Как найти инвариантные подпространства линейного оператора

Примеры.

Подпространство, состоящее из одного нулевого элемента , является инвариантным подпространством относительно любого линейного оператора.

Само линейное пространство является инвариантным относительно любого линейного оператора, действующего в этом пространстве.

Подпространства и называются тривиальными инвариантными подпространствами линейного оператора.

Собственное подпространство линейного оператора , отвечающее собственному значению , является инвариантным относительно оператора .

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , действующего в линейном пространстве радиус-векторов и имеющего в ортонормированном базисе матрицу Так как

то характеристическое уравнение оператора имеет вид . Корни этого уравнения и — собственные значения оператора А. Собственное значение называется двукратным собственным значением.

Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить систему уравнений (2) при и

При система уравнений (2) принимает вид

Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из одного столбца . Это столбец координат собственного вектора , отвечающего собственному значению в базисе . Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеет вид , где — произвольное вещественное число, не равное нулю.

При система уравнений (2) принимает вид

В этой системе уравнений число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 1. Поэтому размерность пространства решений равна 2. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из двух столбцов

.

Эти столбцы представляют собой координаты в базисе двух линейно независимых собственных векторов и , отвечающих собственному значению . Все множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , дает линейная комбинация векторов , где и — произвольные вещественные числа, одновременно не равные нулю.

Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

Характеристический многочлен матрицы А имеет вид

Его трехкратный корень является собственным значением матрицы А. Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему уравнений

В этой системе число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2. Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая, находим фундаментальную систему решений, состоящую из одного столбца . Таким образом, множество всех собственных векторов матрицы А есть множество столбцов вида , где — произвольное число, не равное нулю.

Три материальных точки единичной массы соединены между собой и со стенкой тремя пружинами с коэффициентами жесткости , , (рис. 4). Найти собственные частоты и формы малых собственных колебаний данной системы.

Прежде всего, уточним постановку задачи. Положение равновесия материальных точек , соответствующее нерастянутым пружинам, отметим на оси х точками . Если сжать или растянуть пружины каким-то образом, а затем отпустить их, то начнется колебательное движение системы. Будем пренебрегать силами трения и массами пружин. В произвольный момент времени t точки занимают какие-то положения . Величины направленных отрезков и на оси x, характеризующие отклонения точек от положения равновесия, обозначим через . Если эти величины изменяются со временем по закону

,

то ; называется собственной частотой системы, а отношения будем называть формой собственных колебаний, совершаемых с частотой .

Для отыскания собственных частот и соответствующих им форм колебаний составим уравнения движения материальных точек . На каждую из этих точек действуют силы, обусловленные жесткостью пружин. Согласно закону Гука при малом растяжении пружины упругая сила, стремящаяся вернуть пружину в первона­чальное (нерастянутое) положение, пропорциональна величине растяжения. Величины растяжений первой, второй и третьей пружин в момент t равны соответственно (см. рис. 4). Поэтому на точку в момент t со стороны первой пружины действует сила , а со стороны второй пружины — сила . Обратите внимание на знаки выражений для и . Если , то первая пружина в момент t растянута по отношению к положению равновесия, упругая сила стремится сжать пружину, и, следовательно, на точку со стороны первой пружины действует сила, направленная влево, т. е. . Если , то первая пружина сжата, упругая сила стремится растянуть ее, и поэтому на точку действует сила, направленная вправо, т. е. . Аналогично, если , то вторая пружина растянута, сила упругости стремится сжать ее, и поэтому со стороны второй пружины на точку действует сила, направленная вправо: . То же самое выражение для получается в случае .

Итак, результирующая сила, действующая на точку , есть сила

По второму закону Ньютона произведение массы точки (она равна единице) на ускорение точки (ускорение есть вторая производная по времени от смещения x) равно результирующей силе

Аналогично, на точки и действуют результирующие силы

и .

Поэтому уравнения движения этих точек имеют вид

,

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений

в виде (3). Подставляя (3) в систему, приходим к виду

(6)

где — известная матрица, составленная из коэффициентов правых частей уравнений, — искомый столбец “амплитуд”, — квадрат искомой собственной частоты, взятый со знаком минус.

Таким образом, для отыскания собственных частот нужно найти собственные значения матрицы С, а для нахождения формы собственных колебаний нужно найти соответствующие собственные векторы.

