x₁_t x₂, . х_n — предметные переменные или предметные постоянные, не обязательно все различные, то F(x_1, x₂, . х_n) есть формула. В этой формуле предметные переменные являются свободными. Формулы вида 1 и 2 называются элементарными.

3.Если А и В — формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой свободной, то A v В , А& В, А→ В есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободными, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.

4.Если А — формула, то А — формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле А не меняется.

5. Если -А(x) — формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова Vх А(х) и А(х) являются формулами, причем предметная переменная в них входит связанно.

6. Никакая другая строка символов формулой не является.

Пример 1. Какие из следующих выражений являются формулами логики предикатов? В каждой формуле выделите свободные и связанные переменные.

1) ;

2);

3) ;

4);

5);

6).

Решение. Выражения 1), 2), 4), 6) являются формулами, так как записаны в соответствии с определением формулы логики предикатов. Выражения 3) и 5) не являются формулами. В выражении 3) операция конъюнкция применена к формулам Р(х) и ; в первой из них переменнаях свободна, а во второй связана квантором общности, что противоречит определению формулы. В выражении 5) квантор существования по переменной у навешен на формулу , в которой переменнаяу связана квантором общности, что также противоречит определению формулы.

В формуле 1) переменная у свободна, а переменные х и z связаны. В формуле 2) нет предметных переменных. В формуле 4) переменная х связана, а переменная у свободна.

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значения трех видов переменных, входящих в формулу:

а) переменных высказываний;

б) свободных предметных переменных из множества М;

в) предикатных переменных.

При конкретных значениях этих переменных формула принимает конкретное логическое значение.

Пример 2. Дана формула , где предикаты Р(х), Q(х) и R(х) определены на множестве N. Найти ее значение, если

1) Р(х): «число х делится на 3», Q(x): «число х делится на 4», R(x): «число х делится на 2»;

2) Р(х):. «число х делится на 3», Q(x): «число х делится на 4», R(x): «число х делится на 5».

Решение. В обоих случаях конъюнкция Р(х) & Q(х) есть утверждение, что число х делится на 12. Но тогда при всех х, если число х делится на 12, то оно делится и на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.

Так как из делимости числа х на 12 не при всех х следует делимость числа х на 5, то в случае 2) формула ложна.

Пример 3. Вычислить значение формулы

, если предикат Р(х,у) имеет значение Р°(х,у) — «число х меньше числа у» и определен на множестве .

Решение. Так как при указанном значении предиката Р(х,у) высказывание означает утверждение, что для любого натурального числа х найдется натуральное число у, большее числа х, то это высказывание истинно. В то же время высказывание означает утверждение, что существует натуральное число х, которое меньше любого натурального числа у. которое ложно. При этом исходная формула, очевидно, ложна.

Определение 2. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Здесь, как и в алгебре высказываний, для равносильных формул принято обозначение А ≡ В .

Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Сюда, в первую очередь, следует отнести равносильности:

, .

Они широко используются в логике предикатов при равносильных преобразованиях, если приходится иметь дело с выражениями, содержащими операцию отрицания.

Пример 4. Найти отрицание следующих формул:

1) ;

2) ;

3).

1) ;

3) ;

Доказательство равносильностей логики предикатов требует или детального рассмотрения значений формул или использования известных равносильностей.

Пример 5. Доказать равносильность

Решение. Для доказательства равносильности достаточно рассмотреть два случая:

1. Пусть предикаты А(х) и в(х) тождественно ложны. Тогда будет тождественно ложным и предикат . При этом будут ложными высказывания и.

2. Пусть теперь хотя бы один из предикатов (например, А(x)) не тождественно ложный. Тогда будет не тождественно ложным и предикат A(x) v B(x) . При этом будут истинными высказывания и , а, значит, будут истинными в исходные формулы.

Следовательно, .

