Что такое дельта функция

3.1.1.Дельта-функция и её свойства

Для описания дискретных функций широко используется класс импульсных функций, основанный на использовании дельта-функции и её производных. С точки зрения определений, вводимых в математическом анализе, дельта-функции собственно функциями не являются. Это особый класс обобщенных функций и для них разработаны специальные операции. Но для практических приложений в теории автоматического управления важны только интегральные свойства этих функций и в этой области к нимформальноприменимы обычные операции.

Дельта-функция – это функция, равная нулю для всех моментов времени, кроме момента, обращающего в нуль выражение в её круглых скобках (в рассматриваемом случае – приt= 0).Основное свойствоеё заключаетсяв равенстве единице площади, заключенной между этой функцией и осью времени 0t. Следовательно, равен единице интеграл от неё, распространенный на сколь угодно малый отрезок времени существования функции

(3.1)

Для того чтобы выполнить условие (3.1) на бесконечно малом интервале времени, амплитуда дельта-функции при t= 0 должна быть бесконечно большой. Несмотря на это противоречиедельтафункция служит хорошей математическоймоделью идеального бесконечно короткого импульсас единичной амплитудой.

К другим свойствам дельта-функции относятся:

часто встречающееся требование, чтобы эта функция была четной

(3.2)

для любой функции φ(t) и любого числаt₀,a <t₀<b,

(3.3)

Это условие может рассматриваться как реализация фильтрующего свойства дельта-функции;

для любой дифференцируемой nраз функции φ(t) справедливо соотношение

(3.4)

единичная функция 1(t) есть интеграл от дельта-функции

(3.5)

Следовательно, дельта-функция есть производная от единичной функции (единичного скачка)

. (3.6)

3.1.2. Дискретное преобразование Лапласа

Дискретным называется преобразование Лапласа от дискретной функции , заданной рядом её выборочных значенийили, если дискретная функция образуется на основе непрерывной функцииx(t), в видеидеальной решетчатой функции

. (3.7)

Таким образом, идеальная решетчатая функция – это последовательность дельта-функций, моделируемых выборочными значениями

Используются следующие обозначения:

,, (3.8)

где– оператор преобразования Лапласа;

– оператор дискретного преобразования Лапласа;

– операторZ-преобразования;

– изображения дискретной функции.

Преобразование Лапласа часто используемых дискретных функций

Изображение дельта-функции

Применив теорему о среднем (или учитывая свойство (3.3)) и соотношение (3.1), получим

. (3.9)

Изображение дельта-функции ,смещенной наi тактов, т.е. существующей для момента времени:

После замены переменной с учетом соотношений (3.3) и (3.9) имеем

(3.10)

или, используя введенное ранее обозначение , получимZ-изображение дельта-функции, смещенной наi тактов:

,. (3.11)

Изображение идеальной решетчатой функции:

Таким образом, с учетом обозначений (3.8) и (3.11) имеем

, (3.12)

. (3.13)

Изображение дискретного единичного скачка :

Дискретный единичный скачок – это частный случай для идеальной решетчатой функции, когда все выборочные значения равны единице (рис. 3.1). Следовательно, в соответствии с выражением (3.13) его изображение представляется в виде ряда

При выполнении условия этот ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Начальный член еёb₀= 1, знаменательq = z — 1 . Искомое изображение есть суммачленов этой прогрессии

. (3.14)

Изображение дискретной показательной функции:

. (3.15)

Согласно выражению (3.12) изображение функции имеет вид. Изображениесуществует, если полученный ряд сходится. После введения обозначенияи перехода кZ-изображению вычисляется сумма ряда (b₀= 1,q = d z – 1 )

. (3.16)

Изображение дискретной показательной функции с комплексным показателем

Пусть показатель – aв выражении (3.15) является комплексным.

Тогда функция x(t) и коэффициентdв выражении (3.16) представляются в виде

Подставляя полученное выражение для коэффициента dв формулу (3.16) после некоторых преобразований получим

. (3.17)

В приложении представлена таблица преобразований Лапласа и Z-преобразований наиболее часто встречающихся функций.

Функция Дирака

δ -функция (или дельта-функция, δ -функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

$\mathbb R^n$

Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ -функции в виде δ(x − a) . Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ -функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

δ -функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящуюся к δ -функции.

Введена английским физиком Дираком.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Содержание

Определение

$\mathbb R^n$

δ -функция с областью определения определяется формальным соотношением

$(\delta;f)=\int\limits_<\mathbb R^n>\delta(\vec<x>-\vec)f(\vec<x>)\,d^n x = f(\vec)» width=»» height=»» /> для любой непрерывной функции <img decoding=$ ;

$\ \int\limits_<-\infty>^ <\infty>\delta(x)\, dx = 1″ width=»» height=»» />.</li> </ul> <ul> <li>аналогичные свойства верны и для дельта-функций, определённых на <img decoding=$

Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида ( − a₁,a₂) , где a₁ и a₂ — произвольные действительные положительные числа, равен 1.

$x\delta^\prime(x)=-\delta(x)$

$\delta(f(x)) = \sum_k \frac<\delta(x - x_k)><|f$ , где x_k — нули функции f(x) .

Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

δ-функция как слабый предел

Пусть $\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>f(x)\,dx = 1.» width=»» height=»» /> <img decoding=$

График функции $\scriptstyle<\sin x/x>» width=»» height=»» /> Часто, в качестве <img decoding=$

$\int\limits_<-\infty>^ \infty \frac<\sin<t>><t>\,dt = \pi.» width=»» height=»» /> (3) В силу (3) для любого N справедливо равенство: <img decoding=$

Для производной дельта-функции также верны следующие тождества:

$\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x);$ $\int\limits_<-1>^<1>\delta\left(\frac<1><x>\right)\,dx=0.» width=»» height=»» /> <h3>Преобразование Фурье</h3> <ul> <li>В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду <img decoding=$ ; $\delta^n (x_1, x_2, \ldots, x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n)$ .

В двумерном пространстве:

$\iint\limits_<-\infty>^<+\infty>\delta^<2>(x,y)\,dxdy=1″ width=»» height=»» />; <img decoding=$ ; при r = 0 доопределяется нулем.

В трехмерном пространстве:

$\iiint\limits_<-\infty>^<+\infty>\delta^<3>(x,y,z)\,dxdydz=1″ width=»» height=»» />; δ 3 (x,y,z) = δ(x)δ(y)δ(z) ; <img decoding=$ ; при r = 0 доопределяется нулем.

$\delta^<3>(r,\theta,\varphi)=\frac<\delta(r)><2\pi r^2>» width=»» height=»» /> — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r = 0 ). <h3>Физическая интерпретация</h3> Вблизи заряжённой точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример. <h4>Мгновенное ускорение</h4> Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид: <img decoding=$

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

$a(t)=\nu\delta(t-t_a).\$

Масса материальной точки

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) $m = \int \rho_<contin>» width=»» height=»» />, содержащего кроме того точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность: <img decoding=$ ) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтаобразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.

синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.

Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.

Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора L , действующего на обобщённые функции над многообразиемM , уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в точке x₀ , имеет вид

Для лапласиана в $\Bbb<R>^3″ width=»» height=»» />функцией Грина является функция 1 / r , так что</li> </ul> <h2>Дельта-функция</h2> <img decoding=$
Читать:
Как скачать ps фотошоп на русском