Вычислить площадь четырехугольника две вершины которого лежат в фокусах эллипса

7

Глава 18. Эллипс

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

его полуоси ранвы 5 и 2;

его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;

расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.

его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.

его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;

расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;

его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что:

его полуоси равны соответственно 7 и 2;

его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.

его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.

расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;

расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.

Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

446.10

.

Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , две другие лежат с концами его малой оси.

Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до односторонней с этим фокусом директрисы.

Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).

На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна –3.

Определить, какие из точек A₁(-2; 3), A₂(2; -2), A₃(2; -4), A₄(-1; 3), A₅(-4; -3), A₆(3; -1), A₇(3; -2), A₈(2; 1), A₉(0; 15), A₁₀(0; -16) лежат на эллипсе , какие внутри и какие вне его.

Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

;

;

;

.

Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.

Дана точка М₁(2; -5/3) на эллипсе ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М₁.

Убедившись, что точка M₁(-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М₁.

Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

Определить точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14.

Определить точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.

Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

точка М₁(; 2) эллипса и его малая полуось b=3;

точка М₁(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;

точки М₁(4; ) и М₂(; 3) эллипса;

точка М₁(; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;

точка М₁(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;

точка М₁(8; 12) эллипса и расстояние r₁=20 от нее до левого фокуса.

точка М₁(; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.

Определить эксцентриситет e эллипса, если:

его малая ось видна из фокусов под углом 60 0 ;

отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;

расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;

отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.

Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки ибудут параллельны.

Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x₀, y₀), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.

Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

;

;

.

Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

;

;

;

.

Составить уравнение эллипса, зная, что:

его большая ось равна 26 и фокусы суть F₁(-10; 0), F₂(14;0);

его малая ось равна 2 и фокусы суть F₁(-1; -1), F₂(1; 1);

его фокусы суть F₁(-2; 3/3), F₂(2; -3/2) и эксцентриситет e=.

его фокусы суть F₁(1; 3), F₂(3; 1) и расстояние между директрисами равно .

Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет , фокусF (-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы

Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы .

Точка А(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.

Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы .

Точка M₁(2; -1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.

Точка M₁(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e=.

Найти точки пересечения прямой и эллипса.

Найти точки пересечения прямой и эллипса.

Найти точки пересечения прямой и эллипса.

Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:

, ;

, ;

, .

Определить, при каких начениях m прямая :

пересекает эллипс ;

проходит вне этого эллипса.

Вывести условие, при котором прямая касается эллипса.

Составить уравнение касательной к эллипсу в его точке M₁(x₁; y₁).

Доказать, что касательные к эллипсу , проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через его центр).

Составить уравнения касательных к эллипсу, параллельных прямой.

Составить уравнения касательных к эллипсу , перпендикулярных к прямой.

Провести касательные к эллипсу параллельно прямойи вычислить расстояние d между ними.

На эллипсе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой.

Из точки А(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу . Составить их уравнения.

Из точки С(10; -8) проведены касательные к эллипсу . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

Из точки Р(-16; 9) проведены касательные к эллипсу . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.

Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой . Составить уравнение этого эллипса при условии, что его оси совпадают с осями координат.

Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых ,, при условии, что его ося совпадают с осями координат.

Доказать, чо произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокульную ось, если величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.

Доказать, что произвдение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.

Прямая касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F₁(-3; 0), F₂(3; 0). Составить уравнение этого эллипса.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к эллипсу и его малая полуось b=2.

Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит вне угла F₁MF₂.

Из левого фокуса эллипса под тупым угломк оси Ox направлен луч света. Известно, что. Дойдя до эллипса, луч на него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

Определить точки пересечения эллипсов ,.

Убедившись, что эллипсы ,() пересекаются в четырех точках, лежающих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.

Плоскости иобразуют угол=30 0 . Опредлить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость окружности радиуса R=10,лежащей на плоскости.

Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R=12. Опредилть угол между плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.

Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под уголом =30 0 .

Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=. Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.

Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2). Определить, в какую линию преобразуется окружность , если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.

Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при таком сжатии преобразуется эллипс .

Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и 6/7.

Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ox, при котором эллипс преобразуется в эллипс.

Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Oy, при котором эллипс преобразуется в эллипс.

Определить коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых эллипс преобразуется в окружность.

Вычислить площадь четырехугольника две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9x 2 5y

Задача 22107 4. Найти площадь четырехугольника, две.

Условие

4. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 5x^2+9y^2-180=0, а две другие совпадают с концами его малой оси.

Решение

Запишем каноническое уравнение эллипса
(x^2)/(180/5)+(y^2)/(180/9)=1
или
(x^2)/(36)+(y^2)/(20)=1

О т в е т. 16sqrt(5)

Почему корень20=2корен5 4корен5

20=4*5 √20=(√4)*√5=2*√5 Длина диагонали 4√5=2√5-(-2√5)

Разные задачи. Эллипс

№ 8.1 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ОХ симметрично относительно начала координат, зная, что:

• 1) его полуоси равны 5 и 2;
• 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
• 3) его малая ось 24, а расстояние между фокусами 10;
• 4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и е = 3/5;
• 5) его большая ось 20, а эксцентриситет е — 3/5′,
• 6) его малая ось 10, а эксцентриситет е = 12/13;
• 7) расстояние между директрисами 5, между фокусами 4;
• 8) его большая ось 8, а расстояние между директрисами 16;
• 9) его малая ось 6, а расстояние между директрисами 13;
• 10) расстояние между его директрисами 32 и е = 1/2.

