Почему отрицательное число нельзя возвести в дробную степень

Почему отрицательные числа нельзя возводить в дробную степень, а корень n-й степени можно?

Причина, по которой нельзя возводить число в отрицательную степень, объясняется через отрицательное число под корнем нечётной степени; но извлекать нечётный корень из отрицательных чисел можно. Там говорится, что корень можно извлекать, а вот возводить в дробную степень нельзя. И нельзя это потому, что вот у нас есть выражение, где мы извлекаем корень. Почему тогда нечётный корень можно извлекать из отрицательного числа?

Там причина в том, что числа 1/3 и 2/6 равны, поэтому одно из них всегда можно заменить на другое, и по обычным правилам возведения в дробную степень получается противоречие. Попытка его получить с использованием корней (вместо дробных показателей) к противоречию не ведёт. Дело в том, что $%\sqrt=|x|$%, поэтому если записать $%\sqrt[6]$% как $%\sqrt[3]<\sqrt>$%, то не получится $%\sqrt[3]x$% (что вело бы к противоречию), а будет $%\sqrt[3]<|x|>$%.

В учебнике есть теорема: если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Эта теорема неверна, или что? -8 под корнем третьей степени не ровно -8 в квадрате и под корнем шестой степени.

@Rumpelstiltskin: эта теорема относится к корням из неотрицательных чисел. В общем виде это неверно — ср. квадратный корень из x^2. Он не равен x в общем случае.

В учебнике у этой теоремы нет уточнения про отрицательные числа. Я помню, что, например, чтобы получить 49, можно возвести в квадрат 7 и -7, но операция квадратного корня из 49 в результате есть только одно из этих чисел, которое положительное.

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Как будем решать

Данную запись можно перевести или переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Выполните возведение 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадратик: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Возведение степени в степень

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: ( aᵑ ) ᵐ = aᵑ * ᵐ.

Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

Возведение в дробную степень

Использование дробей в качестве степеней значительно упрощает жизнь по сравнению с записью выражений с помощью корней. Это связано с тем, что совершать арифметические действия с дробями легче, чем применять и помнить свойства корней. Поэтому ниже мы рассмотрим, как перейти от корней к числу в дробной степени.

Возведение в дробную степень проводится соответственно следующему правилу:

Пусть $\frac

$ — обыкновенная дробь, причём $p$ и $q$ больше нуля и $q≠1$. Тогда для возведения числа $a$ в дробную степень необходимо извлечь из него корень $q$-ой степени и возвести в степень числителя, равную $p$.

В математической форме это тождество записывается так:

Следует отметить, что в случае использования в качестве записи дробной степени вместо корней есть одно важное правило. Запрещается возводить в дробную степень отрицательные числа.

Это связано с тем, что в таком случае можно прийти к невыполнимому равенству, например:

Правило для возведения степени в степень в случае, когда показатель степени является дробным числом, выполняется также как и для обычной целой степени, то есть:

Число $a$ в дробной степени вида $\frac

$, возведённое в степень $b$, равно числу $a$, возведённому в степень произведения дроби и числа $b$.

В математической форме это выглядит так:

Правило для возведения числа в дробную степень справедливо не только для обыкновенных дробей, но и для десятичных и неправильных.

В случае, если необходимо возвести число в десятичную или неправильную дробь, сначала необходимо перевести её в обычную чтобы стали видны показатели степени числа и корня.

Возведение в нецелую отрицательную степень проводится по тем же правилам, что и возведение в целую отрицательную степень, то есть:

Пусть $\frac

$ — обыкновенная дробь и $q≠1$, а $a>0$, тогда $a^<-\frac

>$ равно $\frac<1>>>$.

Возведение числа в дробную степень

Возведение целого числа в дробную степень — это арифметический процесс, при котором находится значение степени числа, выраженной дробью.

Преимущества дробной степени над записью выражения с помощью корней

Использовать дробную степень проще, чем записывать выражения с помощью корней. Это связано с тем, что вычислить значение числа в определенной степени легче, чем применять свойства корней. Если возведение в степень займет один шаг, то вычисление корня производится в несколько шагов.

Правило возведения

Возведение числа в дробную степень осуществляется согласно правилу: пусть \(\frac pq\) — обыкновенная дробь, причём \(p\) и \(q\) больше нуля и \(q≠1\) . Тогда для возведения числа a в дробную степень нужно извлечь из него корень q-ой степени и возвести в степень числителя, которая равна \(p\) .

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В математической форме это правило выглядит так:

Правило, когда показатель степени является дробью

Если показателем степени является десятичная дробь, то нужно перевести ее в обыкновенную:

В случае, если число смешанное, необходимо перевести его в неправильную дробь:

При возведении дроби в отрицательную степень следует использовать формулу: