Как составить уравнение параболы по двум точкам

Каноническое уравнение параболы

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Число $p$ из уравнения носит название «фокальный параметр».

Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.

Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.

А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.

Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.

При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так: $Ax^2 + B \cdot x \cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы

Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.

Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = \frac

<2>$ и $y = 0$.

Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — \frac

<2>$.

Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:

$FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.

Икс и игрек для этой точки равны $\frac

<2>$ $y$ соответственно.

Запишем уравнение (1) в координатной форме:

Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

После упрощения получаем каноническое уравнение параболы: $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:

Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:

$y_A = — \frac<4a>$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $\frac<1><2>$ фокального параметра $\frac

<2>= 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения

Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.

Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:

Как составить уравнение параболы по двум точкам

Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции :

График параболы, уравнение которой требуется составить

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу $x_B = -\frac<b><2a>» width=»86″ height=»26″ />. Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.</p> <p>Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат <img loading=$ с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: , где $a\ne 0$ . Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции (синяя пунктирная линия на рисунке):

Парабола, уравнение которой требуется найти, в новой системе координат

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на $\frac<1><2>» width=»8″ height=»26″ />всех ординат точек графика функции <img loading=$ . Откуда получаем, что $a=\frac<1><2>» width=»47″ height=»26″ />. Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: <img decoding=$

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:

Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.

Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить y = x 2 ,

умножить ординаты всех точек графика на 2,

сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² — это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Парабола

Параболойназывается геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Рассмотрим канонические уравнения параболы:

у 2 = 2рх– парабола симметрична относительно осиОх, ветви направлены вправо (рис. 11);

2) у 2 = –2рх – парабола симметрична относительно оси Ох, ветви направлены влево (рис. 12);

3) х 2 = 2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вверх (рис. 13);

4) х 2 = –2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вниз (рис. 14).

Во всех случаях вершина параболы, т.е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Фокус параболы обозначается F, расстояние от фокуса до директрисы обозначается р. Величина р называется параметром параболы.

Парабола у 2 = 2рх имеет фокусF и директрисух = –; фокальный радиус-вектор произвольной точкиМ(x; y), равный длине отрезкаFМ, вычисляется по формуле:

r=x + .

Парабола х 2 = 2ру имеет фокусFи директрисуy = –; фокальный радиус-вектор произвольной точкиМ(x; y), равный длине отрезкаFМ, вычисляется по формуле:

r=y + .

Пример 5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (4; 0) до прямой х = 9 равно числу  = . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Пусть М(х;у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикулярМВна прямуюх= 9 (рис. 15). Тогда координаты точкиВбудут иметь значения (9;у). По условию задачи.

Определим АМиВМкак расстояния между двумя точками:

Тогда .

Преобразуем последнее уравнение:

; ;

9х 2 – 72х+ 144 + 9у 2 = 4х 2 – 72х+ 324; 5х 2 + 9у 2 = 180;

;

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

, где а= 6,b= .

Определим фокусы эллипса F₁(–c; 0) иF₂(c; 0). Для эллипса расстояние от начала координат до фокусов определяется по формуле. Тогда.ТочкиF₁(– 4; 0) иF₂(4; 0) – фокусы эллипса (точкиF₂иАсовпадают). Эксцентриситет эллипса=.

Читать:
Как выставить интервал в рамке