№ 8.2 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси OY симметрично относительно начала координат, зная, что:

• 1) его полуоси равны 7 и 2;
• 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;
• 3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет 12/13;
• 4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет 3/5;
• 5) расстояние между фокусами 6 и между директрисами 50/3;
• 6) расстояние между директрисами 32/3 и эксцентриситет 3/4.

№ 8.3 Дан эллипс 9т 2 + 25г/ 2 — 225. Найти: 1) его полуоси;

2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

№ 8.4 Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса ж 2 + 5у 2 = 20, а две другие совпадают с концами его малой оси.

№ 8.5 Дан эллипс 9т 2 + 5г/ 2 = 45. Найти: 1) его полуоси;

2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

№ 8.6 Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9ж 2 + 5у 2 = 1, а две другие совпадают с концами его малой оси.

№ 8.7 Вычислить расстояние от фокуса F(c;0) эллипса + =

а 1 о 2 = 1 до односторонней с этим фокусом директрисы.

№ 8.8 На эллипсе — + = 1 найти точки, абсцисса которых —3.

№ 8.9 Эксцентриситет эллипса е = 2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

№ 8.10 Эксцентриситет эллипса е = 2/5, расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М ней с данным фокусом.

до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

№ 8.11 Дана точка Mi(2;—5/3) на эллипсе —+у- = 1. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М.

№ 8.12 Убедившись, что точка Mi(—4:2,4) лежит на эллипсе — + 25

Ч—= 1, найти фокальные радиусы точки Mi.

№ 8.13 Эксцентриситет эллипса е = 1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (—2;0). Вычислить расстояние от точки М эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторон

№ 8.14 Эксцентриситет эллипса е = 1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением х = 16. Вычислить расстояние от точки Mi эллипса с абсциссой —4 до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

№ 8.15 Определить точки эллипса —1- — = 1, расстояние

которых до правого фокуса равно 14.

№ 8.16 Определить точки эллипса—h — = 1, расстояние

которых до левого фокуса равно 2,5.

№ 8.17 Через фокус эллипса — + ^7 = 1 проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

№ 8.18 Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9x^2+5y^2=1 две другие совпадают с концами малой его оси.

пусть трапеция — abcd. bc — меньшее основание, аb и cd — боковые стороны.

проведём высоту bh, диагональ — ас. точка пересечения — о

треугольники овс и она — подобные (оба прямоугольные, есть вертикальные углы аон=вос)

тогда ан = вс* (он/во) = х* (б/м)

площадь трапеции: s = bh*(bc+ad)/2 = bh*(bc+ah) = 18*x*(1+б/м)

итак, осталось найти х.

поясню, почему требуется обозначения б и м. есть 2 решения (в зависимости от того, какие длины мы присвоим отрезкам он и во) . поэтому будут 2 значения б/м:

б/м = 10/8 или б/м = 8/10

2) нахождение величин

обозначим угол всн = t (дальше легче писать)

cos (t) = ah/ab = (x*(б/м)) /x = б/м.

sin (t) = вн/ав = 18/х

cos^2(t) + sin^2(t) = 1

так как 324/x^2 > 0, то приходим, что б/м = 8/10. (т. е. второго решения больше нет) .

Вычислить площадь четырехугольника две вершины которого лежат в фокусах эллипса

, (18)

Где – константы.

Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении и , то оно является уравнением окружности.

, (19)

Где – координаты центра, а – радиус окружности.

Пример 1. Найти центр и радиус окружности .

Решение. Выделяя полные квадраты по и по , приведем уравнение к виду , откуда, сравнивая с (19), находим и .

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .

Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка – середина хорды , а – середина и , . Уравнения перпендикуляров к хордам и , проходящих через их середины, имеют вид: и или и . Точка пересечения этих прямых .

Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками и : . Запишем уравнение окружности: .

, (20)

Где – большая полуось, – малая полуось, – эксцентриситет эллипса.

Прямую, на которой расположены фокусы эллипса , называют фокальной осью, а и – фокальными радиусами.

Прямые называют директрисами эллипса.

Пример 3. Убедитесь, что уравнение определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду , откуда , . Из условия найдем , то есть . Тогда , а уравнение директрис .

Пример 4. Доказать, что уравнение определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :

.

Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, . Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке .

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

, (21)

Где .

Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы.

Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6.

Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: .

Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой .

Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или .

Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.

Решение. Выделим полные квадраты по и по :

или

. Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения: или .

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

, (22)

Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы .

Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы .

Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.

Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть .

1. Найти координаты центра и радиус окружности .

Ответ: , .

2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой .

Ответ: .

3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой .

Ответ: .

5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой.

Ответ: .

6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.

Ответ: .

Вычислить площадь н-угольника вершины которого заданы координатами
вычислить площадь н-угольника вершины которого заданы координатами n=7 A1(14.3;3.6), A2(10.2;7.69).

Вычислить площадь многоугольника вершины которого заданы координатами. Исправить ошибки в программе
#include "stdafx.h" #include "stdio.h" #include <iostream> using namespace std; int main()

Найти периметр квадрата, стороны которого параллельны осям координат, а противоположные вершины лежат в точках А(x1,y1), D(x2,y2)
Заранее спасибо! найти периметр квадрата, стороны которого параллельны осям координат, а.

Вычислить площадь четырехугольника
Задано случайное количество точек. Вычислить площадь четырехугольника, вершины которого составляют.

Вычислить площадь четырехугольника
1. У выпуклого четырехугольника известны длины сторон и расстояния от внутренней точки.

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

• т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки
• т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки (Рис. 30).

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Уравнение эллипсоида

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).