Укажите рисунки на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин

В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что качественно отремонтирована пара сапог?

В двух одинаковых коробках лежат карандаши. В первой 12 красных и 8 синих, во второй 6 красных и 4 синих. Из случайно выбранной коробки наугад берется один карандаш. Найти вероятность того, что он окажется синим.

На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 2% брака, второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая бракованная деталь изготовлена вторым автоматом, если с первого автомата поступило 1000 деталей, а со второго 2000.

В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. I Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что качественно отремонтирована пара туфель?

В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что отобранная для проверки пара отремонтирована некачественно?

Из цифр 1, 2, 3,4, 5 последовательно наудачу выбирают две цифры. Найти вероятность того, что вторая выбранная цифра будет не менее трех.

В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель 0,85. Какова вероятность того, что отобранная для проверки пара отремонтирована качественно?

Из цифр 1, 2, 3,4, S последовательно наудачу выбирают две цифры. Найти вероятность того, что вторая выбранная цифра будет нечетной.

На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 6% брака, второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, если с первого автомата поступило 1000 деталей, а со второго 2000.

Известно, что 90% выпускаемой продукции соответствует стандарту- Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что изделие прошпо упрощенный контропь.

В двух одинаковых коробках лежат карандаши. В первой 12 красных и 8 синих, во второй б красных и 4 синих. Из случайно выбранной коробки наугад берегся один карандаш. Найти вероятность того, что красный карандаш был взят из первой коробки.

На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 6% брака,

второй 3% брака. Найти вероятность того, что наугад взятая бракованная деталь изготовлена первым автоматом, если с первого автомата поступило 1000 деталей, а со второго 2000.

Самка крокодила откладывает 1DD лиц. Вероятность того, что детеныш вырастет до взрослого животного, равна 0,06. Какова веролтность того, что вырастут четверо детенышей.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет не более 360.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,015. Найти вероятность того, что в партии из 200 телефонов окажется три или четыре бракованных.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из 200 пассажиров опоздают к отправлению поезда не менее двух человек.

Самка крокодила откладывает 100 лиц. Веролтность того, что детеныш вырастет до взрослого животного, равна 0,05. Какова веролтность того, что вырастут два или три детеныша.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут более трех.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,1. Найти вероятность того, что в партии из 900 телефонов 99 окажутся бракованными.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,2. Найти вероятность того, что никто из четырех пассажиров не опоздает к отправлению поезда.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 900 пассажиров опоздают 156 человек.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдет только одно.

Пакеты акций имеющихся на рынке ценных бумаг могут дать доход владельцу с вероятностью 0,3 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из 2100 пакетов акций хотя бы 590 дадут доход.

Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будут повреяздены хотя бы одна бутылка.

Вероятность того, что паутина паука-птицееда выдержит груз весом 200г, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди образцов паутины, взятых у 400 пауков,

выдержавшие испытание составляют ровно половину.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет не менее 345.

Вероятность того, что паутина паука-птицееда выдержит груз весом 200г, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди образцов паутины, взятых у 400 пауков, число выдержавших испытание заключено в границах от 300 до 340 (включительно).

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из 200 пассажиров к отправлению поезда опоздает хотя бы один человек.

Самка крокодила откладывает 100 яиц. Вероятность того, что детеныш вырастет до взрослого животного, равна 0,04. Какова вероятность того, что вырастет хотя бы один детеныш.

Пакеты акций имеющихся на рынке ценных бумаг могут дать доход владельцу с вероятностью 0,3 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из 2100 пакетов акций по крайней мере пятьдесят дадут доход.

Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будет повреэкдено менее двух.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет не более 345.

Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будет повреждено пять или шесть.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,1. Найти вероятность того, что в партии из 900 телефонов окажется хотя бы 90 бракованных.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 900 пассажиров опоздают 150 человек.

Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак ничего не поймает, если у него четыре поклевки?

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех пассажиров опоздают к отправлению поезда 2 человека.

Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак поймает одну рыбу, если у него три поклевки?

Самка крокодила откладывает 100 яиц. Вероятность того, что детеныш вырастет до взрослого животного, равна 0,05. Какова вероятность того, что вырастут хотя бы два детеныша.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,015. Найти вероятность того, что в партии из 200

телефонов бракованных окажется менее 2.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более трех.

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из 200 пассажиров опоздают к отправлению поезда 2 человека.

Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак поймает четыре рыбы, если у него четыре поклевки?

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти вероятность того, что из 200 пассажиров опоздают к отправлению поезда менее двух человек.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет 250 семян.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,1. Найти вероятность того, что в партии из 900 телефонов 72 окажутся бракованными.

Пакеты акций имеющихся на рынке ценных бумаг могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из трех пакетов акций по крайней мере один даст доход.

Пакеты акций имеющихся на рынке ценных бумаг могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из трех пакетов акций все три дадут доход.

Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,3 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из 2100 пакетов акций 1000 пакетов дадут доходы.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,1. Найти вероятность того, что в партии из 900 телефонов бракованных окажется более 10.

телефонов окажется хотя бы один бракованный.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,1. Найти вероятность того, что в партии из 900 телефонов окажется 3 бракованных.

Предположим, что вероятность выловить рыбу при одной поклевке равна 0,7. Какова вероятность того, что рыбак поймает хотя бы одну рыбу, если у него четыре

Вероятность повреждения бутылки с минеральной водой при перевозке равна 0,002. Найти вероятность того, что из 2000 бутылок при перевозке будут повре;кдены

Пакеты акций имеющихся на рынке ценных бумаг могут дать доход владельцу с вероятностью 0,5 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из трех пакетов акций один даст доход.

Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,3 (для каждого пакета). Найти вероятность того, что из 2100 пакетов акций 651 дадут доходы.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных

семян взойдет не менее 360.

Завод производит мобильные телефоны. Вероятность того, что выпущенный телефон бракованный, равна 0,015. Найти вероятность того, что в партии из 200 телефонов окажется пять бракованных.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдет хотя бы одно.

Всхожесть семян составляет 90%. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдет 339 семян.

При каком значении параметра к плотность распредепения непрерывной случайной величины имеет вид, приведенный ниже:

О в остальных случаях.

Укажите рисунки, на которых изображены графики плотностей непрерывных случайных величин.

Найти вероятность Р(-3<Х<4), если закон распределения случайной величины X

имеет вид (см. таблицу):

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин.

Найти вероятность Р(0<Х<3), если закон распределения случайной величины X имеет вид (см.таблицу):

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

Найти вероятность Р(2<Х<5), если закон распределения случайной величины X

имеет вид (см. таблицу):

Найти вероятность Р(1<Х<5), если закон распределения случайной величины X имеет вид (см. таблицу):

Найти Р(Х=3), если закон распределения случайной величины X имеет вид (см. таблицу):

Укажите рисунки, на которых изображены графики плотностей непрерывных случайных величин.

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин.

Найти вероятность Р(2 < X < 5), если функция распределения случайной величины X имеет вид:

При каком значении параметра b функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид, приведенный ниже:

Найти Р(Х=3), если закон распределения случайной величины X имеет вид (см.

Найти Р(Х=2), если закон распределения случайной величины X имеет вид (см. I таблицу):

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения дискретных случайных величин.

Укажите рисунки, на которых изображены графики плотностей непрерывных случайных величин.

Найти вероятность Р(1,5 < X < 3), если функция распределения случайной величины X имеет вид:

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения дискретных случайных величин.

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин.

Найти вероятность Р(-1<Х<3), если закон распределения случайной величины X

имеет вид (см. таблицу):

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

При каком значении параметра k функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид, приведенный ниже:

Укажите рисунки, на которых изображены графики плотностей непрерывных случайных величин.

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

Найти вероятность Р(1 <Х<4), если функция распределения случайной величины X имеет вид:

Найти вероятность Р(-1 <Х < 2,5), если функция распределения случайной величины X имеет вид:

При каком значении параметра а плотность распредепения непрерывной случайной величины имеет вид, приведенный ниже:

при 0 <х<а, в остальных случаях.

Укажите рисунки, на которых изображены функции распределения случайных величин.

Найти вероятность Р(0<Х<3), если закон распределения случайной величины X

имеет вид (см. таблицу):

Пусть X — непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x). Установить взаимно однозначное соответствие между элементами списков:

вероятность того, что X меньше х, раена 1 Г г

Вероятность того, что X не меньше к, раена г 1 г

Вероятность того, что X равна х, раена г г 1

Найти вероятность Р(1,5 < X < 3,5), если функция распределения случайной величины X имеет вид:

Пусть X — дискретная случайная величина с функцией распределения F(x) и законом распределения Р<х). Установить взаимно однозначное соответствие меоду элементами списков:

Вероятность того, что X меньше х, равна 1 Г г

Вероятность того, что X не меньше х, равна Г 1 г

Вероятность того, что X равна х, равна Г г 1

В корооке 2 синие и 3 красные ручки. Преподаватель извлекает две ручки. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных красных ручек. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0.1 0.2 о.з 0,4 0,6

Р(Х=0) = г 1 г г г г

Р(Х=1) = г г г г г 1

Р<Х=2) = г г г 1 г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

2/19. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0.6. а второй с вероятностью 0.5.

Каждый стрепок сделал по одному выстрелу. Пусть случайная величина X равна числу

попаданий в мишень. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках

0 0.2 0.3 0.4 0,5 0.6

Р(Х=0) = г 1 г г Г г

Р(Х=1> * г г г г 1 г

Р(Х=2) = г г 1 г г г

Р(Х=Э) = 1 г г г г г

Стрелок попадает в цепь с вероятностью 0,7. Стрельба прекращается в случае попадания в цепь. Пусть случайная величина X равна числу произведенных выстрелов, еспи у стрелка три патрона. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках

0 0.09 0,21 0,3 0,49 0.7

Р(Х=0) = 1 Г Г г Г Г

Р(Х=1) = г г Г г г 1

Р(Х=2) = г г 1 г г г

Р(Х=3) = г 1 г г г г

В урне 3 красных и 2 зеленых шара. Из урны извлекают три шара. Пусть случайная величина X равна числу зеленых шаров. Укажите значения вероятностен в соответствующих клетках таблицы:

0 0,1 0,2 0.3 0,4 0,6

Р(Х=0) = Г 1 Г г г г

Р(Х=1) = Г г г г г 1

Р(Х=2) = Г г г 1 г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

Стрелок попадает в цепь с вероятностью 0,7. Пусть случайная величина X равна числу попаданий в мишень при двух выстрелах. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,09 0.3 0,42 0,49 0,7

Р(Х=0> = г 1 г Г Г Г

Р(Х=1) = г г г 1 г Г

Р(Х*2)« г г г г 1 г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

В коробке 2 синие и 3 красные ручки. Преподаватель извлекает ручки до тех пор. пока не найдет красную ручку. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных ручек. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6

Р(Х=0) * 1 г Г г г г

Р(Х=1) = г г г г г 1

Р(Х=2) = г г г 1 г г

Р(Х=3) = г 1 г г г г

Стрелок попадает в цепь с вероятностью 0,7. Пусть случайная величина X равна числу лромахов при двух выстрелах. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0.09 0,3 0,42 0,49 0,7

Р(Х=0) = г Г г Г 1 Г

Р(Х=1) = г г г 1 г г

Р<Х«2) = г 1 г г г г

Р(Х*3) = 1 г г г г г

8/19. Первый стрелок попадает в цепь с вероятностью 0,6, а второй с вероятностью 0,5. Каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Пусть случайная величина X равна числу промахов. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6

Р(Х=0) = г Г 1 г г г

Р(Х=1) = г г г г 1 г

Р(Х=2) = г 1 г г г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

Баскетболист дважды бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при первом броске равна 0.6. а при втором — 0.8. Пусть случайная величина X равна числу промахов. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,08 0,44 0,48 0,6 0.8

Р(Х=0) = г Г Г 1 г г

Р(Х=1) = г г 1 Г г г

Р(Х=2) = г 1 г г г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

Стрелок попадает в цепь с вероятностью 0.9. Стрельба прекращается в случае

попадания в цепь. Пусть случайная величина X равна числу произведенных выстрелов,

если у стрелка три патрона. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках

0 0,01 0,09 0,18 0,81 0,9

Р(Х=0) = 1 г г г Г г

Р(Х=1) = г г г г Г 1

Р(Х=2) = г г 1 г г г

Р(Х*3) о г 1 г г г г

В урне 3 красных н 2 зеленых шарэ. Из урны поочередно извлекают три шара, фиксируют их цвет и возвращают обратно. Пусть случайная величина X равна числу появлений зеленых шаров. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках

0 0,064 0,216 0.288 0,432 0,532

Р(Х=0). г г 1 Г Г Г

Р(Х=>1> г г г Г 1 г

Р(Х=3) = г 1 г г г г

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.9. Пусть случайная величина X равна числу пробоин в мишени при двух выстрелах. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0.01 0,1 0,18 0,81 0,9

Р(Х*0) = г 1 г г Г Г

Р(Х=1) ¦ г г г 1 г г

Р(Х=2> = г г г г 1 г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

В урне 2 красных и 3 зеленых шара. Из урны извлекаю! шары до iex лор, пока не появится зеленый. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных шаров. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,6

Р(Х=0) = 1 г г г г г

Р(Х=1> = г г г г г 1

Р(Х=2) = г г г 1 г г

Р(Х=3)« г 1 г г г г

Баскетболист дважды бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при первом броске равна 0.6, а при втором — 0.8. Пусть случайная величина X равна числу попаданий в корзину. ‘Л..ми i .¦ значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,08 0,44 0.48 0.6 0,8

Р(Х=0) = Г 1 Г Г г Г

Р(Х=1) = г г 1 г г Г

Р(Х=2) = г г г 1 г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

В коробке 2 синие и 3 красные ручки. Преподаватель извлекает три ручки. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных красных ручек. Укажите значения вероятностен в соответствующих клетках таблицы:

0 0.1 0,3 0.5 0,6 0,8

Р(Х=0) = 1 г г г г Г

Р(Х=1) = г г 1 г г г

Р<Х=2) = г г г г 1 г

Р(Х=3) = г 1 г г г г

Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9, а второй с вероятностью

0.8. Каждый стрелок сдепап по одному выстрелу. Пусть случайная величина X равна

числу пробоин в мишени. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках

0 0,02 0,26 0,72 0.8 0,9

Р(Х=0) = Г 1 Г Г Г Г

Р(Х=1) = г Г 1 г г г

Р(Х=2) = г Г г 1 г г

Р(Х=Э> =1 г г г г г

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Пусть случайная величина X равна числу промахов при двух выстрелах. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,01 0,1 0,18 0,81 0.9

Р(Х=0)* г г г г 1 Г

Р(Х=1)= г г г 1 г г

Р(Х=2) = г 1 г г г г

Р(х»з> = 1 г г г г г

Первый стрелок попадает в цепь с вероятностью 0,9. а второй с вероятностью 0.8. Каздыи стрелок сделал по одному выстрелу. Пусть случайная величина X равна числу промахов. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,02 0,26 0,72 0.8 0,9

Р(Х=0) = Г Г Г 1 Г Г

Р(Х=1) = г г 1 г г г

Р(Х=2)« г 1 г г г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

В коробке 2 синие и 3 красные ручки. Преподаватель извлекает три ручки. Пусть случайная величина X равна числу извлеченных синих ручек. Укажите значения вероятностей в соответствующих клетках таблицы:

0 0,1 0,2 аз аб 0,8

Р(Х=0) = г 1 Г г г Г

Р(Х=1) = г г г г 1 г

Р(Х=2) = г г г 1 г г

Р(Х=3) = 1 г г г г г

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон распределения

имеет вид (см. таблицу):

Найти математическое ожидание

отучай ной величины X, если ее плотность имеет следующий вид:

при 0<х<3, О в остальных случаях.

