Упр.416 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Как расположить корни в порядке возрастания
С
егодня мы продолжим решать примеры с арифметическим корнем задание № 3 ГИА по математике. Из вчерашних примеров можно было заметить, что не всегда есть необходимость решать примеры до конца. Есть варианты приближённого вычисления, и сегодня мы их рассмотрим:
Расположите в порядке возрастания: 4 корень из 21, 9, 4 корень из 5. 1) 9, 4 корень из 5, 4 корень из 21 2) 4 корень
- 9; 4 * √5; 4 * √21; или В; С; А;
- 4 * √5; 4 * √21; 9; или С; А; В;
- 4 * √5; 9; 4 * √21; или С; В; А;
- 9; 4 * √21; 4 * √5; или С; А; В;
- число 21, которое находящееся под корнем у числе А, не является полным квадратом целого числа;
- число 5 под корнем у числа С, не является полным квадратом целого числа;
- произведение числа 4 на иррациональное число также является иррациональным.
| СВОЙСТВО | ПРИМЕР |
|---|---|
| Корень произведения равен произведению корней: \( \displaystyle \sqrt[]=\sqrt[]\cdot \sqrt[]\) | \( \displaystyle \sqrt[]=\sqrt[]\cdot \sqrt[]=8\cdot 3=24\) |
| Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя: \( \displaystyle \sqrt[]>=\frac]>]>\), если \( \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0\) | \( \displaystyle \sqrt[]>=\frac]>]>=\frac=2\frac\) |
| Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: \( \displaystyle ^ >=>> \right)>^>>\), при \( \displaystyle a\ge 0\) | \( \displaystyle \right)>^>=\sqrt^>>=\sqrt=4\) |
- \( \sqrt=?\);
- \( \sqrt=?\);
- \( \sqrt=?\);
- \( \sqrt=?\);
- \( \displaystyle 0\);
- \( \displaystyle 8\);
- \( \displaystyle 11\);
- \( \displaystyle 17\);
- \( \sqrt=?\);
- \( \sqrt=?\);
- \( \sqrt=?\).
- \( \displaystyle 0,14\);
- \( \displaystyle 0,31\);
- \( \displaystyle 0,12\);
- умножение;
- деление;
- возведение в степень.
| СВОЙСТВО | ПРИМЕР |
|---|---|
| Корень произведения равен произведению корней: \( \displaystyle \sqrt[]=\sqrt[]\cdot \sqrt[]\) | \( \displaystyle \sqrt[]=\sqrt[]\cdot \sqrt[]=8\cdot 3=24\) |
| Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя: \( \displaystyle \sqrt[]>=\frac]>]>\), если \( \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0\) | \( \displaystyle \sqrt[]>=\frac]>]>=\frac=2\frac\) |
| Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: \( \displaystyle ^ >=>> \right)>^>>\), при \( \displaystyle a\ge 0\) | \( \displaystyle \right)>^>=\sqrt^>>=\sqrt=4\) |
- \( \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)
- \( \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)
\( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=2\cdot \sqrt=2\sqrt\)
\( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=4\) \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=6\)
\( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt30\)
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\)
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt=\sqrt=2\sqrt\);
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt\);
- \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt=8\).
- \( \displaystyle \sqrt^>>\)
- \( \displaystyle \sqrt^>>\)
- \( \displaystyle \right)>^>\)
\( \displaystyle 3\sqrt=\sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)
\( \displaystyle 3\sqrt-\sqrt\cdot \sqrt=\sqrt-\sqrt=0\)
\( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)
\( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=?\)
Абдурахмон :
Александр Кель :
Рожик :
Александр Кель :
Александр Кель :
Корни и степени
Здесь — основание степени, — показатель степени.
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Степень с целым показателем
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
Это верно для . Выражение 0 0 не определено.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.
Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.
Определение.
Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .
Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .
Свойства арифметического квадратного корня:
Запомним важное правило:
По определению, .
Кубический корень
Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .
Например, , так как ;
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .
Корень -ной степени
Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.
Сразу договоримся, что основание степени больше 0.
Выражение по определению равно .
При этом также выполняется условие, что больше 0.
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются;
— при делении степени на степень показатели вычитаются;
— при возведении степени в степень показатели перемножаются;
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при
5. Найдите значение выражения при
При a = 12 получим
Мы воспользовались свойствами степеней.
6. Найдите значение выражения при b = — 5.
При b = — 5 получим:
7. Расположите в порядке возрастания:
Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.
Сравним и для этого оценим их разность:
8. Представьте выражение в виде степени:
Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:
9. Упростите выражение:
Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:
(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)
10. Чему равно значение выражения при ?
Сравнение арифметических корней
11. Какое из чисел больше: или ?
Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):
Найдем разность полученных результатов:
Значит, первое число больше второго.
Как избавиться от иррациональности в знаменателе
Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :
Тогда знаменатель станет рациональным.
Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.
Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,
и и — сопряженные выражения.
12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:
Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.
Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения
Покажем несколько примеров.
14. Упростите: выражения:
Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:
19. Вычислите значение выражения:
20. Вычислите значение выражения:
21. Вычислите значение выражения: если
Если то следовательно
Рассмотрим уравнение вида где
Это равенство выполняется, только если
Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».
При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.
23. Решите уравнение:
23. Решите уравнение:
24. Решите уравнение:
25. Решите уравнение:
Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Корни и степени» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Разложите числа корень 4 степени из 3; корень 6 степени из 5; корень 6 степени из 2 корень из 7 в порядке возрастания
Чтобы расположить числа в порядке возрастания необходимо, используя свойства корней и степеней, уравнять показатели корней, для этого найдём наименьшее общее кратное показателей степеней корней НОК(4, 6, 2) = 12. Получаем:
7^(1/2) = 7^(6/12) = 117649^(1/12).
Так как 4^(1/12) < 25^(1/12) < 27^(1/12) < 117649^(1/12), то 2^(1/6) < 5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/2).
Ответ: числа в порядке возрастания – корень 6 степени из 2; корень 6 степени из 5; корень 4 степени из 3; корень из 7.