Пример 6. Доказать равносильность

Решение. Рассмотрим два случая:

1. Пусть высказывание с ложно. Тогда для любого предиката А(х) будет тождественно ложным высказывание и предикатc& А(х) , и , следовательно, высказывание . Значит, в этом случае обе исходные формулы тождественно ложны.

2. Пусть теперь высказывание с истинно. Тогда, очевидно, значения исходных формул будут целиком зависеть от значений предиката А(х). Если А(х) — тождественно истинный предикат, то будет тождественно истинным и предикат с& А(х), и, следовательно, будут тождественно истинными высказывания ,,, то есть тождественно истинны исходные формулы. Если же предикат А(х) не тождественно истинный, тогда будет не тождественно истинным предикат с&А(х), а высказывания ,,будут ложными, то есть ложные значения принимают обе исходные формулы, что в итоге доказывает их равносильность.

3.13. Укажите, какие из следующих выражений являются формулами логики предикатов. В каждой формуле выделите свободные и связанные переменные:

1);

2) ;

3);

4);

5);

6) .

3.14. Даны утверждения А(n): «число n делится на 3», В(п): «число n делится на 2», С(n): «число п делится па 4», D(n) «число n делится на 6», Е(п): «число n делится на 12». Укажите, какие из следующих утверждений истинны, какие ложны:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5);

3.15. Пусть предикат Р(х,у) определен на множестве М = N × N и означает « х < у ».

1) Какие из следующих предикатов тождественно истинные и какие тождественно ложные:

2) Для тех предикатов из 1), которые не являются ни тождественно истинными, ни тождественно ложными, указать область истинности и область ложности.

Какие из следующих предложений истинны и какие ложны:

3.16. Показать, что кванторы общности и существования не перестановочны, то есть высказывания и могут, вообще говоря, иметь различные значения.

3.17. Среди следующих пар предикатов выберите те, в которых предикаты являются отрицаниями друг друга:

«а < b» и «b < а »;

«Треугольник ABC прямоугольный» и «Треугольник ABC тупоугольный»;

3) «Целое число k четно» и «Целое число k нечетно»; 4) «Функция f нечетна» и «Функция f четна»;

5) «Натуральное число n — простое» и «Натуральное число n — составное.»

3.18. Доказать следующие равносильности:

10)

11)

3.19. Найти отрицания следующих формул:

3.20. Пусть предикат А(х) и В(х) — любые предикаты. Kакие из следующих формул равносильны формуле (*)?

3.21. Доказать, что для любой формулы логики предикатов можно построить ей равносильную формулу, не содержащую:

1) кванторов существования;

2) кванторов общности.

3.22. Доказать, что формулы ине равносильны.

3.23. Доказать, что формулы ине равносильны.

3.24. Доказать, что

2) то же с заменой & на v;

3) можно ли в 1) и 2) заменить F(x) и G(y)двухместными предикатами, зависящими от x и y?

3.25. Пусть А(х) и В(х) два одноместных предиката, определенных на множестве М таких, что высказывание истинно. Доказать, что высказываниеложно.

3.26. Даны два предиката Q(х,у) и R(y,z), определенные на множестве М × М , где М = <а, b, с> . Для следующих предложений записать их выражения без использования кванторных операций:

3.27. Каким условиям будут удовлетворять области истинности предикатов А(х) и В(х), определенных на множестве М, если истинны высказывания:

6.4. Задачи

1. Укажите, какие из следующих выражений являются формулами исчисления предикатов. В каждой формуле укажите свободные и связанные вхождения переменных:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

2. Пусть – натуральное число. Даны следующие утверждения.

· – “число кратно 5”;

· – “число кратно 2”;

· – “число кратно 4”;

· – “число кратно 10”;

· – “число кратно 20”.

Укажите, какие из следующих высказываний истинны, какие ложны.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

3. Записать утверждения с помощью следующих обозначений: , – человек, – преподаватель Иванов, – студент, – школьник, – отличник, – староста, – преподаватель, – работающий, – член профсоюза, – молодой, – старый, – справедливый, – девушка, – боится.