Математическое ожидание случайной величины X равно 0,1. Найти дисперсию этой

случайной величины, если ее закон распределения имеет вид:

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон распределения имеет вид (см. таблицу):

Найти математическое ожидание случайной величины X, если ее плотность имеет

. . (0,5 при 1<х<3, следующий вид: ср(х; = <

10 в остальных случаях.

Математическое ожидание случайной величины X равно 1,9. Найти дисперсию этой случайной величины, если ее закон распределения имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины X равно 0,75. Найти дисперсию этой

_ _ , s Гзх2 при 0 <х<1,

случайной величины, если ее плотность имеет вид: tp(x; = <

| 0 в остальных случаях.

Математическое ожидание случайной величины X равно 2,25. Найти дисперсию этой случайной величины, если ее плотность имеет вид: ф(х)=

при 0 <х<3, в остальных случаях

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон распределения имеет вид (см. таблицу):

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон оаспоеделения имеет вид (см. таблицу):

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон

распределения имеет вид (см. таблицу):

Математическое ожидание случайной величины X равно 0,3. Найти дисперсию этой случайной величины, если ее закон распределения имеет вид:

Математическое ожидание случайной величины X равно 2. Найти дисперсию этой

случайной величину если ее плотность имеетвид: Ц\х) = <

I 0 в остальных случаях.

Математическое ожидание случайной величины X равно 0,2. Найти дисперсию этой случайной величины, если ее закон распределения имеет вид:

Найти математическое ожидание случайной величины X, если ее плотность имеет

, . /0,25 при -1<*<3, следующий вид: tp(x; = <

I 0 в остальных случаях

Математическое ожидание случайной величины X равно 2/3. Найти дисперсию этой

, , \2х при 0 <х<\, случайной величины, если ее плотность имеетвид: tpЈx) = i

[О в остальных случаях.

Математическое ожидание случайной величины X равно 1. Найти дисперсию этой

,. /0,25 при -1<*<3, случайной величины, если ее плотность имеетвид: Ц\х) = 4

0 в остальных случаях.

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон

распределения имеет вид (см. таблицу):

Математическое ожидание случайной величины X равно 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины, если ее закон распределения имеет вид:

Найти математическое ожидание случайной величины, если ее закон распределения имеет вид (см. таблицу):

Непрерывная случайная величина и её функция распределения.
Функция плотности распределения

О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:

– В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения.

Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например:

Читать:

Freepapers как скачать бесплатно

однако в точках «стыка» всё хорошо:

и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!

! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.

При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: и плавно-плавно провести карандашом кусочек параболы :

Напоминаю, что левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с осью), а правый верхний луч продолжить за остриё оси (т.к. график бесконечен). Также не забываем, что не может убывать, и если вдруг окажется, что какой-то кусок графика идёт «сверху вниз», то ищите ошибку или опять же – имеет место опечатка. А может просто дрогнула рука 🙂

Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс.

Теперь вернёмся к смыслу функции распределения и рассмотрим пару конкретных «икс»:

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4.

Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса.

Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле:

Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение

Например:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И точно такими же будут вероятности ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;

Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: . И возникает вопрос: как оценить эту «концентрацию» вероятностей на различных промежутках? – ведь функция распределения характеризует накопление вероятностей по мере увеличения , и много раз вычислять что-то неохота.

Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт

функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .

Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует

В нашем примере:

То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.

Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:
– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).

Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности:

Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить:
, что и требовалось проверить. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это означает, что площадь между осью и графиком равна единице, в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :

Ну вот, стало всё наглядно – где бОльшая площадь, там и более вероятные значения. Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она тоже неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . Следует также отметить, что в общем случае эта функция разрывна (следим, где «жирные» точки!).

Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;

(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .

По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности:

Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .

Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?

А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» ~~бросить курить~~ отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:

Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:

Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .

Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока.

Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция .

В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:

Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики .

Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае:

На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:

Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим:
и подставим результат в уравнение:
, откуда выразим

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, что и требовалось проверить.

Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй 😉 Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.

Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл:

Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:

1) На промежутке , поэтому:

2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:

При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей.

3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:

! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения 😉 К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже.

Записываем наши достижения под единую скобку:

С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную , а также «прозвоним» точки «стыка»:

Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка

Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
, что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.

Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза:

Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна.

Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально сделал, чтобы напомнить вероятностный смысл функции плотности. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны.

Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой сжатую в 2 раза вдоль оси ординат синусоиду, сдвинутую на вверх:

В принципе, тут можно не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика, и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.

Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.

И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:

Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :

Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка

и задачка поинтереснее:

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .

Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы.

И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.

Решение: по свойству функции плотности распределения:

В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:

Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:

и функция плотности:

Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:

1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.

2) На интервале и:
, что и должно получиться.

Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:

Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .

Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения:

Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи.

Здесь случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения, т.к. определена при любом «икс». В ходе проверки на плотность удобно использовать чётность подынтегральной функции в несобственном интеграле, а для нахождения самого интеграла нужно представить и избавиться от трёхэтажности дроби. Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики – статья об асимптотах в помощь.

Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Постарайтесь освоить её как можно скорее – по «горячим» знаниям и навыкам!

Решения и ответы:

Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения:

Таким образом:

Найдём функцию плотности распределения:

Покажем, что действительно является функцией плотности:
1) Для любого значения , в частности, на среднем промежутке:
Внимание! Без 1-го пункта обойтись нельзя!
2)
Таким образом, найденная функция действительно является функцией плотности распределения.

Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала ;

– вероятность того, что случайная величина примет значение, больше, чем .

Построим графики :

Пример 3. Решение:
1) По свойству функции плотности распределения:

В данной задаче:

Таким образом, искомая плотность:

2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
– если то и ;
– если то и ;
– если то и:
.
Таким образом:

3) Выполним чертежи:

4) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка :

Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае:

Таким образом, функция плотности распределения:

Выполним чертеж:

Составим функцию распределения вероятностей :
1) Если , то и
2) Если , то и
3) Если , то и:

4) Если , то и:

Таким образом:
,
Выполним чертеж:

Вычислим – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .

Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности:
1) Поскольку экспоненциальная функция положительна, то для любого , значит, свойство неотрицательности функции плотности выполнено.
2) Проверим выполнение свойства .
Сначала удобно найти первообразную:
(константу добавлять не нужно).
Используем чётность подынтегральной функции:

Вывод: является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, что и требовалось проверить.

Найдём функцию распределения:

– для всех .

Выполним чертёжи:

! Обратите внимание, что у 1-го графика одна, а 2-го – две горизонтальные асимптоты, «залезать» за которые нельзя!

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Укажите рисунки на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин

Случайная величина обозначается буквами LaTeX formula: X , LaTeX formula: Y , LaTeX formula: Z и т. д.
1) дискретная LaTeX formula: CBX – принимает конечное или счетное множество значений;
2) непрерывная – принимает все значения из заданного промежутка.
Говорят, что задан закон распределения случайной величины LaTeX formula: X , если каждому значению поставлена в соответствие вероятность его появления и сумма всех вероятностей равна числу LaTeX formula: 1 .
Закон распределения LaTeX formula: CBX может быть задан аналитически (формулой) или таблицей.
Приведем табличный закон распределения дискретной :

Заметим, что $LaTeX formula: \sum ^n_<i=1>p_i=1″ /> . Теоретическая функция распределения случайной величины <img decoding=$ задается формулой:
, (10.17)
где – вероятность того, что LaTeX formula: CBX принимает значение, меньшее LaTeX formula: x .
1. $LaTeX formula: 0 \leq F(x) \leq 1$ .
4. $LaTeX formula: \lim_<x\rightarrow -\infty >F(x)=0″ height=»» /> , <img decoding=$

Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX имеет вид:
, (10.18)
где означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше LaTeX formula: x , или иначе
, (10.18.1)

Плотностью распределения непрерывной случайной величины LaTeX formula: X в точке называют функцию
. (10.19)
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что
$LaTeX formula: F(x)=\int_<-\infty >^<x>p(u)du» height=»» /> . (10.20) 1. <img decoding=$ .
2. . (10.21)
3. $LaTeX formula: \int_<-\infty >^<+\infty >p(x)dx=1″ height=»» /> . (10.22) Вероятность того, что <img decoding=$ примет значение из промежутка $LaTeX formula: [\alpha ;\beta )$ можно найти по формуле:
, (10.23)
. (10.24)
Вероятность того, что дискретная LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка $LaTeX formula: [\alpha ;\beta )$ равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.
Математическое ожидание LaTeX formula: CBX – это среднее значение величины LaTeX formula: X или центр ее распределения.
Математическое ожидание дискретной , находят по формуле:
$LaTeX formula: M(X)=\sum ^<n>_<i=1>x_ip_i» height=»» /> , где <img decoding=$ с плотностью распределения LaTeX formula: p(x) , все значения которой принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ , находят по формуле:
$LaTeX formula: M(X)=\int_<\alpha >^<\beta >xp(x)dx» height=»» /> . (10.26) а ели все значения <img decoding=$ принадлежат промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )$ , то по формуле
$LaTeX formula: M(X)=\int_<-\infty >^<+\infty >xp(x)dx» height=»» /> , (10.26.1) 1. Математическое ожидание <img decoding=$ заключено между ее наибольшим и наименьшим значениями.
2. LaTeX formula: M(c)=c , где LaTeX formula: c – константа.
3. LaTeX formula: M(kX)=kM(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
4. LaTeX formula: M(X+Y)=M(X)+M(Y) .
5. $LaTeX formula: M(X \cdot Y)=M(X)\cdot M(Y)$ , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
Дисперсия или рассеивание LaTeX formula: CBX – это математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания:
LaTeX formula: D(X)=M(X-M(X))^2 , (10.27)
Дисперсию дискретной можно найти по формуле:
LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X) , (10.28)
$LaTeX formula: M(X^2)=\sum ^n_<i=1>x^2_ip_i» height=»» /> , где <img decoding=$ с плотностью распределения LaTeX formula: p(x) , все значения которой принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ , находят по формуле
$LaTeX formula: D(X)=\int_<\alpha >^<\beta >x^2p(x)dx-(M(X))^2″ height=»» /> , (10.30) а ели все значения <img decoding=$ принадлежат промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )$ , то по формуле
$LaTeX formula: D(X)=\int_<-\infty >^<+\infty >x^2p(x)dx-(M(X))^2″ height=»» /> , (10.30.1) 1. <img decoding=$ , где LaTeX formula: c – константа.
2. LaTeX formula: D(kX)=k^2D(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
3. LaTeX formula: D(X+Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
4. LaTeX formula: D(X-Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины и независимые.
Среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX – корень квадратный из ее дисперсии:
$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt<D(X)>» height=»» /> . (10.31) Упорядоченная пара <img decoding=$ случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называется двумерной случайной величиной (или системой случайных величин).
Говорят, что задан закон распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y) , если каждой паре значений LaTeX formula: x и LaTeX formula: y поставлена в соответствие вероятность и сумма всех вероятностей равна LaTeX formula: 1 .

