Как доказать что функция убывает на множестве действительных чисел

0

доказать что на множестве всех действительных чисел функция
1)y=-3x+1 убывает;
2)y(x)=x^3

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

1. Дано действительное число – цена 1 кг конфет. Вывести стоимость 0,5; 1; 1,5 … 10 кг конфет. (Подсказка – используем цикл WHILE).

Программа должна иметь следующий вид:

Компьютер запрашивает стоимость одного килограмма конфет.

Пользователь вводит стоимость одного килограмма конфет, и компьютер выводит на экран:

СРОЧНО. доказать что на множестве всех действительных чисел функция
1)y=-3x+1 убывает;
2)y(x)=x^3 возрастает

y₂ -y₁ = — 3(x₂) +1 — ( -3(x₁) +1) = -3(x₂ — x₁) .
y₂ -y₁ = -3(x₂ — x₁) из этого равенства следует, если x₂ — x₁ > 0 то y₂ -y₁< 0 или по другому x₂ > x₁⇒ y₂ < y₁ (а это определение убывающей функции) .
* * * для старшеклассников * * *
у ‘ =(-3x+1) ‘ = -3 < 0 ⇒функция убывающая .
—————-
2) y(x)=x ³ возрастает
——————-
у↑ — ?
y(x₂) -y(x₁) =x₂³ -x₁³ =(x₂ — x₁)(x₂² + x₂x₁ +x₁²) =(x₂ — x₁)((x₂²+x₁/2²)+3x₁²/4) .
y(x₂) -y(x₁) = (x₂ — x₁)((x₂²+x₁/2²)+3x₁²/4) из этого равенства следует, если x₂ — x₁ > 0 то y₂ -y₁> 0 или по другому x₂ > x₁⇒ y₂> y₁ (а это определение возрастающей функции) .

Основные сведения о монотонности функции

Монотонной функцией называют функцию единственной переменной, определенную на неком подмножестве действительных чисел, которая не убывает или не возрастает на всей области определения.

Монотонная функция определяется, как функция f, приращение которой Δ f = f ( x ‘ ) — f ( x ) при условии, что Δ x = ( x ‘ — x ) > 0 , сохраняет знак без изменений, то есть обладает постоянно неотрицательным (положительным или равным нулю), либо постоянно неположительным (отрицательным или равным нулю) значением.

Строго монотонная функция представляет собой такую монотонную функцию, приращение которой Δ f при нахождении отлично от нуля.

Возрастающей является функция при условии, что большему значению аргумента соответствует большее, значение функции.

Убывающей называют функцию при условии, что большему значению аргумента соответствует меньшее, значение функции.

Предположим, что имеется некая функция f:

1. Функция f возрастает на М при условии, что ∀ x , y ∈ M , x > y ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) .
2. Функция f строго возрастает на М при условии, что ∀ x , y ∈ M , x > y ⇒ f ( x ) > f ( y ) .
3. Функция f убывает на М при условии, что ∀ x , y ∈ M , x > y ⇒ f ( x ) ≤ f ( y ) .
4. Функция f строго убывает на М при условии, что ∀ x , y ∈ M , x > y ⇒ f ( x ) < f ( y ) .

Заметим, что при (строгом) возрастании или убывании функции, она является (строго) монотонной, согласно формулировке термина, рассмотренной ранее. Рассмотрим в качестве доказательства, как на графике выглядят функции разного вида.

Данная функция монотонно возрастающая. Заметим, что график строго возрастает в левой и правой частях, в центральной области функция не убывает:

Изобразим функцию, которая является монотонно убывающей:

Представим в качестве примера функцию, которая не является монотонной:

В некоторых случаях, рассматривая возрастающую или убывающую функцию, подразумевают, что функция строго возрастает или убывает. Таким образом, нестрого возрастающую (убывающую) функцию обозначают, как неубывающую (невозрастающую):

1. Функция f ( x ) возрастает на конкретном промежутке в том случае, когда выполняется условие для неких двух точек x 1 и x 2 рассматриваемого интервала, таких что x 1 < x 2 , которое заключается в следующем: f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . Таким образом, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
2. Функция f ( x ) убывает на определенном промежутке, когда выполняется условие для каких-то двух точек x 1 и x 2 рассматриваемого интервала, таких что x 1 < x 2 , при котором справедливо следующее соотношение: f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . Таким образом, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
3. Функция f ( x ) является неубывающей на каком-то интервале в том случае, когда для некой пары точек x 1 и x 2 рассматриваемого интервала, таких что x 1 < x 2 , верно следующее: f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) .
4. Функция f ( x ) является невозрастающей на каком-то интервале при выполнении условия для пары точек x 1 и x 2 , соотносящихся, как x 1 < x 2 , которое выражается в следующем: f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) .

