Что больше среднее арифметическое или среднее геометрическое

Среднее геометрическое против среднего арифметического — Топ 8 полезных отличий

Разница между средним геометрическим и средним арифметическим

Среднее арифметическое и среднее геометрическое являются инструментами, широко используемыми для расчета доходности инвестиций для инвестиционных портфелей в мире финансов. Люди используют среднее арифметическое, чтобы сообщать о более высокой прибыли, которая не является правильной мерой расчета прибыли на инвестиции. Поскольку окупаемость инвестиций в портфель по годам зависит от доходности в предыдущие годы, среднее геометрическое является правильным способом расчета окупаемости инвестиций за определенный период времени. Среднее арифметическое лучше подходит в ситуации, когда переменные, используемые для расчета среднего значения, не зависят друг от друга.

Пример: использование пригодности среднего геометрического и среднего арифметического

1. Давайте рассмотрим пример возврата инвестиций на сумму 100 долларов за 2 года. Предположим, что доходность за два года составила -50% и + 50% при расчете среднего и 1- го среднего дохода с использованием среднего арифметического будет 0% (Среднее арифметическое = (-50% + 50%) / 2 = 0%)

Что создает неправильное впечатление, что инвестор безубыточен на своих инвестициях и нет никаких потерь или прибыли. Однако более тщательный анализ дает совершенно иную картину сценария.

Из приведенной таблицы видно, что инвестиции в размере 100 долл. После -50% и + 50% доходности в год 1 и 2 будут близки к 75 долл. Таким образом, инвестор не обходит свои инвестиции, как предполагает арифметика. среднее значение, но он понес убытки в размере 25 долларов после 2 лет инвестиций. Что хорошо отражено в использовании геометрического среднего для расчета возврата инвестиций за 2 года, как показано ниже:

Среднее геометрическое возвращений

Это означает, что годовая доходность портфеля была отрицательной 13, 40%. Инвестиционная позиция после двух лет выглядит следующим образом:

Таким образом, среднее геометрическое показывает истинную картину инвестиций, что есть потеря инвестиций с годовой отрицательной доходностью -13, 40%. Поскольку доходность каждого года влияет на абсолютную доходность в следующем году, среднее геометрическое является лучшим способом расчета годовой доходности инвестиций.

2. Когда нужно вычислить среднее значение переменных, которые не зависят друг от друга, арифметика означает подходящий инструмент для вычисления среднего. Среднее количество баллов студента по 5 предметам может быть рассчитано по среднему арифметическому, так как баллы студента по различным предметам не зависят друг от друга.

Сравнение геометрического среднего с средним арифметическим (инфографика)

Ниже приведена верхняя 8 разница между средним геометрическим и средним арифметическим

Ключевые различия между средним геометрическим и средним арифметическим

Давайте обсудим некоторые основные различия между средним геометрическим и средним арифметическим:

Геометрическое среднее и среднее арифметическое являются инструментами для расчета отдачи от инвестиций в финансы, а также используются в других приложениях, таких как экономика, статистика.
Среднее арифметическое рассчитывается путем деления суммы чисел на число. Однако геометрическое среднее учитывает эффект сложения при расчете.
Среднее геометрическое является правильным способом расчета доходности инвестиций за определенный период времени, поскольку доходность инвестиций для портфеля за годы взаимозависима. Однако среднее арифметическое лучше подходит в ситуации, когда переменные, используемые для расчета, не зависят друг от друга.
Среднее арифметическое является более полезным и точным, когда оно используется для вычисления среднего значения набора данных, где числа не искажены и не зависят друг от друга. Однако в сценарии, где в наборе данных наблюдается большая волатильность, среднее геометрическое является более эффективным и более точным.
Среднее арифметическое относительно легче вычислить и использовать по сравнению со средним геометрическим значением, которое относительно сложно вычислить.
Среднее геометрическое значение очень широко используется в мире финансов, особенно при расчете доходности портфеля. Однако среднее арифметическое не является подходящим инструментом для расчета доходности.
Среднее арифметическое двух чисел всегда выше среднего геометрического для тех же чисел.

