Чем отличается дифференциал от производной

0

§ 5 Производная и дифференциал функции.

Функция называется дифференцируемой в точке, если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю,

.

Предел называется производной и обозначаетсяили.

Основные правила дифференцирования.

Пусть ,– дифференцируемые в точкефункции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. Если , где, т.е.– сложная функция, то ее производная.

6. Если функция задана параметрически , то ее производная.

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента и обозначается.

Если ,при, то.

Дифференциал независимого аргумента равен приращению аргумента, т.е. .

Таким образом, .

Формула приближенного вычисления .

Производная функции в точкеравна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке (геометрический смысл производной).

Производная функции в точкеравна скорости изменения функции в этой точке (физический смысл производной).

Таблица производных основных элементарных функций

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. .

Найти производные функций, используя определение.

Пример 5.1. .

Дадим аргументу приращение, тогда значение функции.

Найдем приращение функции

Теперь найдем предел отношения при:

.

Итак, .

Пример 5.2. .

Дадим аргументу приращение, значение функции. Найдем приращение функции

Используем формулу

.

Перейдем к пределу отношения при:

.

Таким образом, .

Найти производные функций используя правила и таблицу производных.

Пример 5.3. .

Перейдем к дробным показателям: .

.

Пример 4. .

Пример 5.5. .

.

Пример 5.6. .

Пример 5.7. .

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть:

.

Пример 5.8. .

Пример 5.9. .

Сначала логарифмируем данную функцию по основанию, т.е.

,

,

.

Теперь дифференцируем обе части равенства по правилу дифференцирования сложной функции.

,

,

,

.

Пример 5.10. .

Логарифмируем данную функцию

,

.

Дифференцируем обе части равенства

,

,

,

,

.

Пример 5.11. .

Производная параметрической функции находится по формуле .

.

.

.

Пример 5.12. .

Данная функция неявно заданная. Найдем ее производную, рассматривая при этом как функцию от.

,

,

,

,

,

.

Пример 5.13. Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить .

Решение. Используем формулу приближенного вычисления: ., тогда. Положим(соответствует углу в 1 0 ), . Подставляем в формулу имеем:

Решение задач на геометрический смысл производной основано на использовании уравнения касательной:

Угловой коэффициент касательной равен, с одной стороны тангенсу угламежду касательной и осью абсцисс, а с другой – значению производной функциив точке,

Пример 5.14. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке.

Решение. Для составления уравнения касательной используем формулу , где,.

Таким образом, или– уравнение касательной.

Для составления уравнения нормали используем формулу . Получим,,— уравнение нормали.

Пример 5.15. В какой точке касательная к графику функции а) параллельна прямой? б) перпендикулярна прямой?

Решение. а) Прямая параллельна касательной, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой равен, угловой коэффициент касательной равен, где– точка касания.

Из уравнения находим.

Значит касательная должна быть проведена в точке .

б) Прямая перпендикулярна касательной если их угловые коэффициенты . Так как, то. Из уравнениянаходим.

Таким образом, касательная должна быть проведена в точке .

Пример 5.16. В какой точке параболы ордината возрастает вдвое быстрее, чем абсцисса?

Решение. Найдем производную функции .

Так как производная функции характеризует скорость возрастания ординаты (функции) по сравнению с возрастанием аргумента, то по условию задачи , откуда– абсцисса искомой точки.

Ордината .

Таким образом – искомая точка.

Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной, т.е.и обозначается

.

Если – закон прямолинейного движения точки, то– ускорение этого движения.

Производная -го порядка от функции называется производная производной-го порядка:и обозначается.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 5.17. . Найти.

Решение. Найдем производную данной функции: .

Вторая производная – производная от первой производной:

.

Пример 5.18. . Найти.

Решение. ,,,.

Очевидно, что каждая из найденных производных равна произведению нав степени, равной порядку производной. Эта закономерность сохраняется для производной любого порядка. Поэтому.

Производная и дифференциал

Центральные понятия дифференциального исчисления — производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.

Производная функции

имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.

Производная функции — одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.

Дифференцирование

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция — восстановление функции по известной производной —интегрированием.

Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

1. Записать отношение \[\frac<\Delta y><\Delta x>=\mathop<\lim >\limits_ <\Delta x\to 0>\frac<\Delta x>\]
2. Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$;
3. Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.

Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:

Найти производную функции

Введем новую переменную u = x/$\Delta $х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции

Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х₀ при малом отклонении аргумента Δx от х₀ функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х₀, приближенно можно заменить константой, значением в х₀. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х₀ линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х₀ функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x₀ ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х₀ является разность Δx = x — x₀. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х₀.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х₀. Дифференциалом функции f в точке х₀ называется слагаемое f’ (х₀)(х-х₀). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Производная

Рассмотрим некоторую функцию в двух точках и : и .
Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: называется приращением функции.

Если этот предел существует, то функция называется дифференцируемой в точке . Производная функции обозначается (формула 2)

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

3. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
Отсюда следует: .
Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной(формула 4).

4. Механический смысл производной

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость () находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5

Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

5. Дифференциал и его связь с производной
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции – это произведение производной и приращения аргумента (формула 6).

Геометрический смысл дифференциала ясен из рисунка 2.

Здесь . Из можно записать: , где β – угол наклона касательной АС к оси ОХ. Но если , то . Дифференциал CD равен сумме отрезков BС и BD (приращение функции). Но, если , то и отрезок . Значит, дифференциал отличается от производной на бесконечно малую величину.

6. Основные свойства производных и дифференциалов. Производная сложной функции
6.1 Правила дифференцирования функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Если , то , .
Если и — дифференцируемые функции в точке , то можно записать:

Таблица производных простейших элементарных функций

1. ,
где С – постоянное число
2.
Частные случаи:

3.
Частный случай

4.
Частный случай

5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

6.2 Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией: . Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле:

6.3 Вторая производная

Если производная функции дифференцируема в точке , то её производная называется второй производной функции в точке , и обозначается .

6.4 Правило Лопиталя

Пусть при для функций и, дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия. (формулы 7).

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: и . Рассмотрите примеры.

При неопределённостях другого типа: , , , , нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо , либо . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

: пусть ,, тогда данная неопределённость приводится к типу посредством следующего преобразования:

: пусть , , тогда данная неопределённость приводится к типу или с помощью преобразований:

остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если же после применения правила Лопиталя неопределённость типа или осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если .

7. Применение производной в исследовании функций
7.1 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной (рисунок 3). Если же функция разрывная в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

7.2 Достаточные признаки монотонности функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

7.3 Теорема Дарбу

Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.Рассмотрите примеры

Следовательно, функция на рисунке 4а возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Точка не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

7.4 Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б).

В точках , (рис.5a) и (рис.5b) производная равна 0. В точках , (рис.5б) производная не существует. Но все они – это точки экстремума.

7.5 Необходимое условие экстремума

Если — точка экстремума функции и производная существует в этой точке, то .

Эта теорема – необходимое условие экстремума. Если же производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция всегда имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции равна 0 при , но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).
С другой стороны, функция , представленная на рис.3, имеет минимум в точке , но в этой точке производной не существует.

7.6 Достаточные условия экстремума

Если производная при переходе через точку меняет свой знак с плюса на минус, то — точка максимума.
Если производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс, то — точка минимума.

7.7 План исследования функции
Для построения графика функции нужно:

Пример . Исследование функции , построение графика
1) область определения (x – любое действительное число); область значений , так как – многочлен нечётной степени;
2) функция не является ни чётной, ни нечётной (докажите самостоятельно);
3) – непериодическая функция (докажите самостоятельно);
4) график функции пересекается с осью Y в точке , так как .
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: .
Один из его корней очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: . Оно получено делением многочлена на двучлен . Легко проверить, что два других корня: и . Таким образом, нулями функции являются:-2, -1 и 1.

5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.

Теперь мы располагаем полной информацией для построения графика данной функции (рис. 8).

7.8 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Функция называется выпуклой на интервале , если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .
Функция называется вогнутой на интервале , если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .

7.9 Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Пусть функция дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале , тогда: если для любого , то функция является вогнутой на интервале ; если для любого , то функция является выпуклой на интервале .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба существует вторая производная , то .
Пример : Рассмотрим график функции . Эта функция является вогнутой при и выпуклой при .
В самом деле, , но при и при , следовательно, при и при , откуда следует, что функция является вогнутой при и выпуклой при . Тогда является точкой перегиба функции .

Материалы для технологии «Поле знаний» по теме «Производная» предоставлены Шевляк А.Г.