Заметим, что возрастающие и убывающие функции являются строго монотонными. В том случае, когда рассматривают неубывающие и невозрастающие функции, такие функции называют монотонными. С использованием данных понятий можно встретиться во многих учебниках, а также при решении задач на уроках математики в 10 классе.

Понятие функции. Область определения и значения

В математике функцией называют соответствие между элементами, входящими в состав пары множеств, то есть правило, исходя из которого, каждый элемент первого множества соответствует единственному элементу из второго множества.

По определению функции можно сделать вывод о наличии правила, с помощью которого одна величина полностью определяет значение, характерное для второй величины. Например, значение переменной х однозначно определяет значение для выражения x 2 .

Функцию можно построить на графике. Изобразим для примера на координатной плоскости функцию

Область определения функции (область задания функции) y = f x — это множество таких значений x, для которых имеются значения y = f x .

Обозначают область с периодичностью, на которой определена функция, таким образом:

Правила вычисления области определения функций:

1. При записи f x в виде многочлена область определения функции y = f x соответствует всем числам из множества действительных.
2. Когда f x является рациональной дробью, она определена числами из множества действительных, за исключением таких E, которые обращают знаменатель в ноль.
3. В том случае, когда функция записана как y = f x , область ее определения соответствует множеству решений неравенства f x ≥ 0 .
4. Если функция обладает таким видом, как y = g x f x , где g x является каким-то многочленом, ее область определения совпадает с множеством решений неравенства f x > 0 .
5. Область определения суммы, разности, произведения пары или более функций соответствует пересечению областей определений рассматриваемых функций. Вычисление этой области заключается в составлении и последующем решении системы соответствующих условий.
6. Областью определения логарифмической функции y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) является интервал 0 ; + ∞ .

В качестве примера постараемся вычислить по порядку область определения таких функций, как:

y 1 = x 2 + 2 — 3 x — 5

y 2 = x 2 — 3 x + 2

y 3 = 2 x — 7 3 x + 21

Заметим, что первую функцию можно записать, как разность пары функций:

y 1 = x 2 + 2 — 3 x — 5

В первом случае записан многочлен, определяемый на множестве всех действительных чисел. Во втором случае выражение является дробно-рациональном и не может иметь нулевой знаменатель:

x ∈ R , x ≠ 5 , ⇒ D y 1 : x ∈ — ∞ , 5 ∪ 5 , + ∞

Приступим к поиску области определения для второй функции из задания:

y 2 = x 2 — 3 x + 2

Методом интервалов определим D для второй функции:

D y 2 : x ∈ — ∞ , 1 ∪ 2 , + ∞

Рассмотрим третью функцию из условия задачи:

y 3 = 2 x — 7 3 x + 21

3 x + 21 ≥ 0 , 3 x + 21 ≠ 0 , ⇒ 3 x + 21 > 0 ⇒ 3 x > — 21 ⇒ x > — 7

Запишем краткое решение для вычисления области определения следующих функций:

y 1 = 3 2 x — 5 — 1

y 2 = — log 2 x + 1

y 3 = log x x — 0 , 5

В первом случае:

y 1 = 3 2 x — 5 — 1

Здесь целесообразно решить неравенство:

3 2 x — 5 — 1 > 0 ⇒ 3 2 x — 5 > 1 ⇒ 3 2 x — 5 > 3 0

Зная, что основание степени 3 > 1 , получим:

2 x — 5 > 0 ⇒ 2 x > 5 ⇒ x > 2 , 5

Разберем вторую функцию:

y 2 = — log 2 x + 1

Здесь исключено наличие минуса в выражении под знаком корня. Функция под знаком логарифма обладает только положительными значениями. Тогда:

— log 2 x + 1 ≥ 0 , x > 0 .