Практикум

Здесь x, у, z, t — переменные по множеству действительных чисел, a, b — по множеству целых чиссл,у^?- по множеству функций.

6. Выделите простые высказывания и логические связки между ними. Запишите исходные предложения символически. Найдите их значения.
а) число (-14) четное и отрицательное;
6) число 1 — 42 отрицательное или рациональное;
в) число 1 — 42 отрицательное и рациональное;
г) если число 1 — 42 рациональное, то оно положительное;
д) число log₀,5 положительное или иррациональное.
7. Обозначим буквой А предложение «Четырехугольник имеет две равные стороны», а буквой В — предложение «Четырехугольник имеет два равных угла». Прочитайте предложения по их символической записи:

Пусть дан четырехугольник с попарно различными сторонами. Определите значение предложения А—>В.

Приведите пример четырехугольника, для которого предложение А^>В неверно.

8. Даны высказывания трех мальчиков.

Петя: «Я пойду в театр или в кино».

Вася: «Я сдам экзамены по математике и по физике».

Андрей: «Если я сдам экзамен по математике, то пойду в театр».

Известно, что каждый мальчик не сдержал обещание. Сделайте выводы.

9. Задумано натуральное число. Вася и Петя высказали по одному утверждению.

Петя: «Если число нечетное, то оно меньше 15».

Вася: «Если число составное, то оно четное».

Известно, что высказывание Пети истинно, а высказывание Васи ложно. Какое число задумано?

10. К каждому из следующих предикатов с натуральной переменной п примените сначала квантор общности, а затем квантор существования:
1) п — простое число; 2)и>1; 3)/;:5.

Сформулируйте полученные высказывания и выясните, какие из них истинны.

11. Запишите символически каждое из следующих предложений, выявите в нем свободные и связанные переменные:
1) существует такое число х, что х больше у;
2) для любого числа;’ верно, что л* больше у;
3) существуют такие числа * и у, что х больше у;
4) каковы бы ни были числа х иу,х больше у;
5) для всякого числа х найдется такое число у_у что л’ больше у;
6) существует такое число у, что для любого числа х верно, что х больше у.

Здесь д; и у — действительные переменные.

12. Запишите символически следующие предложения:
1) существует число, равное своему квадрату;
2) четвертая степень любого числа неотрицательна;
3) неравенство 2*>3 верно хотя бы для одного числа х;
4) куб некоторого числа равен 7;
5) неравенство 2* >0 верно для всякого числа х.

Докажите истинность этих высказываний.

13. Прочитайте следующие предзожения разными способами (вначале используя в формулировке переменную дг, затем без указания этой переменной):
1) 3.r(.v 2 1), 5) V*(.r 2 >0). Какие из высказываний истинны? Обоснуйте.
14. Прочитайте следующие высказывания и выясните, какие из них верны:
1) V* (л>4 -> * 2 > 10), 2) V.r (дг>4 -> л; 2 > 10),
3) V* (дг> 1 v х 2).

15. Для предложения х>у запишите символически результаты всех возможных вариантов применения кванторов по двум переменным (восемь вариантов). Прочитайте полученные высказывания и выясните, истинны ли они, если переменные х и у могут принимать:

а) действительные значения; б) натуральные значения.

Постарайтесь прочитать высказывания, нс используя буквы х и у.

16. Для предложения ху запишите символически результаты всех возможных вариантов применения кванторов по двум переменным. Прочитайте полученные высказывания и выясните, истинны ли они. Буквы хм у- это переменные по множеству целых чисел.

17. Прочитайте, нс используя буквы а и b, следующие предложения и выясните, какие из них верны:

Переменные а н b обозначают прямые.

18. Запишите символически следующие предложения и проанализируйте их:

1) для любого числа а существует число, синус которого равен а

2) для любого числа а существует число, равное синусу а;

3) существует число а, такое, что синус любого числа будет равен а;

4) существует число а, такое, что синус любого числа будет меньше а.