Учитывая, что , , , получаем следующее ха­рактеристическое уравнение матрицы С:

Оно имеет корни , , . Следовательно, , , , т. е. собственными частотами колебательной системы будут

, ,

Решая для каждого собственного значения систему (6), находим собственные векторы матрицы С — столбцы

где с — произвольное число, не равное нулю. Отношения элементов столбца определяют форму собственных колебаний с частотой . Так, форма собственных колебаний с частотой задается отношениями: .

Научный форум dxdy

Вот и у меня такое же подозрение. Задачник Беклимешовой по ангему и линалу.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Хорошо. А какие можно найти точно и как?

То есть найти такие подпространства n-мерного вещественного пространства, что при действии на элементы этих подпространств оператора k они преобразуются сами в себя.

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы). Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет (т.е. только нулевой элемент n-мерного вещественного пространства преобразуется сам в себя). Если — есть, то нужно найти все собственные векторы оператора k, соответствующие единице. Все элементы линейной оболочки над этими векторами при действии на них оператора k преобразуются сами в себя. Соответственно любое подпространство этой линейной оболочки будет инвариантным
относительно оператора k. Наверное (в этом случае) так и следует сформулировать ответ — это все подпространства линейной оболочки, построенной на таких-то векторах (которые нужно будет вычислить).

Вроде бы так, если я правильно догадался, что такое подпространство, инвариантное относительно некоторого оператора.

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

имелось в виду последнее, но откуда взялось число ? и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?

Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

В нашем курсе отсутствует понятие жордановой формы.

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

имелось в виду последнее, но откуда взялось число ?

Такое количество инвариантных подпространств будет в случае, когда все собственные числа — ненулевые, вещественные и разные. Это число всех возможных сочетаний из собственных векторов за исключением пустого сочетания.

Я ошибся, посчитав это число максимальным и полностью упустив из рассмотрения случай кратных собственных чисел (корней характеристического уравнения). Если у характеристического уравнения существует хотя бы один ненулевой кратный корень (неважно действительный или комплексный), то число инвариантных подпространств будет бесконечным.

Но Вам, похоже, это было всегда известно.

Добавлено спустя 40 минут 30 секунд:

Я думал, что речь идет о каком-то конкретном операторе, для которого эти числа можно найти, а автор темы просто обобщил вопрос. (Рядом там было написано «операторы, срочно».)

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено. (Может быть, хотя бы для разделов типа «помогите помочь разобраться» имело бы смысл ввести такие ограничения и банить всех тех, кто их нарушает?)

Для конечномерного (-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

Последний раз редактировалось нг 13.04.2008, 22:06, всего редактировалось 1 раз.

Не запрещено. Не запрещено и ошибаться. И все мы (включая меня) ошибаемся время от времени.

Я думаю ( B. — включаю модуль телепатии ), Brukvalub говорил об ответственности , которую берёт на себя помогающий. О том, что дав неудачный совет, он подводит того, кому помогает. И что поэтому стоит перепроверить то, что пишешь ещё раз (в частности, проверить определения, в которых не уверен).

Инвариантные подпространства

Пусть — линейное преобразование линейного пространства называется инвариантным относительно преобразования принадлежит подпространству , т.е. . Другими словами, инвариантное подпространство включает свой образ . Нулевое подпространство и все пространство .

Пусть — инвариантное подпространство относительно преобразования . Линейный оператор в себя, называется сужением (ограничением) линейного преобразования на инвариантное подпространство и обозначается , или . Для всех векторов выполняется равенство , т.е. образы, порождаемые оператором , совпадают.

Примеры инвариантных подпространств

Рассмотрим инвариантные подпространства линейных операторов (преобразований).

1. Для нулевого преобразования любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение нулевого преобразования является нулевым преобразованием.

2. Для тождественного преобразования является инвариантным, так как . Сужение тождественного преобразования является тождественным преобразованием.

3. Для центральной симметрии любое подпространство является инвариантным, так как . Сужение центральной симметрии является центральной симметрией.

4. Для гомотетии любое подпространство является инвариантным, так как (при ). Сужение гомотетии является гомотетией.

5. Для поворота плоскости (при ) имеются два инвариантных подпространства: нулевое и вся плоскость . Других инвариантных подпространств нет.