— log 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ log 2 x ≤ 1

Вспомним определение логарифма и запишем:

x ≤ 2 , x > 0 , ⇒ 0 < x ≤ 2

y 3 = log x x — 0 , 5

Исходя из определения логарифмической функции, запишем:

x > 0 , x ≠ 1 , x — 0 , 5 > 0 , ⇒ x > 0 , x ≠ 1 , x > 0 , 5 ; ⇒ x ≠ 1 , x > 0 , 5 ; ⇒ 0 , 5 ; 1 ∪ 1 ; + ∞

D y 3 : x ∈ 0 , 5 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Область значений (область изменения) функции y = f ( x ) — это множество значений, которые способна принимать зависимая переменная y.

Принято обозначать область значения функции таким образом:

Рассмотрим, какие области значений характерны для элементарных функций:

1. Линейная функция в виде y=kx+b имеет область значений E y : y ∈ R .
2. Обратная пропорциональность, или функции в виде формулы y = k x , k ≠ 0 , обладает следующей областью значений: E y : y ∈ — ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ .
3. Значение y o = y x o = — D 4 a , где D = b 2 — 4 a c — дискриминант, обозначает ординату вершины параболы, которая записана с помощью уравнения y = a x 2 + b x + c a ≠ 0 . В действительности абсциссу вершины параболы определяют таким образом: x 0 = — b 2 a . В таком случае, y x o = a · — b 2 a 2 + b · — b 2 a + c = a b 2 4 a 2 — b 2 2 a + c = b 2 — 2 b 2 + 4 a c 4 a = — D 4 a . В результате для квадратичной функции y = a x 2 + b x + c : при a < 0 ветви параболы смотрят вниз, а значение y o обладает наибольшим значением функции, то есть E y : y ∈ — ∞ , y o . При a > 0 ветви параболы смотрят вверх, а значение y o меньшее из значений функции, то есть E y : y ∈ y o , + ∞ .
4. Область значений логарифмической функции y = log a x соответствует E y : y ∈ R .
5. Область значений в случае показательной функции y = a x a > 0 равна E y : y ∈ 0 , + ∞ .
6. Если рассматривают тригонометрические функции y = sin x ; y = cos x , то область значений E y : y ∈ — 1 , 1 , для y = tg x ; y = ctg x область значений соответствует всем числам из множества действительных.

Когда предстоит исследовать тригонометрические функции, можно вспомнить следующую формулу:

a · cos x + b · sin x = a 2 + b 2 · cos x — α .

Исходя из записанного соотношения, область значений функции y = a cos x + b sin x соответствует промежутку E y : y ∈ — a 2 + b 2 , a 2 + b 2 .

Дано несколько функций, область значений которых требуется определить:

y 1 = — x 2 + 4 x — 3

y 2 = x 2 + 2 x — 5

Начнем с первой функции:

y 1 = — x 2 + 4 x — 3

На графике функцию изображают в виде параболы. Определим, чему соответствует абсцисса ее вершины:

x 2 = — b 2 a = — 4 2 · — 1 = 2

y o = y 1 x o = y 2 = — 2 2 + 4 · 2 — 3 = — 4 + 8 — 3 = 1

Исходя из того, что a = — 1 < 0 :

Рассмотрим вторую функцию:

y 2 = x 2 + 2 x — 5

y o = — b 2 — 4 a c 4 a = — 2 2 — 4 · 1 · — 5 4 · 1 = — 4 + 20 4 = — 6

Дано несколько тригонометрических функций, область значения которых требуется вычислить:

y 1 = 3 cos x — 2

y 2 = cos x · sin x

y 3 = 3 cos x — 4 sin x

Начнем с первой функции:

y 1 = 3 cos x — 2

E cos x : y ∈ — 1 , 1

Умножим обе части на число 3:

Отнимем число 2:

— 3 — 2 ≤ 3 cos x — 2 ≤ 3 — 2 ⇒ — 5 ≤ 3 cos x — 2 ≤ 1

E y 1 : y ∈ — 5 , 1 .

Перейдем ко второй функции:

y 2 = cos x · sin x

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

2 cos x · sin x = sin 2 x ⇒ cos x · sin x = sin 2 x 2

y 2 = 1 2 sin 2 x

E sin 2 x : y ∈ — 1 , 1

E y 2 = E 1 2 sin 2 x : y ∈ — 1 2 , 1 2 .

Рассмотрим третью функцию:

y 3 = 3 cos x — 4 sin x

a · cos x + b · sin x = a 2 + b 2 · cos x — α

3 cos x — 4 sin x = 3 2 + — 4 2 · cos x — α = 9 + 16 · cos x — α = 5 cos x — α .

E y 3 : y ∈ — 5 , 5 .

Связь производной и монотонности функции

Предположим, что областью определения и дифференцирования функции f x является промежуток a ; b . Рассмотрим достаточные и необходимые условия для монотонности функции:

• функция возрастает на промежутке a ; b когда только f ‘ x > 0 для всех x ∈ a , b ;
• функция убывает, когда только f ‘ x < 0 для всех x ∈ a , b .

Алгоритм исследования некой функции f x на свойство монотонности:

• определение производной заданной функции f ‘ x ;
• вычисление критических точек функции в виде решения уравнения f ‘ x = 0 ;
• выявление знаков для производной на каждом из промежутков, на которые критические точки делят область определения функции;
• исходя из достаточного условия монотонности функции, требуется найти промежутки, где функция возрастает и убывает.

Рассмотрим признак, исходя из которого определяют монотонность функции с производной на интервале. Предположим, что функция f ∈ C ( ( a , b ) ) не прерывается на (a,b) и обладает в любой из точек x ∈ ( a , b ) производной f ‘ ( x ) . В таком случае:

• f неубывающая на (a,b) при условии, что ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) ≥ 0 ;
• f невозрастающая на (a,b) при условии, что ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) ≤ 0 .

Считать функции строго монотонной можно при выполнении одного условия, которое является достаточным. Представим, что имеется функция f ∈ C ( ( a , b ) ) , которая не прерывается на (a,b) и обладает в любой из точек x ∈ ( a , b ) производной f'(x). В таком случае:

• при ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) > 0 функция f является строго возрастающей на (a,b);
• при ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) < 0 ,функция f является строго убывающей на (a,b).

Обратные утверждения, вытекающие из теоремы, являются некорректными. Производная функции, которая является строго монотонной, может принимать нулевые значения. С другой стороны, множество точек, где производная отлична от нуля, должно быть плотно на интервале (a,b).

Таким образом, можно сформулировать условие для проверки строгой монотонности функции с производной на определенном интервале. Предположим, что f ∈ C ( ( a , b ) ) , и везде на интервале определена производная f ‘ ( x ) . В таком случае функция f является строго возрастающей на интервале (a,b) лишь при выполнении пары условий:

• ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) ≥ 0 ;
• ∀ ( c , d ) ⊂ ( a , b ) ∃ x ∈ ( c , d ) f ‘ ( x ) > 0 .

Аналогичным образом можно заключить, что функция f является строго убывающей на интервале (a,b) лишь при реализации пары условий:

• ∀ x ∈ ( a , b ) f ‘ ( x ) ≤ 0 ;
• f o r a l l ( c , d ) ⊂ ( a , b ) ∃ x ∈ ( c , d ) f ‘ ( x ) < 0 .

Приведем несколько примеров определения характера монотонности функции, чтобы углубить свои познания в данной теме.

Функция f ( x ) = x 3 является строго возрастающей везде в пределах числовой оси. При этом точку x = 0 называют стационарной, то есть в рассматриваемой точке f ‘ ( x ) = 0 .

Функция f ( x ) = sin x строго возрастает на открытом и закрытом интервалах:

• ( — π / 2 ; π / 2 ) ;
• [ — π / 2 ; π / 2 ] .

Экспонента f ( x ) = e x является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Константа f ( x ) ≡ a , a ∈ ℝ в одно и то же время является невозрастающей и неубывающей везде на числовой оси.

Примеры исследования функции на монотонность

Имеется некая функция:

y = x 7 + 3 x 5 + 2 x — 1

Требуется узнать, как определяется монотонность данной функции.

y ‘ = 7 x 6 + 15 x 4 + 2

Далее выполним сравнение с нулем. Производная в рамках области, где она определена, имеет положительные значения. Можно сделать вывод о том, что начальная функция является возрастающей на интервале:

Ответ: функция возрастает везде на интервале ( — ∞ ; + ∞ ) .

Существует некая функция, монотонность которой требуется определить:

y = x 3 — 4 x 2 — 16 x + 17

В рамках исследования монотонности функции определим ее производную:

y ‘ = 3 x 2 — 8 x — 16

Выполним сравнение с нулем. Допустим, что производная равна нулю. Найдем корни квадратного уравнения:

3 x 2 — 8 x — 16 = 0

D = 64 — 4 · 3 · ( — 16 ) = 64 + 192 = 256

x 1 = 8 + 16 6 = 4

x 2 = 8 — 16 6 = — 4 3

Заметим, что ветви параболы обращены вверх. Тогда можно наблюдать возрастание начальной функции на данных интервалах:

Это связано с положительным значением производной функции.

Начальная функция является убывающей с отрицательной производной на следующем интервале:

Ответ: функция возрастает на интервалах ( — ∞ ; — 4 3 ) , ( 4 ; + ∞ ) , функция убывает на интервале ( — 4 3 ; 4 ) .

Определить, на каких промежутках является монотонной следующая функция:

f x = 3 + 9 x 2 — x 3

Областью определения записанной функции является вся числовая ось. Вычислим производную начальной функции:

f ‘ x = 18 x — 3 x 2

Определим критические точки:

18 x — 3 x 2 = 0 ⇔ 3 x 6 — x = 0 ⇔ x 1 = 0 ; x 2 = 6

С помощью данных точек область определения функции разделена на 3 интервала. Исходя из того, что на интервалах — ∞ ; 0 и 6 ; + ∞ производная имеет знак минуса, функция на данных интервалах убывает. Соответственно, на интервале с положительным значением производной 0 ; 6 функция возрастает.

Ответ: функция f x = 3 + 9 x 2 — x 3 возрастает на промежутке 0 ; 6 и убывает на промежутках — ∞ ; 0 , 6 ; + ∞ .

Нужно определить, на каких промежутках данная функция убывает и возрастает.

Запишем область, в которой определена функция:

D y : x ∈ — ∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ . — ∞ ; — 1 , 1 ; + ∞ .

y ‘ = 2 x · x — 1 · x 2 + 1 x = x 2 — 1 x .

Сравним производную с нулем, чтобы решить последнее уравнение:

x 2 — 1 x = 0 ⇔ x + 1 x — 1 x = 0 ⇔ x ≠ 0 ; x 1 = — 1 ; x 2 = 1 .

Интервалы, на которых производная имеет отрицательные значения:

Интервалы, на которых производная имеет положительные значения:

Исходя из полученных данных, исследуем монотонность функции. Функция y = x 2 + 1 x возрастает на промежутках — 1 ; 0 , 1 ; + ∞ и убывает на промежутках — ∞ ; — 1 , 1 ; + ∞ .

Ответ: функция y = x 2 + 1 x возрастает на промежутках — 1 ; 0 , 1 ; + ∞ и убывает на промежутках

Как доказать что функция является убывающей

В настоящее время существует противоречие между потребностью старшеклассников к проявлению творчества, активности, самостоятельности, самореализации и ограниченностью времени для этого на уроках математики. Начиная с 2006 года я использую учебники «Алгебра 7, 8, 9» с углубленным изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова для учащихся математических классов с целью совершения осознанного выбора учащимися профиля обучения, предоставления ученикам возможности работы на уровне повышенных математических требований, развития их учебной мотивации.
Как включить учеников в самостоятельную исследовательскую деятельность, чтобы они сами «открывали» новые свойства и отношения, а не получали их от учителя в готовом виде? Многолетний опыт работы и желание изменить в себе традиционные представления об обучении подтолкнули меня к применению исследовательской деятельности на своих уроках математики. Конечно, изменение метода работы, структуры урока и принятия на себя функции организатора процесса познания, функции обеспечивающего системное включение каждого ученика, независимо от интеллектуального уровня, в основные виды деятельности, потребовало от меня определенных знаний и готовности к саморазвитию.
Я думаю, что включение учащегося в деятельность влияет и на глубину и прочность усвоения ими знаний, и на формирование у него системы ценностей, то есть самовоспитание. Наличие у учеников способностей к саморазвитию и самовоспитанию позволит им успешно адаптироваться к постоянно изменяющимся внешним условиям, не вступая при этом в конфликт с обществом.

Тема раздела: «Свойства функций».

Тема урока: «Возрастание и убывание функций».

Тип урока: урок изучения и первичного применения нового материала.

Основные цели:

• Способствовать формированию у учащихся нового понятия монотонной функции;
• Воспитывать положительное отношение к знаниям, умение работать в парах;
• Способствовать развитию аналитического мышления, умений частично-поисковой познавательной деятельности.

I. Актуализация опорных знаний

– Дайте определение функции.
– Какой формулой задаются функции, графики которых изображены на чертеже. (Приложение 2)

II. Формирование новых знаний

На рисунке 1 (Рисунок 1, Приложение 1) изображен график некоторой функции у = f (х), область определения которой – промежуток [–5; 4].
При возрастании значений X от –5 до 1 значения Y возрастают, а при возрастании значений X от 1 до 4 значения Y убывают. Говорят, что функция у = f (х) на промежутке [–5; 1] возрастает, а на промежутке [1; 4] – убывает.

Эталоны: (Приложение 3)

• Функция f(х) называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ >х₁, выполняется неравенство f(х₂) >f(х₁).
• Функция (х) называется убывающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₂ >х₁, выполняется неравенство f(х₂) 0. Поэтому D(f) = [0; +).
  Пусть х₂ >х₁> 0. Рассмотрим разность f(х₂) – f(х₁) и преобразуем ее:

III. Работа в парах (карточки с элементами частично – поисковой деятельности):

• Выяснить характер монотонности линейной функции f(х) = k x + b, при k > 0 и k n , при четном n.
• Выяснить характер монотонности степенной функции f(х) = х n , при нечетном n.
• Выяснить характер монотонности обратной пропорциональности f(х) = при k > 0 и k 0 является возрастающей, а при k n с натуральным показателем n при четном n возрастает на промежутке [0; + ) и убывает на промежутке (– ; 0]. При нечетном n функция f(х) = х n возрастает на всей области определения, то есть на промежутке (– ; +). (Приложение 7)
  Обратная пропорциональность, то есть функция f(х) = в каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ) при k > 0 убывает, а при k 3 – + = 0.

Легко видеть, что х = 1 – корень уравнения. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Действительно, область определения функции у = х 3 – + – множество положительных чисел. На этом множестве функция возрастает, так как каждая из функций у = х 3 , у = – и у = на промежутке (0; +) возрастает. Следовательно, данное уравнение других корней, кроме х = 1, не имеет.

Задания для работы в парах: (Приложение 12)
Определите характер монотонности функции:

1. у = –
2. у = –
3. у = +
4. у = +

Работая в парах учащиеся проговаривают друг другу какие свойства монотонных функций использовали. (Приложение 13)
Решите уравнение: х 5 + х 3 + х = – 42.
Решите систему уравнений:

V. Итог урока

Контрольные вопросы: (Приложение 14)

• Сформулируйте определение возрастающей и убывающей функций на множестве Х.
• Какая функция называется монотонной на множестве Х?
• Приведите примеры возрастающей и убывающей функций.

VI. Домашнее задание (Приложение 15)

1. Докажите, что функция g(х) является убывающей функцией:

2. Докажите, что функция f(х) является возрастающей функцией:

3. Решите уравнение: х 2 + – = 15.

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале — π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид — π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

• когда f ‘ ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 — ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
• когда f ‘ ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 — ε ; x 0 ) и f ‘ ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

• когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на — , значит, точка называется максимумом;
• когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с — на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

• найти область определения;
• найти производную функции на этой области;
• определить нули и точки, где функция не существует;
• определение знака производной на интервалах;
• выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x — 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ‘ = 2 x + 1 2 x — 2 ‘ = 2 · x + 1 2 ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · ( x — 2 ) ‘ ( x — 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ‘ · ( x — 2 ) — ( x + 1 ) 2 · 1 ( x — 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x — 2 ) — ( x + 2 ) 2 ( x — 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = — 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = — 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ‘ ( — 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x — 5 ) ( x — 2 ) 2 x = — 2 = 2 · ( — 2 + 1 ) · ( — 2 — 5 ) ( — 2 — 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал — ∞ ; — 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ‘ ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 — 5 0 — 2 2 = 2 · — 5 4 = — 5 2 0 y ‘ ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 — 5 ) ( 3 — 2 ) 2 = 2 · — 8 1 = — 16 0 y ‘ ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 — 5 ) ( 6 — 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = — 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на — . По первому признаку имеем, что х = — 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( — 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = — 1 = 2 · ( — 1 + 1 ) 2 — 1 — 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x — 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 — 2 = 24

Ответ: y m a x = y ( — 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x — 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

— 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 , x 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ‘ = 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 ‘ , x 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 ‘ , x > 0 y ‘ = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ‘ x → 0 — 0 = lim y x → 0 — 0 — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 = — 1 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 4 · ( 0 — 0 ) — 22 3 = — 22 3 lim y ‘ x → 0 + 0 = lim y x → 0 — 0 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 — 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 — 0 = lim x → 0 — 0 — 1 6 x 3 — 2 x 2 — 22 3 x — 8 = = — 1 6 · ( 0 — 0 ) 3 — 2 · ( 0 — 0 ) 2 — 22 3 · ( 0 — 0 ) — 8 = — 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 — 0 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 — 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) — 8 = — 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 x 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 — 2 · 0 2 + 22 3 · 0 — 8 = — 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

— 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 , x 0 D = ( — 4 ) 2 — 4 · — 1 2 · — 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · — 1 2 = — 4 — 2 3 3 0 x 2 = 4 — 4 3 2 · — 1 2 = — 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 — 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( — 4 ) 2 — 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 — 4 3 2 · 1 2 = 4 — 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = — 6 , x = — 4 , x = — 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ‘ ( — 6 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 6 = — 1 2 · — 6 2 — 4 · ( — 6 ) — 22 3 = — 4 3 0 y ‘ ( — 4 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 4 = — 1 2 · ( — 4 ) 2 — 4 · ( — 4 ) — 22 3 = 2 3 > 0 y ‘ ( — 1 ) = — 1 2 x 2 — 4 x — 22 3 x = — 1 = — 1 2 · ( — 1 ) 2 — 4 · ( — 1 ) — 22 3 = 23 6 0 y ‘ ( 1 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 — 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ‘ ( 4 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 — 4 · 4 + 22 3 = — 2 3 0 y ‘ ( 6 ) = 1 2 x 2 — 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 — 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = — 4 — 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = — 4 + 2 3 3 , x = 4 — 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 0 = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 + 2 3 3 = — 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 1 6 x 3 — 2 2 + 22 3 x — 8 x = 4 — 2 3 3 = 8 27 3

y m i n = y — 4 — 2 3 3 = — 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = — 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = — 8 27 3 y m a x = y — 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 — 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ‘ ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f » ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f » ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ — 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ‘ = 8 x x + 1 ‘ = 8 · x ‘ · ( x + 1 ) — x · ( x + 1 ) ‘ ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) — x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 — 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y » = 4 · — x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ‘ = = 4 · ( — x + 1 ) ‘ · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( — 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x — ( — x + 1 ) · x + 1 2 ‘ · x + ( x + 1 ) 2 · x ‘ ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ‘ x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = — ( x + 1 ) 2 x — ( — x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 — 6 x — 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y » ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 — 6 · 1 — 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · — 4 8 = — 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ‘ ( x 0 ) = f » ( x 0 ) = f ‘ ‘ ‘ ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x — 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ‘ = 1 16 x + 1 3 ‘ ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x — 3 4 ‘ = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x — 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 3 x — 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = — 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y » = 1 16 x + 1 2 ( x — 3 ) 3 ( 7 x — 5 ) ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) y » ( — 1 ) = 0 y » 5 7 = — 36864 2401 0 y » ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = — 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ‘ ‘ ‘ = 1 8 ( x + 1 ) ( x — 3 ) 2 ( 21 x 2 — 30 x — 3 ) ‘ = = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) y ‘ ‘ ‘ ( — 1 ) = 96 ≠ 0 y ‘ ‘ ‘ ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = — 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( — 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x — 3 ) ( 105 x 3 — 225 x 2 — 45 x + 93 ) ‘ = = 1 2 ( 105 x 3 — 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 — точкой минимума заданной функции.

При исследовании заданной функции особое внимание уделяется характеру ее поведения: возрастает, не возрастает, убывает, не убывает.

Монотонная функция — это функция, которая меняется в одном и том же направлении.

Примеры монотонных функций приведены на рисунках:

Рисунок 1. Возрастающая функция

Рисунок 2. Убывающая функция

Монотонные функции делят на:

• убывающие функции;
• возрастающие функции.

Функция является возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции тоже возрастают, то заданная функция возрастает.

Математическая запись определения 2: $f(x):uparrow x_

Функция является убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее значение заданной функции. Другими словами, если при возрастании значений аргумента значения заданной функции убывают, то заданная функция убывает.

Математическая запись определения 3: $f(x):downarrow x_ <1>f(x_<2>)$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определить характер функции $y=x^ <3>+1$ на отрезке $[0;2]$

Следовательно, заданная функция возрастает на заданном отрезке $[0;2]$.

Определить характер функции $y=frac<1> $ на отрезке $[1;2]$

Следовательно, заданная функция убывает на заданном отрезке $[1;2]$.

Функция является не возрастающей, если для большего значения аргумента соответствует большее или равное значение заданной функции.

Математическая запись определения 4: $f(x): x_

Функция является не убывающей, если для большего значения аргумента соответствует меньшее или равное значение заданной функции.

Математическая запись определения 5: $f(x):x_

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Постоянная функция — это функция, которая не возрастает и не убывает.

Математическая запись определения 6: $f(x):x_

Определить характер функции $y=5$ на отрезке $[0;2]$

Следовательно, заданная функция постоянна на заданном отрезке $[0;2]$.

Не возрастающая, не убывающая и постоянная функции не являются монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

• сумма двух и более возрастающих функций есть возрастающая функция;
• произведение неотрицательных возрастающих функций является возрастающей функцией;
• если возрастающая функция $f(x)$ сохраняет свой знак, то обратная функция $1/f(x)$ является убывающей;
• если возрастающая функция $f(x)$ неотрицательна, то функция $f^ (x)$ также является возрастающей (n — натуральное число);
• для возрастающей функции $f(x)$ и константы $c$ имеем, что функции $cf(x)$, где $c>0$, и $f(x)+c$ возрастают, а функция $cf(x)$, где $c
• Композиция двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Между монотонностью заданной функции и ее производной существует определенная связь, которая описывается следующими теоремами:

Если производная $f'(x)$ заданной функции положительная на некотором промежутке, то данная функция возрастает на рассматриваемом промежутке.

Если производная $f'(x)$ заданной функции отрицательна на некотором промежутке, то данная функция убывает на рассматриваемом промежутке.

Сформулируем обратные теоремы.

Теорема, обратная к теореме 1.

Если заданная функция является возрастающей на некотором промежутке, то производная данной функции неотрицательна или не существует.

Теорема, обратная к теореме 2.

Если заданная функция является убывающей на некотором промежутке, то производная данной функции неположительная или не существует.

Для постоянной функции имеет место следующая теорема:

Функция $y=f(x)$ является постоянной на некотором промежутке, если ее производная равна нулю для всех точек из этого промежутка.

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание включает следующие этапы:

• нахождение производной заданной функции;
• нахождение стационарных и критических точек ($f'(x)=0$ или не существует);
• определение знака производной на каждом промежутке;
• определение характера поведения функции на каждом промежутке.

Определить характер функции $y=frac $ на интервале $(-infty ;+infty )$

1. Производная функции: $y’=left(frac
   ight)’=frac<1cdot (x-2)-xcdot 1><(x-2)^<2>> =frac<(x-2)^<2>> =-frac<2><(x-2)^<2>> $
2. Производная неопределенна при $x=2$. Стационарных точек нет.
3. Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.

Следовательно, заданная функция убывает на всей области определения

Определить характер функции $y=x^ <3>-12x$ на интервале $(-infty ;+infty )$

1. Производная функции: $y’=left(x^ <3>-12x
   ight)’=3x^ <2>-12$
2. Производная определенна на всем интервале. [y’=0;, , , 3x^ <2>-12=0Rightarrow 3x^ <2>=12 o x^ <2>=4Rightarrow x=pm 2]

$x=pm 2$ — стационарные точки

1. Исследуем знак производной с помощью числовой прямой.

1. Определим характер поведения функции.

Следовательно, заданная функция убывает на $[-2;2]$, возрастает на $(-infty ;-2]$ и $[2;+infty )$.