Среднее геометрическое и среднее арифметическое Сравнительная таблица

Давайте посмотрим на 8 лучших Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического

Среднее арифметическое

Среднее геометрическое

Если в серии два числа X и Y, чем
Среднее арифметическое = (X + Y) / 2

Если в серии два числа X и Y, чем
Среднее геометрическое = (XY) (1/2)

Вывод — среднее геометрическое против среднего арифметического

Среднее геометрическое и среднее арифметическое находят свое применение в экономике, финансах, статистике и т. Д. В зависимости от их пригодности. Среднее геометрическое больше подходит для расчета среднего и дает точные результаты, когда переменные являются зависимыми и широко искажены. Тем не менее, среднее арифметическое значение используется для расчета среднего значения, когда переменные не являются взаимозависимыми. Поэтому, эти два должны использоваться в соответствующем контексте, чтобы получить лучшие результаты.

Разница между средним арифметическим и средним геометрическим

В чем разница между средним арифметическим и средним геометрическим?

Есть много способов измерить эффективность финансового портфеля и определить, успешна ли инвестиционная стратегия. Инвестиционные специалисты часто используют среднее геометрическое, чаще называют средним геометрическим.

Ключевые выводы:

Среднее геометрическое больше всего подходит для серий, демонстрирующих серийную корреляцию. Особенно это актуально для инвестиционных портфелей.
Большинство доходов в финансах коррелированы, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск. Чем длиннее временной горизонт, тем более критичным становится сложное сложение и тем более целесообразным является использование среднего геометрического.
Для непостоянных чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точное измерение истинной доходности с учетом годового сложения.

Среднее геометрическое отличается от среднего арифметического или среднего арифметического тем, как оно рассчитывается, поскольку оно учитывает сложение, которое происходит от периода к периоду. Из-за этого инвесторы обычно считают среднее геометрическое более точным показателем доходности, чем среднее арифметическое.

Формула для среднего арифметического

A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an где: a1, a2,…, an = доходность портфеля за период nn = количество периодов

Среднее арифметическое

Как рассчитать среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма серии чисел, деленная на количество этой серии чисел.

Если бы вас попросили найти среднее (арифметическое) среднее количество баллов за тест, вы просто сложите все баллы учащихся за тесты, а затем разделите эту сумму на количество учащихся. Например, если пять студентов сдали экзамен и их баллы составили 60%, 70%, 80%, 90% и 100%, средняя арифметическая оценка по классу будет 80%.

Это будет рассчитываться как:

Причина, по которой мы используем среднее арифметическое для оценок за тесты, заключается в том, что каждая оценка является независимым событием. Если один студент плохо сдает экзамен, шансы следующего студента плохо (или хорошо) сдадут экзамен не пострадают.

В мире финансов среднее арифметическое обычно не является подходящим методом для расчета среднего. Рассмотрим, например, доходность инвестиций. Предположим, вы вложили свои сбережения в финансовые рынки в течение пяти лет. Если бы доходность вашего портфеля каждый год составляла 90%, 10%, 20%, 30% и -90%, какой была бы ваша средняя доходность в этот период?

При среднем арифметическом средняя доходность составила бы 12%, что на первый взгляд кажется впечатляющим, но не совсем точным. Это потому, что когда речь идет о годовом доходе от инвестиций, цифры не являются независимыми друг от друга. Если вы потеряете значительную сумму денег в конкретном году, у вас будет гораздо меньше капитала для инвестирования и получения прибыли в следующие годы.

Нам необходимо рассчитать среднее геометрическое значение доходности ваших инвестиций, чтобы точно измерить вашу фактическую среднегодовую доходность за пятилетний период.

Формула для геометрического среднего

(I = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn где: x1, x2, ⋯ = доходность портфеля за каждый период n = количество периодов

Как рассчитать среднее геометрическое

Среднее геометрическое для ряда чисел рассчитывается путем возведения произведения этих чисел до значения, обратного длине ряда.

Для этого мы добавляем по единице к каждому числу (чтобы не было проблем с отрицательными процентами). Затем умножьте все числа вместе и возведите их произведение в степень единицы, деленной на количество чисел в серии. Затем мы вычитаем единицу из результата.

Формула, записанная десятичными знаками, выглядит так:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1, где: R = Returnn = количество чисел в серии

Формула кажется сложной, но на бумаге это не так уж и сложно. Возвращаясь к нашему примеру, мы вычисляем среднее геометрическое: наша доходность составила 90%, 10%, 20%, 30% и -90%, поэтому мы подставляем их в формулу как:

Результат дает среднегодовую геометрическую доходность -20,08%. Результат, использующий среднее геометрическое, намного хуже, чем среднее арифметическое 12%, которое мы рассчитали ранее, и, к сожалению, это также число, которое представляет реальность в данном случае.