6. Для оператора дифференцирования каждое из подпространств является инвариантным, так как при дифференцировании степень многочлена уменьшается.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора проектирования на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — нулевым .

8. Рассмотрим оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора подпространства и инвариантные, так как и . Сужение оператора отражения на подпространство является тождественным преобразованием , а сужение на подпространство — центральной симметрией , так как .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , вокруг оси инвариантно относительно этого преобразования, так как любой вектор, принадлежащий , не изменяется в результате поворота, т.е. отображается в себя. Подпространство

Свойства инвариантных подпространств

1. Если — инвариантное подпространство относительно обратимого линейного преобразования , то его сужение также обратимое линейное преобразование.

2. Для любого линейного преобразования ядро и

3. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любой натуральной степени этого преобразования, причем

В самом деле, каждое из указанных множеств является линейным подпространством, так как это образы сужений линейных операторов, например, . Докажем, например, включение . Для любого существует вектор , что . Следовательно, .

4. Если — инвариантное подпространство относительно линейного преобразования , то — инвариантно относительно любого многочлена от этого преобразования.

Теорема (9.2) о матрицах оператора и его сужения на инвариантное подпространство

Пусть — линейное преобразование n-мерного пространства — подпространство, инвариантное относительно преобразования пространства

где преобразования , . И наоборот, если в некотором базисе матрица ), то преобразование подпространства и дополним его векторами до базиса всего пространства базисных векторов по этому базису, получаем

так как . Следовательно, последние элементов первых столбцов матрицы Следствие. Если n-мерное пространство , то существует базис, в котором матрица преобразования имеет блочно-диагональный вид

где — матрица сужения преобразования .

Например, рассмотрим операторы проектирования и отражения . Объединяя базисы подпространств и , получаем базис пространства , в котором матрицы преобразований имеют блочно-диагональный вид

Как найти инвариантные подпространства линейного оператора

Пусть — подпространство векторного пространства действующий в линейный оператор. Образ вектора из вообще говоря, не обязан принадлежать Особый интерес представляют такие подпространства, векторы которых действием оператора не выводятся из этих подпространств.

Определение 3. Подпространство пространства называется инвариантным относительно линейного оператора если образ каждого вектора х из принадлежит (иными словами, если

Примеры. — поворот вокруг оси обычного трехмерного пространства. Инвариантными подпространствами будут, например, плоскость и ось

2. Если — ортогональное проектирование того же пространства на плоскость то инвариантными подпространствами будут: плоскость все плоскости, проходящие через ось сама ось и все прямые, содержащиеся в плоскости (и проходящие через начало координат).

3. В пространстве многочленов степени не выше подпространства при всех инвариантны относительно оператора дифференцирования.

4. В любом пространстве каждое подпространство инвариантно относительно тождественного и нулевого операторов.

5. В любом пространстве само пространство и его подпространство, состоящее из одного нулевого вектора, инвариантны относительно любого линейного оператора.

Покажем, что пересечение и сумма подпространств, инвариантных относительно линейного оператора инвариантны относительно

Действительно, если подпространства инвариантны относительно то а значит, . С другой стороны, если то где и не Но тогда

Теорема 5. Если — невырожденный линейный оператор и подпространство, инвариантное относительно то инвариантно и относительно

Доказательство. Пусть базис подпространства Тогда векторы тоже принадлежащие R (ввиду инвариантности линейно независимы (см. § 6), и значит, они тоже образуют базис т. е. произвольный вектор представляется в виде

Сделаем еще одно, полезное для дальнейшего Замечание. Пусть — произвольный линейный оператор, действующий в -мерном пространстве предположим, что распадается в прямую сумму своих подпространств инвариантных относительно — базис — базис Ввиду инвариантности подпространств имеют место равенства

Тогда матрица оператора в базисе ей всего пространства имеет вид

Можно сказать, что матрица А «распадается на клетки»:

где — матрица оператора в подпространстве — матрица оператора в подпространстве R, а

прямоугольные матрицы в левом нижнем и правом верхнем углах матрицы А состоят из одних нулей.

Такимобразом, зная матрицы оператора в подпространствах мы можем составить из них матрицу оператора во всем пространстве

Верно и обратное утверждение: если матрица оператора в некотором базисе имеет «клеточный» вид (7), то пространство очевидным образом распадается в прямую сумму инвариантных относительно подпространств