Функцией распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y) называют функцию вида
. (10.32)
Геометрически это означает, что мы находим вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке LaTeX formula: (x;y) , так что точка будет расположена ниже и левее точки (рис. 10.4).

$LaTeX formula: M(X)=\sum ^m_<i=1>\sum ^n_<j=1>x_ip_<ij>» height=»» /> , (10.33) <img decoding=$ , (10.34)
LaTeX formula: D(Y)=M(Y^2)-M^2(Y) . (10.34.1)
Ковариацией двух случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий:
LaTeX formula: cov(X;Y)=M((X-M(X))(Y-M(Y))) . (10.35)
Ковариацию LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY можно найти по формуле:
LaTeX formula: cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y) . (10.36)
Случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые, если
LaTeX formula: P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) . (10.37)
LaTeX formula: cov(X;Y)=0 . (10.38)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называют число, которое характеризует степень зависимости LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY и находят по формуле:
$LaTeX formula: R_<XY>=\frac<M(XY)-M(X)M(Y)><\sigma (X)\sigma (Y)>» height=»» /> . (10.39) 1. <img decoding=$ и LaTeX formula: Y независимые, то LaTeX formula: R(X,Y)=0 .
3. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X и связаны линейной зависимостью LaTeX formula: Y=kX+b , то LaTeX formula: R_<XY>=1″ height=»» /> или <img decoding= задано таблицей:

Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение, не большее чем LaTeX formula: 3 .
Решение. Так как промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;3]$ принадлежат два значения ( LaTeX formula: 1,5 и LaTeX formula: 2,5 ), то
LaTeX formula: 0,4 .
Ответ: .
Пример 2. Известна функция распределения случайной величины Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [1;3) .
Решение. Поскольку при LaTeX formula: x=1 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=2^x-1 , а при LaTeX formula: x=3 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=1 , то согласно формуле 10.23 получим: .
Ответ: LaTeX formula: 0 .
Пример 3. Известна функция плотности распределения вероятностей случайной величины. Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка $LaTeX formula: [-0,5\pi;0]$ .
Решение. Поскольку при $LaTeX formula: -0,5\pi \leq x\leq 0$ функция плотности вероятностей имеет вид LaTeX formula: p(x)=-sinx , то согласно формуле 10.24 получим: $LaTeX formula: P(-0,5\pi\leq X\leq 0)=\int_<-0,5\pi>^<0>-sinxdx=cosx|^<0>_<-0,5\pi>=» /> <img decoding=$ LaTeX formula: =1-0=1 .
Ответ: LaTeX formula: 1 .
Пример 4. Постройте функцию распределения дискретной случайной величины LaTeX formula: X , заданной таблицей:

Решение. Согласно формуле 10.18.1 запишем функцию распределения дискретной LaTeX formula: CBX :

График функции LaTeX formula: F(x) изображен на рисунке 10.5.

Пример 5. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX .
Решение. По формуле 10.25 найдем математическое ожидание: $LaTeX formula: M(X)=-2\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,2=0,1$ .
По формуле 10.29 найдем математическое ожидание квадрата LaTeX formula: CBX : $LaTeX formula: M(X^2)=(-2)^2\cdot 0,2+(-1)^2\cdot 0,2+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,3+2^2\cdot0,2$ LaTeX formula: =2,1 .
По формуле 10.28 найдем дисперсию: LaTeX formula: D(X)=2,1-0,1^2=2,09 .
По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение: $LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt<2,09>» height=»» /> . Ответ: <img decoding=$ ; LaTeX formula: 2,09 ; $LaTeX formula: \sqrt<2,09>» height=»» /> . Пример 6. Случайная величина <img decoding=$ задана функцией распределения
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX .

По формуле 10.26 найдем математическое ожидание: $LaTeX formula: M(X)=\int_<-1>^<0>(2x^2+2x)dx=\frac<2x^3><3>+x^2|^0_<-1>=0+\frac<2><3>-1=-\frac<1><3>» height=»» /> . По формуле 10.30 найдем дисперсию: <img decoding=$ и LaTeX formula: Y представлено в таблице:

$LaTeX formula: M(X)=-1\cdot 0,4+\cdot 0,3+1\cdot 0,3=-0,1$ ; $LaTeX formula: M(Y)=1\cdot 0,5+2\cdot 0,5=1,5$ .
2. Найдем LaTeX formula: M(XY) , перемножая соответствующие значения LaTeX formula: X , LaTeX formula: Y , LaTeX formula: p и складывая полученные произведения: $LaTeX formula: M(XY)=-1\cdot 1\cdot 0,3-1\cdot 2\cdot 0,1+0,1\cdot 0,2+0,2\cdot 0,1+1\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 0,3=$ LaTeX formula: =0,1 .
3. По формуле 10.36 найдем ковариацию: $LaTeX formula: cov(X,Y)=0,1+0,1\cdot 1,5=0,25$ .
Ответ: LaTeX formula: 0,25 .
1. Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX является разрывной.
2. Вероятность того, что непрерывная примет значения и з промежутков $LaTeX formula: (\alpha ;\beta )$ , $LaTeX formula: (\alpha ;\beta ]$ и $LaTeX formula: [\alpha ;\beta ]$ также находят по формуле 10.23 , поскольку вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет только одно значение из заданного промежутка, равна нулю: $LaTeX formula: P(X=\alpha )=0$ , $LaTeX formula: P(X=\beta )=0$ .
3. Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями таких числовых характеристик как моменты случайных величин:
начальный момент -ой степени LaTeX formula: CBX находят по формуле:
LaTeX formula: v_k=M(X^k) ; (10.40)
центральный момент -ой степени случайной величины LaTeX formula: X находят по формуле:
$LaTeX formula: \mu _k=M(X-M(X))^k$ . (10.41)
Частные случаи: $LaTeX formula: \mu _1=0$ , $LaTeX formula: \mu _2=D(X)$ .
4. Асимметрией называют число $LaTeX formula: \alpha =\frac<\mu _3><\sigma ^3>» /> , которое характеризует степень отклонения плотности вероятностей от симметричной. 5. Эксцессом называют число <img decoding=$ , LaTeX formula: Y , LaTeX formula: Z и т. д.
1) дискретная LaTeX formula: CBX – принимает конечное или счетное множество значений;
2) непрерывная – принимает все значения из заданного промежутка.
Говорят, что задан закон распределения случайной величины LaTeX formula: X , если каждому значению поставлена в соответствие вероятность его появления и сумма всех вероятностей равна числу LaTeX formula: 1 .
Закон распределения LaTeX formula: CBX может быть задан аналитически (формулой) или таблицей.
Приведем табличный закон распределения дискретной :

Заметим, что $LaTeX formula: \sum ^n_<i=1>p_i=1″ /> . Теоретическая функция распределения случайной величины <img decoding async$ , (10.17)
где – вероятность того, что LaTeX formula: CBX принимает значение, меньшее LaTeX formula: x .
1. $LaTeX formula: 0 \leq F(x) \leq 1$ .
4. $LaTeX formula: \lim_<x\rightarrow -\infty >F(x)=0″ height=»» /> , <img decoding async$ имеет вид:
, (10.18)
где означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше LaTeX formula: x , или иначе
, (10.18.1)

Плотностью распределения непрерывной случайной величины LaTeX formula: X в точке называют функцию
. (10.19)
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что
$LaTeX formula: F(x)=\int_<-\infty >^<x>p(u)du» height=»» /> . (10.20) 1. <img decoding=$ .
2. . (10.21)
3. $LaTeX formula: \int_<-\infty >^<+\infty >p(x)dx=1″ height=»» /> . (10.22) Вероятность того, что <img decoding async$ можно найти по формуле:
, (10.23)
. (10.24)
Вероятность того, что дискретная LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка $LaTeX formula: [\alpha ;\beta )$ равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.
Математическое ожидание LaTeX formula: CBX – это среднее значение величины LaTeX formula: X или центр ее распределения.
Математическое ожидание дискретной , находят по формуле:
$LaTeX formula: M(X)=\sum ^<n>_<i=1>x_ip_i» height=»» /> , где <img decoding async$ , все значения которой принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ , находят по формуле:
$LaTeX formula: M(X)=\int_<\alpha >^<\beta >xp(x)dx» height=»» /> . (10.26) а ели все значения <img decoding async$ , то по формуле
$LaTeX formula: M(X)=\int_<-\infty >^<+\infty >xp(x)dx» height=»» /> , (10.26.1) 1. Математическое ожидание <img decoding async$ , где LaTeX formula: c – константа.
3. LaTeX formula: M(kX)=kM(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
4. LaTeX formula: M(X+Y)=M(X)+M(Y) .
5. $LaTeX formula: M(X \cdot Y)=M(X)\cdot M(Y)$ , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
Дисперсия или рассеивание LaTeX formula: CBX – это математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания:
LaTeX formula: D(X)=M(X-M(X))^2 , (10.27)
Дисперсию дискретной можно найти по формуле:
LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X) , (10.28)
$LaTeX formula: M(X^2)=\sum ^n_<i=1>x^2_ip_i» height=»» /> , где <img decoding async$ , все значения которой принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ , находят по формуле
$LaTeX formula: D(X)=\int_<\alpha >^<\beta >x^2p(x)dx-(M(X))^2″ height=»» /> , (10.30) а ели все значения <img decoding async$ , то по формуле
$LaTeX formula: D(X)=\int_<-\infty >^<+\infty >x^2p(x)dx-(M(X))^2″ height=»» /> , (10.30.1) 1. <img decoding=$ , где LaTeX formula: c – константа.
2. LaTeX formula: D(kX)=k^2D(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
3. LaTeX formula: D(X+Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
4. LaTeX formula: D(X-Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины и независимые.
Среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX – корень квадратный из ее дисперсии:
$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt<D(X)>» height=»» /> . (10.31) Упорядоченная пара <img decoding=$ случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называется двумерной случайной величиной (или системой случайных величин).
Говорят, что задан закон распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y) , если каждой паре значений LaTeX formula: x и LaTeX formula: y поставлена в соответствие вероятность и сумма всех вероятностей равна LaTeX formula: 1 .

$LaTeX formula: M(X)=\sum ^m_<i=1>\sum ^n_<j=1>x_ip_<ij>» height=»» /> , (10.33) <img decoding=$ , (10.34)
LaTeX formula: D(Y)=M(Y^2)-M^2(Y) . (10.34.1)
Ковариацией двух случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий:
LaTeX formula: cov(X;Y)=M((X-M(X))(Y-M(Y))) . (10.35)
Ковариацию LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY можно найти по формуле:
LaTeX formula: cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y) . (10.36)
Случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые, если
LaTeX formula: P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) . (10.37)
LaTeX formula: cov(X;Y)=0 . (10.38)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называют число, которое характеризует степень зависимости LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY и находят по формуле:
$LaTeX formula: R_<XY>=\frac<M(XY)-M(X)M(Y)><\sigma (X)\sigma (Y)>» height=»» /> . (10.39) 1. <img decoding async$ независимые, то LaTeX formula: R(X,Y)=0 .
3. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y связаны линейной зависимостью LaTeX formula: Y=kX+b , то LaTeX formula: R_<XY>=1″ height=»» /> или <img decoding async

Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение, не большее чем LaTeX formula: 3 .
Решение. Так как промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;3]$ принадлежат два значения ( LaTeX formula: 1,5 и LaTeX formula: 2,5 ), то
LaTeX formula: 0,4 .
Ответ: .
Пример 2. Известна функция распределения случайной величины Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [1;3) .
Решение. Поскольку при LaTeX formula: x=1 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=2^x-1 , а при LaTeX formula: x=3 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=1 , то согласно формуле 10.23 получим: .
Ответ: LaTeX formula: 0 .
Пример 3. Известна функция плотности распределения вероятностей случайной величины. Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка $LaTeX formula: [-0,5\pi;0]$ .
Решение. Поскольку при $LaTeX formula: -0,5\pi \leq x\leq 0$ функция плотности вероятностей имеет вид LaTeX formula: p(x)=-sinx , то согласно формуле 10.24 получим: $LaTeX formula: P(-0,5\pi\leq X\leq 0)=\int_<-0,5\pi>^<0>-sinxdx=cosx|^<0>_<-0,5\pi>=» /> <img decoding async$ .
Ответ: LaTeX formula: 1 .
Пример 4. Постройте функцию распределения дискретной случайной величины LaTeX formula: X , заданной таблицей:

Решение. Согласно формуле 10.18.1 запишем функцию распределения дискретной LaTeX formula: CBX :

График функции LaTeX formula: F(x) изображен на рисунке 10.5.

Пример 5. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX .
Решение. По формуле 10.25 найдем математическое ожидание: $LaTeX formula: M(X)=-2\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,2=0,1$ .
По формуле 10.29 найдем математическое ожидание квадрата LaTeX formula: CBX : $LaTeX formula: M(X^2)=(-2)^2\cdot 0,2+(-1)^2\cdot 0,2+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,3+2^2\cdot0,2$ LaTeX formula: =2,1 .
По формуле 10.28 найдем дисперсию: LaTeX formula: D(X)=2,1-0,1^2=2,09 .
По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение: $LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt<2,09>» height=»» /> . Ответ: <img decoding=$ ; LaTeX formula: 2,09 ; $LaTeX formula: \sqrt<2,09>» height=»» /> . Пример 6. Случайная величина <img decoding async$
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX .

По формуле 10.26 найдем математическое ожидание: $LaTeX formula: M(X)=\int_<-1>^<0>(2x^2+2x)dx=\frac<2x^3><3>+x^2|^0_<-1>=0+\frac<2><3>-1=-\frac<1><3>» height=»» /> . По формуле 10.30 найдем дисперсию: <img decoding async$ представлено в таблице:

Укажите рисунки на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин

Укажите рисунки на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин

Непрерывная случайная величина и её функция распределения. Функция плотности распределения

функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

Укажите рисунки на которых изображены функции распределения непрерывных случайных величин

Укажите римское число которое соответствует числу 400

Укажите строки в которых есть хотя бы одна несуществующая форма

Похожие статьи

Непрерывная случайная величина и её функция распределения.
Функция плотности распределения