CFA — Применение геометрических и арифметических средних в финансовом анализе

Используя концепции описательной статистики, рассмотрим, почему среднее геометрическое хорошо подходит для составления финансовых отчетов о прошлых результатах. Также рассмотрим, почему среднее арифметическое хорошо подходит для составления отчетов в перспективном контексте.

Применение геометрических средних для отчетов о прошлых результатах.

Для отчетности на основе исторических ставок доходности геометрическое среднее более привлекательно, чем среднее арифметическое, потому что оно представляет собой темп роста или ставку доходности, которую мы должны были бы получать каждый год, чтобы соответствовать фактическим, совокупным инвестиционным показателям.

Например, в упрощенном Примере (2) средней геометрической и арифметической доходности мы приобрели акцию за €100, при этом 2 года спустя она стоила также €100, а 1 год спустя — €200.

Среднее геометрическое значение доходности здесь — 0%. Очевидно, что оно представляет собой сложный темп роста (сложную процентную ставку) за двухлетний период. В частности, конечная сумма является начальной суммой, умноженной на $ (1 + R_G)^2 $. Среднее геометрическое является отличным показателем прошлых результатов.

Пример, упомянутый выше, иллюстрирует, как среднее арифметическое может исказить нашу оценку исторических показателей. В этом примере совокупная доходность за двухлетний период однозначно равна 0%. Но, при 100% доходности за первый год и -50% за второй, среднее арифметическое составляет 25%.

Как мы уже отмечали ранее, среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

Если мы хотим оценить среднюю доходность за 1 период, мы должны использовать среднее арифметическое, потому что среднее арифметическое — это среднее значение доходности за 1 период. Однако, если мы хотим оценить среднюю доходность за более чем 1 период, нам следует использовать среднюю геометрическую доходность, поскольку среднее геометрическое отражает то, как ставки доходности за период образуют совокупную доходность за несколько периодов.

Как следствие использования геометрического среднего для отчетов о доходности, полулогарифмические (англ. ‘semilogarithmic scale’), а не арифметические шкалы измерений более подходят для построения графиков прошлых результатов. В контексте отчетности об инвестиционных результатах полулогарифмический график имеет арифметическую шкалу на горизонтальной оси для времени и логарифмическую шкалу на вертикальной оси для стоимости инвестиций.

Значения на вертикальной оси отмечены в соответствии с различиями между их логарифмами.

Предположим, мы хотим представить £1, £10, £100 и £1,000 в качестве стоимости инвестиций на вертикальной оси.

Обратите внимание, что каждое последующее значение представляет 10-кратное увеличение по сравнению с предыдущим значением, и каждое из них будет равномерно отмечено на вертикальной оси, поскольку разница в их логарифмах составляет примерно 2.30. То есть:

$\ln10 — \ln1 = \ln100 — \ln10 = \ln1,000 — \ln100 = 2.30 $

В полулогарифмическом масштабе равные деления на вертикальной оси отражают одинаковые процентные изменения, а рост инвестиций с постоянной процентной ставкой представляет на графике прямую линию.

Кривая, изгибающаяся вверх, отражает увеличение темпов роста с течением времени.

Изгибы кривой в разных точках можно сравнивать, чтобы судить об относительных темпах роста.

Применение арифметических средних для финансовых прогнозов.

В дополнение к отчетам о прошлых результатах финансовым аналитикам необходимо прогнозировать ожидаемые премии за риск по акциям. Для этой цели лучше подходит среднее арифметическое.

Мы можем проиллюстрировать использование среднего арифметического в перспективном контексте на примере, основанном на будущих денежных потоках инвестиций. При дисконтировании будущих денежных потоков, существенная проблема связана с неопределенностью.

Предположим, что инвестор, распоряжающийся $100,000 сталкивается с равной вероятностью (50/50) 100-процентной или -50-процентной доходности, как показано на древовидной диаграмме. При 100-процентной доходности в одном периоде и -50-процентном доходе в другом, среднее геометрическое доходности составляет:

Средняя геометрическая доходность 0% дает моду или медиану дохода после двух периодов (т.е. конечный доход или доход на конец рассматриваемого периода) и, таким образом, точно предсказывает модальный или медианный конечный доход в этом примере.

Тем не менее, среднее арифметическое лучше предсказывает конечный доход. При равных шансах доходности 100% или -50% рассмотрим 4 одинаково вероятных результата в $400,000, $100,000, $100,000 и $25,000, как если бы они действительно имели место.

