Маткад как найти среднее значение функции

II. Статистические функции Маткада.

В Маткаде существуют целый набор встроенных функций для вычисления числовых характеристик случайной величины. К ним относятся:

1.mean (A) – возвращает среднее значение вектора А.

2.cvar(A,B) – возвращает корреляционный момент случайных векторов А и В.

3. stdev( A) – возвращает стандартное (среднеквадратическое) отклонение элементов вектора A.

4.corr(vx,vy) –возвращает коэффициент корреляции векторов vx vy.

6. hist (i, v)- функция построение гистограммы. Здесь i — вектор границ интервала, v- вектор случайных наблюдений. Ответ получаем в виде вектора размерностью вектора i, в котором помещено количество значений случайной величины, попавшей в каждый интервал и др. На рис.3 показано вычисление среднего арифметического и среднеквадратического ( стандартного) отклонения вектора случайных величин х._.

Рис.3 Вычисление среднего арифметического и с. к.о.

Задача 3. Провести решение и построение вышеприведенного графика .

Задача 4. вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции по заданным реализациям случайных величин Х , У и Z, W.

Рис.4.Вычисление корреляционного момента и коэффициента корреляции.

Примечание: случайная величина w является неслучайной функцией (квадратом) величины Z . Поэтому теоретически коэффициент корреляции должен был быть равен 1.

Задача 5. Известен курс двух валют: доллара США и монгольского тугрика. Спрашивается: зависит ли тугрик от доллара?

И курс доллара, и курс тугрика являются случайными величинами. Из предмета «Теория вероятностей» известно, что мерой статистической связи двух случайных величин является их коэффициент взаимной корреляции, определяемый по формуле:

,

где K_x,y -корреляционный момент двух случайных величин, а D_x ,D_y — дисперсии случайных величин.

Коэффициент корреляции может изменяться в пределах -1<= r_x,y<=1. В таблице приведен курс доллара и тугрика за определенный период времени. Найти коэффициент корреляции.

Задача 6. По заданным реализациям случайной величины Х построить ее гистограмм

Число наблюдений в данном интервале

му. Произведено 500 наблюдений. Результаты наблюдений сведены в статистический ряд:

Требуется построить гистограмму этого ряда. Гистограмма реализуется в Маткаде с помощью нескольких функций. Так как нам уже заданы частоты попадания случайной величины в каждый интервал, то мы построим ее следующим образом:

Сформируем векторы интервалов наблюдений v и частот f ( приведены для экономии места в транспонированной форме)

Используя функцию Histogram, найдем центры каждого интервала

Матрица Н также приведена в транспонированной форме.

Построим плоский график, введя по оси абсцисс первый столбец матрицы Н, а по оси ординат – векторf.

Вызовем на панели форматирования (Formating Currently Selected X-Y Plot) окно Traces ( следы) и в столбце Тип выберем строку Solid Bar.Получим график гистограммы, показанной ниже.

Задача 7. Во многих случаях при статистических вычислениях требуется проводить выравнивание статистических рядов, т.е. сортировку их по возрастанию аргумента.

Для этого можно использовать функцию csort.

Пусть для значений аргумента Х, представленного вектором Х произведены наблюдения Y и Z, представленные векторами y и z.

Для сортировки необходимо сформировать матрицу М, в которой первый столбец составляет вектор Х, второй — вектор У, третий — вектор Z.

Так как нам удобнее начинать отсчет с 1, введем ORIGIN=1

Дальнейшая последовательность действий понятна из рис.7 .

Рис. 7 Сортировка по Х.

Цифра 1 в функции CSORT означает, что сортировка производится по первому столбцу.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7.ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В Маткаде имеется целый ряд встроенных функций, позволяющих строить законы распределения случайных величин. К ним, в частности, относятся функции:

1).dnorm(x,m,s )- плотность вероятности для нормального распределения. Здесь x- случайная величина, μ- ее математическое ожидание,σ- среднеквадратическое отклонение.

2) dunif(x,a,b)- равномерная плотность вероятности, где a,b— границы интервала распре

деления. 3).dt(x,d) — плотность вероятности для распределения Стьюдента, где d- число степеней свободы. 4) dchisq(x,d) – плотность распределения χ- квадрат, где х – случайная величина, d- число степеней свободы. 5)dF(x,d1,d2) – плотность вероятности Фишера, х, d1, d2 – где – x, d1, d2, — случайная величина и две степени свободы, соответственно.

Все встроенные функции плотностей вероятностей в Маткаде начинаются с буквы d (distribution)- распределение.

Ниже приводятся примеры вычисления и построения графиков наиболее часто используемых законов распределения.

Задача 1. По заданным результатам наблюдений построить график нормального закона распределения.

Выражение для нормального закона распределения имеет вид,

где m – математическое ожидание, а σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

Поэтому, прежде всего нужно вычислить эти величины, что и показано на рис.1.

Маткад как найти среднее значение функции

Рис. 1. График функции f(х)=х 4 +5х 3 -10х

Рис.2. Поиск локальных экстремумов функции одной переменной

Маткад как найти среднее значение функции

Встроенные функции и ключевые слова

В этом приложении дан список основных встроенных функций Mathcad. В приведенных ниже функциях для систем класса Mathcad используются следующие обозначения:

• х и у – вещественные числа;
• z – вещественное либо комплексное число;
• m, n, i, j и k – целые числа;
• v, u и все имена, начинающиеся с v – векторы;
• А и B – матрицы либо векторы;
• М и N – квадратные матрицы;
• F – вектор-функция;
• file – либо имя файла, либо файловая переменная, присоединенная к имени файла.

Все углы в тригонометрических функциях выражены в радианах. Многозначные функции и функции с комплексным аргументом всегда возвращают главное значение. Имена приведенных функций нечувствительны к шрифту, но чувствительны к регистру – их следует вводить с клавиатуры в точности, как они приведены. Все функции возвращают указанное для них значение

Статистический анализ данных наблюдений с использованием средств Mathcad

В Mathcad существует набор встроенных функций для вычисления числовых характеристик случайной величины. К ним относятся:

mean (Л) — возвращает среднее значение вектора А; corr(yx,vy) — возвращает коэффициент корреляции векторов vx vy;

cvar(A, В) — возвращает корреляционный момент случайных векторов А и В;

stdev(A) — возвращает стандартное (среднеквадратическое) отклонение элементов вектора А;

rnd(c) — возвращает случайное число, равномерно распределенное между 0 и с.

Рассмотрим применение данных функций на примерах [2]. Генерация случайных чисел

Для того чтобы сформировать массив случайных чисел, распределенных по равномерному закону распределения, можно воспользоваться функцией rnd(c) — возвращает случайное число, равномерно распределенное между 0 и с. Для вызова функции rnd необходимо на вкладке меню Вставка (Insert) выбрать Функция (Function). Функция относится к категории случайные числа.

Рассмотрим применение функции rnd на примере.

Необходимо создать массив х из т случайных чисел, например, сгенерировать 100 чисел в диапазоне от 0 до 10, распределенных по равномерному закону.

Зададим необходимые параметры в Matcad: наибольшее (максимальное) значение генерируемых случайных чисел

количество генерируемых случайных чисел т: = 100;

нумерацию (счетчик) генерируемых случайных чисел У — 1.. т,

применим формулу для генерации случайных чисел Xj := rnd(max).

После этого следует набрать «х =» (знак равно, а не присвоить) и появится столбец со всеми значениями х. Построение диапазона изменения аргумента х называется ранжировкой.

Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства инициирует таблицу вывода.

Результат вычисления в виде таблиц вывода представлен на рисунке 6.8. Отображение таблицы вывода настраивается на вкладке 2 — (Display Options) в группе Стиль отображения матриц (Matrix display style). Пользователь может настроить следующие стили отображения таблицы вывода:

• • автоматическое (Automatic);
• • в виде матрицы (Matrix);
• • в виде таблицы (Table).

Рис. 6.8. Таблица вывода результата расчета с использованием функции rnd

Рис. 6.9. Графическое представление задачи генерации случайных чисел, распределенных равномерно

Помимо табличного, возможно графическое представление последовательности полученных чисел (рис. 6.9).

Используя соответствующие функции, рассчитаем среднее значение полученного диапазона чисел и стандартное (среднеквадратическое) отклонение: mean (*) = 5.059, stdev(x) = 2.829.

Построение гистограммы

Гистограмма строится для того, чтобы проверить, насколько полученные числа подчиняются тому или иному закону распределения. Продолжим расчет для примера, представленного в предыдущем разделе.

Для построения необходимо определить количество интервалов для группировки данных п:

Применительно к нашему примеру зададим количество интервалов, например 5: п: = 5.

Определим координаты границ интервалов:

где к — номер интервала.

После возможно инициировать таблицу вывода данных (ранжировка), с полученными координатами i^ точек границ интервалов.

Построение гистограммы в Mathcad реализовано функцией построение гистограммы — hist(i,x). Здесь i — вектор границ интервала, х — вектор случайных наблюдений. Ответ получаем в виде вектора, в котором помещено количество значений случайной величины, попавшей в каждый интервал.

Подсчитаем, сколько случайных чисел Xi из массива х попадает в каждый из интервалов i

Рис. 6.10. Матрица и гистограмма, полученные для анализа закона распределения

Результат расчета представлен в виде вектора (обозначен /), в котором помещено количество значений случайной величины, попавшей в каждый интервал (рис. 6.10). Для более наглядного отображения строится гистограмма (построение по аналогии с двумерным графиком). Внешний вид полученного графика настраивается в окне Форматирование выбранного графика Х-У (появляется на экране путем осуществления двойного щелчка на графике). Данное окно содержит пять вкладок. Для того чтобы представить график в виде гистограммы, необходимо использовать трассировку (traces) типа столбики (bar).

Вычисление коэффициента корреляции средствами Mathcad

Теоретический материал по корреляционному анализу представлен выше, здесь рассмотрим расчет коэффициента корреляции средствами Mathcad на примере.

На лесозаготовительном предприятии проводился анализ временных затрат на некоторых обрабатывающих и переместительных операциях. Имеются данные хронометража работы раскряжевщика, представленные в виде таблицы. Замерялось время t, затрачиваемое на одно распиливание, и d — диаметр распила. Результаты хронометража сведены в таблицу 6.2.

Определим, существует ли взаимосвязь между временем на распиливание t и диаметром распиливаемого хлыста (сортимента) d.

В Mathcad имеется встроенная функция corr(vx,vy), которая возвращает коэффициент корреляции векторов vx vy. Следовательно, необходимо в Mathcad представить данные о замерах в виде двух векторов: t и d. В среде Mathcad эти данные надо ввести как матрицы-векторы, используя соответствующий инстру-

мент-на панели инструментов Матрица.

Для наглядности данные векторы приведены в транспонированной форме (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Расчет коэффициента корреляции

Близкое к 1 значение коэффициента корреляции свидетельствует о высокой зависимости между исследуемыми величинами.