19. Даны предложения о числовой функции / Приведите пример такой функции, для которой предложение истинно, и пример функции, для которой оно ложно.

20. Даны следующие функции:

где <*>обозначает дробную часть числа х. Найти все функции, для которых верно предложение:

21. Запишите следующие предложения о числовой функции /символически, используя кванторы. Приведите пример функции, для которой предложение верно, и пример функции, для которой оно ложно.

1) Любое действительное число является значением функции/

2) Ни одно положительное число не является значением функции/

3) Разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции.

4) Функция / принимает постоянное значение при всех значениях аргумента из отрезка [2; 3].

5) Функция/ограниченна на промежутке (0; 1).

6) Функция / на интервале (0; 1) принимает только отрицательные значения.

7) Функция/может принимать отрицательные значения только в точках интервала (0; 1).

22. Установите между предикатами, если возможно, отношение следования:

а)дг : 15 и д: : 5; б) х>у и х>у; в) (л> 10) v (у> 10) и х+у>20;

г) «четырехугольник х есть ромб» и «диагонали четырехугольника х перпендикулярны»;

д) «углы х и у вертикальные» и «углы х и у равны».

а) А = «х — прямоугольник», В = «Диагонали х равны»;

б) А = «Прямая а параллельна />, а прямая b параллельна с»,

В = «Прямая а параллельна с»;

в) А = «Треугольник прямоугольный»,

В = «Один из углов треугольника равен сумме двух других».

24. Вставьте вместо многоточия одно из словосочетаний «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «нс необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание. Обоснуйте выбор.

а) Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, . чтобы это был ромб.

б) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, . , чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам.

в) Для того чтобы две прямые были параллельными, . , чтобы они лежали в одной плоскости.

г) Для того чтобы выполнялось неравенство х 2 >у 2 , . , чтобы число * было больше числа у.

д) Для того чтобы выполнялось равенство X 2 =у 2 ₉ . , чтобы ЧИСЛО .V было равно числу у.

е) Для того чтобы целое число делилось на 48, , чтобы это число

делилось на 8 и на 6.

25. Вставьте вместо многоточия один из математических терминов так, чтобы получилось верное утверждение.

а) Равенство площадей фигур является . условием для того, чтобы фигуры были равны.

б) Равенство х 2 +х=у 2 +у является . условием для того, чтобы числа х и у были равны.

в) Равенство ab=0 является . условием для того, чтобы я=0.

г) Неравенство д>1 является . условием для неравенствах 2 >1.

26. Выделите в следующих предложениях простые высказывания, обозначьте их буквами и представьте данные предложения в виде формул:

а) число 13 5 +5 делится на 11 и на 19;

б) если дробь несократима, то или ее числитель, или ее

знаменатель не делится на 13;

в) если сегодня не выходной день, то Коля идет в школу, если у него нет высокой температуры;

г) если число х меньше числа у, то если эти числа одного знака, то — > —,

а если они разных знаков, то — 2 , то одно из чисел у делится нар, а другое на р не делится.

27. Найдите вес наборы значений переменных, при которых формула принимает значение лжи.

28. Найдите все наборы значений переменных, при которых формула принимает значение истины.

29. Докажите, что следующие формулы являются тавтологиями:

30. Докажите равносильность следующих формул:

31. Приведите пример предложений А и В, чтобы формула (Л—>1# приняла ложное значение. Сформулируйте предложение, выраженное этой формулой.

32. Проверьте, равносильны ли следующие пары формулы. Если нет, приведите пример предложений, при которых одна из формул принимает значение истины, а другая — значение лжи:

1)Л->йий->Л 2) А которое в произведении с х равно нейтральному по умножению числу (такое число у называется обратным к х).

38. Пусть даны предикаты А(х) и В(х). Запишите формулами следующие утверждения:

1) Предюжение А(х) верно при некоторых х, при которых верно В(х).

2) Предюжение А(х) верно при всех х, при которых верно В(х).

3) Предюжение А(х) верно только при тех х, при которых верно В(х).

4) Предложение А(х) верно при всех тех и только тех х, при которых верно В(х).

39. Проанализируйте истинность предложений:

1) Равенство х=х верно при некоторых положительных значениях х.

2) Равенство х=х верно при всех положительных значениях х.

3) Равенство х=х верно только при положительных значениях х. Постарайтесь закончить истинное предложение: «Равенство |*|=л; верно для всех тех и только тех х, которые удовлетворяют неравенству . »

40. Проанализируйте истинность предложений:

1) Равенство .t 4 =3jc верно при некоторых положительных значениях .т.

2) Равенство л; 4 =3х верно при всех положительных значениях л

3) Равенство лг 4 =3* верно только при положительных значениях х.

41. Проанализируйте истинность предложений:

1) Неравенство г >3 верно при некоторых положительных значениях х.

2) Неравенство дг 3 >3 верно при всех положительных значениях л

3) Неравенство г >3 верно только при положительных значениях jc.

42. Сформулируйте отрицания к следующим предложениям в позитивной форме. Для этого вначале представьте предложения в виде формул и, воспользовавшись законами логики, постройте отрицания. Приведите примеры чисел, при которых отрицание принимает истинное значение.

а) Если число рациональное, то оно не целое.

б) Если число делится на 2 и на 4, то оно делится на 8.

в) Если сумма чисел а и b является целым числом, то хотя бы одно слагаемое есть целое число.

г) Если произведение двух целых чисел делится на 4, то хотя бы одно число делится на 4.

д) Числа а, Ь, с равны между собой.

43. Переформулируйте предложения с помощью правила контрапозиции:

а) если число оканчивается на 0, то оно делится на 5;

б) если стол дубовый, то он деревянный;

в) если сумма чисел а п b является иррациональным числом, то хотя бы одно слагаемое есть иррациональное число;

г) если квадрат целого числа является четным числом, то само число также четно;

д) если х равно у и у равно z, то х равно z.

1) Все ромбы являются параллелограммами.

2) Ни один ромб нс является трапецией.

3) Некоторые прямоугольники являются ромбами.

4) Некоторые прямоугольники не являются ромбами.

5) Найдется трапеция, являющаяся прямоугольником.

Какие из исходных предложений истинны?

45. Дана числовая функция у =/(.*). Используя кванторы, запишите предложение: «Функция / принимает отрицательные значения при всех положительных значениях аргумента». Постройте отрицание. Прочитайте. Приведите два примера функций, для одной из которых это предложение истинно, а для другой — ложно. Верно ли предложение для функции / (х) = sin .v?

46. Выполните те же самые задания, данные в задаче № 45, для предложения: «Функция / принимает отрицательные значения при некоторых положительных значениях аргумента».

47. Даны предикаты А(х) = «г делится на 4», В(х) = «х делится на 2», С(х) = «х делится на 8», гдех- переменная по множеству целых чисел. Прочитайте предложения, заданные следующими формулами. Постройте отрицания, прочитайте полученные предложения. Докажите или опровергните данные предложения (то есть обоснуйте, что именно верно: исходное предложение или его отрицание).

48. Сформулируйте отрицания к следующим высказываниям. Вначале запишите каждое предложение формулой, затем, используя законы логики, постройте отрицания. Определите, какие из исходных высказываний истинны, а какие ложны.

1) Сумма любых двух рациональных чисел является рациональным числом.

2) Произведение двух некоторых не целых чисел является целым числом.

3) Любое натуральное число является квадратом некоторого натурального числа.

4) Существует действительное число, меньшее любого натурального числа.

5) Найдется натуральное число, меньшее всякого натурального числа.

6) Каждое целое число, делящееся на 5, по модулю больше либо равно 5.

49. Прочитайте предложения, заданные формулами. Докажите или опровергните:

50. Опровергните следующие предложения. Для этого вначале запишите каждое предложение формулой, затем, используя законы логики, постройте отрицание и покажите его истинность.

1) Равенство неверно ни для каких различных натуральных чисел х и

2) Равенство х 2 +х=у 2 +у верно только при равных числах х и у.

51. Сформулируйте отрицания к предзожениям:

1) если Петя не решит задачу на экзамене, то получит «2» или «3»;

2) если каждый ученик решит задачу на экзамене, то все ученики сдадут экзамен.

52. Сформулируйте отрицания к следующим предложениям:

а) Хотя бы один ученик решил все задачи из домашнего задания.

б) Каждую задачу из домашнего задания решил хотя бы один ученик.

Для каждого предложения пунктов а) и б) приведите пример, когда предложение неверно (то есть истинно его отрицание). Обоснуйте разницу предложений пунктов а) и б).

53. Сформулируйте отрицание к предложению: «Найдутся пять последовательных натуральных чисел, каждое из которых является составным». Верно ли оно?

54. Сформулируйте теоремы в условной форме.

1) В параллелограмме противоположные углы попарно равны.

2) Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

3) Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой.

4) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

55. Перейдите от категоричной формы теоремы к условной форме, опустив внешний квантор общности.

1) Любой правильный многоугольник является выпуклым.

2) В любом описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

3) Всякая последовательность, имеющая предел, ограничена.

4) Отношение площадей любых двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

56. Сформулируйте теоремы в категоричной форме, не восстанавливая кванторные слова.

1) Если треугольник является равнобедренным, то углы при основании этого треугольника равны.

2) Если четырехугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны попарно равны.

3) Если функции fug являются возрастающими, то их сумма есть возрастающая функция.

4) Если функция имеет производную, то она непрерывна.

57. Сформулируйте теоремы в категоричной форме, восстановив опущенные кванторные слова.

1) Если многоугольники равны, то они имеют равные площади.

2) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

3) Если трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны.

4) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

58. Сформулируйте теоремы (в условной и категоричной формах), восстановив все необходимые кванторные слова.

1) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

2) Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.

59. Для каждой теоремы из задач №49-52 постройте обратные утверждения и выясните, верны ли они.

60. Сформулируйте теоремы на языке необходимых и достаточных условий. 1) Диагонали ромба перпендикулярны.

2) Сумма двух целых чисел, делящихся на 3, также делится па 3.

3) Любые два равных треугольника подобны.

61. Выделите логическую структуру теоремы: «В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны». Сформулируйте и докажите обратную теорему.

62. Дана теорема: «В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы». Постройте два обратных предложения к этой теореме. Докажите или опровергните их.

63. Для каждой из следующих теорем сформулируйте обратное, противоположное и контрапозитивное утверждения и выясните, какие из них верны.

1) Диагонали ромба делят его углы пополам.

2) В равнобедренном треугольнике медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают.

3) В равнобедренном треугольнике биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

64. Дана задача: «В треугольнике АВС угол В равен 60°, АВ= 1, ВС=2. Найти АС». Проанализируйте правильность следующих решений.

1) «Сторона А В равна половине ВС. Так как в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то величина угла С равна 30°. Угол А действительно прямой. По теореме Пифагора находим сторону АС. Она равна V3 ».

2) «Известно, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого угла, равен 30°. Так как АВ в 2 раза меньше ВС, то угол С, лежащий против АВ, равен 30°. Тогда косинус угла С равен отношению АС к ВС, откуда AC=BC cos 30°= л/З».

65. Запишите символически теоремы, предварительно восстановив кванторные слова.

1) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

2) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

3) Если две различные прямые перпендикулярны данной плоскости, то они параллельны.

4) Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

5) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой- нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

66. Методом от противного докажите, что уравнение х 2 = 2 не имеет рациональных корней.

67. Докажите следующие теоремы методом от противного.

1) Если прямая на плоскости пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2) Если на плоскости две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

При доказательстве второй теоремы методом от противного получите противоречие с первой теоремой.

Читать:
Как замкнуть фигуру в кореле