Средний арифметический конечный доход составил бы:

$156,250 = ($400,000 + $100,000 + $100,000 + $25,000) / 4.

Фактическая доходность составила бы 300%, 0%, 0% и -75% при средней арифметической доходности за 2 периода:

(300 + 0 + 0 -75) / 4 = 56.25%.

Это средняя арифметическая доходность предсказывает конечный доход в размере $100,000 $ \times $ 1.5625 = $156,250. Отметив, что 56.25% для двух периодов составляют 25% за период, мы должны затем дисконтировать ожидаемый конечный доход в размере $156,250 по средней арифметической ставке 25%, чтобы отразить неопределенность в денежных потоках.

Неопределенность в денежных потоках или доходности приводит к тому, что среднее арифметическое будет больше среднего геометрического.
Чем более неопределенны доходы, тем больше расхождение между средними арифметическими и геометрическими значениями.
Средняя геометрическая доходность приблизительно равна средней арифметической доходности за вычетом половина дисперсии доходности.

Нулевая дисперсия или нулевая неопределенность в доходах оставляют геометрическую и арифметическую доходность примерно равными, но в условиях реальной неопределенности среднеарифметическая доходность больше, чем среднегеометрическая.

Например, для номинальной годовой доходности S&P 500 с 1926 по 2012 год в Таблице 27 приведено среднее арифметическое значение 11.82% и стандартное отклонение 20.18%.

Среднее геометрическое значение этих ставок доходности составляет 9.84%. Мы можем видеть, что среднее геометрическое приблизительно равно среднему арифметическому за вычетом половины дисперсии доходности:

math_in_school

Поскольку эти понятия используются очень часто, имеет смысл немного о них поговорить. Среднее арифметическое возникает, когда делят поровну. Тут всё понятно – как говорил Шариков – сложить и поделить. Sa =( a + b )/2 .
А что такое среднее геометрическое для a и b ? Это такой отрезок, который будет стороной квадрата, равного по площади прямоугольнику со сторонами a и b . Понятно, что он между a и b . Sg = √ ( ab) — корень квадратный из произведения.
Сравним Sa V Sg при одних и тех же a и b (для положительных, разумеется ) V – знак сравнения. Его можно заменить на > или < , преобразовав неравенство в такое, которое будет выглядеть очевидным. Понятно, что следует выполнять правила операций с частями неравенства – переносить , добавлять равное или умножать на положительное число.
(a+b)/2 V √ (ab) ; a + b — 2 √ (ab ) V 0 ; a + b — 2 √ a √ b V 0 ;
Левая часть неравенства – полный квадрат a + b — 2 √ a √ b = ( √ a — √ b ) ² >= 0 Следовательно, знак V в неравенстве Sa V Sg мы имеем право заменить на >= .
Sa >= Sg Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда больше или равно их среднему геометрическому, причём равенство достигается при a = b .
Этот факт имеет очень простую и красивую геометрическую интерпретацию. Пусть a + b будут диаметром окружности. Тогда перпендикуляр к диаметру из точки соприкосновения отрезков a и b до пересечения с окружностью даст среднее геометрическое. А радиус – среднее арифметическое. Предлагаю доказать это в качестве упражнения.
avarage
А что будет, если чисел не два, а больше? Будет то же самое, но называться станет сложно и страшно – неравенством Коши-~~Буняковского~~. Докажем его как-нибудь в другой раз, после того, как разберёмся, что такое математическая индукция.

П.С. Выполняя пожелание old_greeb , рассмотрим ещё одно среднее — гармоническое Sh=2ab/(a+b) Это величина является,например, решением задачи о средней скорости, которой часто морочат головы изучающим физику — заставляя пользоваться точным определением средней скорости, а не интуитивными понятиями. Пусть первую половину пути объект двигался со скоростью а, вторую половину — со скоростью b. Какова средняя скорость? Интуитивный ответ (a+b)/2, очевидно, неверен. Правильное решение по определению скорости, как отношения пути ко времени, даёт V=S/(S/2a +S/2b) = 2ab/(a+b)

Сравним среднее гармоническое и среднее геометрическое. 2ab/(a+b) V √ (ab) или √( ab)/((a+b)/2) V 1 В числителе — среднее геометрическое, которое меньше среднего арифметического в знаменателе 2ab/(a+b) <= √ (ab)

среднее гармоническое <= среднее геометрическое <= среднее арифметическое