7. Иррациональность числа корень квадратный из 2.
Применим доказательство от противного: допустим, 
рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби 
, где 
и 
— целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.
Отсюда следует, что 
чётно, значит, чётно и . Пусть 
, где 
целое. Тогда
Следовательно, 
чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число. Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда
Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.
8. Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел.
Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.
Свойства десятичных дробей.
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные
в конце десятичной дроби:
Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках.
Свойство полноты. Для любых действительных чисел a и b (∀a∈A ∧ ∀b∈B) справедливо одно из трёх: a = b (b = a), a > b (b < a), a < b (b > a)
9. Ограниченные множества; точные границы и их свойства.
Говорят, что множество X ⊂ R ограничено сверху, если существует число c ∈ R такое, что x c для любого x ∈ X. Число c при этом называется верхней границей множества X. Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница множества X. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется
ограниченным.
Рассмотрим произвольное множество 
действительных чисел. Если состоит из конечного числа элементов, то в имеется наименьшее число 
и наибольшее число 
. Однако для бесконечных множеств наибольшие и наименьшие элементы не всегда существуют. Рассмотрим примеры:
; 
Множество 
не имеет наименьшего и наибольшего элементов. Интервал 
тоже не имеет наименьшего и наибольшего элементов (хотя это множество ограничено), так как каково бы ни было число 
, всегда найдутся 
такие, что 
. Множество 
не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент 
. Очевидно, 
, в 
нет наименьшего элемента.
Однако для бесконечных множеств, в которых нет наибольшего элемента, может существовать верхняя граница, которую нельзя уменьшить.
Множество 
называется ограниченным сверху, если существует число 
такое, что для всех 
. Число 
называется верхней границей (мажорантой) множества .
Точной верхней границей множества называется число 
такое, что
1) 
(т.е. 
— одна из верхних границ множества );
2) 
(т.е. границу множества нельзя уменьшить).
Точная верхняя граница множества обозначается 
. Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают 
:
1) 
(т.е. 
— одна из нижних границ множества );
2) 
(т.е. границу множества нельзя увеличить).
Определение Точная верхняя граница множества 
это его наименьшая верхняя граница. Точная верхняя граница обозначается 
Определение Точная нижняя граница множества это его наибольшая нижняя граница Точная нижняя граница обозначается 
10. Теорема существования точной верхней (нижней) границы для ограниченного сверху (снизу) множества.
Если множество 
ограничено сверху (снизу) то существует его точная верхняя (нижняя) граница
Почему корень из 2 иррациональное число
Эта статья была опубликована в журнале OYLA №4(32). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.
Любая наука и теория строится на базовых понятиях, которые обычно интуитивно ясны и принимаются нами без доказательств (мы называем такие понятия аксиомами). Число в математике как раз и есть базовое понятие — это абстракция, используемая для количественного описания объектов. В зависимости от объекта изучения мы представляем числа так, как нам удобно.
Например, если взять число 4, в зависимости от решаемой нами задачи его можно представить как количество неких элементов, например спичек, как отрезок длиной 4 см, как квадрат площадью 4 см², как положение точки на числовой прямой или даже как произведение двух чисел. Также стоит помнить, что запись числа «четыре» как «4» — не более чем форма записи, модель. В троичной системе счисления это число записывается как «11,» римскими цифрами — как «IV» и так далее.
С натуральными числами всё просто, дроби тоже можно представить как вполне осязаемые объекты — части целого. Но есть числа, которые нельзя представить в виде дроби, — иррациональные числа.
Всё началось примерно 37 веков назад — с числа, которое мы теперь называем квадратный корень из двух и обозначаем как √2. С точки зрения алгебры это такое число, которое при возведении в квадрат даёт 2.
Тут следует сделать отступление и рассказать о математике тех времён, а именно о том, что она опиралась в первую очередь на геометрические представления. Свойства чисел и теоремы доказывались геометрическими методами, а величины всегда имели геометрический смысл. Так, например, иррациональные числа появились в математике раньше отрицательных и нуля, которые не имеют под собой элементарной геометрической основы.
Как же это могло выглядеть? Очень просто, многие алгебраические операции можно представить через геометрию. Например, умножение двух чисел — площадь прямоугольника, длины сторон которого имеют длины, соответствующие данным числам; возведение числа в квадрат — нахождение площади квадрата со стороной, равной данному числу. Именно благодаря задаче, связанной с площадью, возникла идея о существовании числа, ранее не изучавшегося математикой.
Рассмотрим простую с точки зрения геометрии задачу. Разобьём квадрат площадью 4 на четыре единичных квадрата и проведём в каждом из них диагональ, как показано на рисунке. Получился ещё один, внутренний квадрат, площадь которого равна половине площади большого квадрата, то есть 2. Эти элементарные рассуждения подвели нас к очень важному факту — существованию квадрата площадью 2. А теперь ответьте: чему равна длина стороны этого квадрата?
Слева: площадь внешнего квадрата равна 4, площадь внутреннего — половине внешнего. Справа: древняя вавилонская табличка.
Если взглянуть на древнюю вавилонскую табличку, которая датируется 1800–1600 годами до н. э., можно увидеть сходство с нашим рисунком! Кроме того, людям, знакомым с вавилонской арифметикой, сразу станет понятно, что зазубрины на этой табличке есть не что иное, как числа, записанные в вавилонской шестидесятеричной системе счисления.
Присмотримся к горизонтальной диагонали таблички. Там расставлены цифры: 1, 24, 51, 10. Учёные разгадали загадку: это очень точное приближение числа √2, записанное в шестидесятеричной системе счисления:
Математика Вавилона
Для нас, привыкших работать в десятичной системе счисления (где для записи любого числа необходимо всего 10 цифр), система из 60 цифр кажется сложной и запутанной.
Но это была одна из первых позиционных систем счисления — такая, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда). Потратив немного времени, вы легко освоите этот счёт, тем более что многие из вас уже давно им пользуются. Мы делим час на 60 минут, минуту — на 60 секунд; в геометрии мы делим окружность на 6 × 60 = 360 частей, чтобы получить единицу измерения угла — 1 градус.
Несмотря на открытие числа √2, мысль, что оно отличается от других типов чисел, пришла лишь спустя 12 веков — пифагорейцам.
Древнегреческий математик Пифагор, живший в VI веке до н. э., создал религиозно-философскую школу и учение, основывающееся в том числе на научном подходе к познанию мира. Уверенность пифагорейцев в божественной сущности чисел превратила арифметику в своего рода численную теологию, а математику сделала средством для изучения «божественного порядка». Пифагорейцы исследовали различные типы чисел, их взаимосвязи, искали числовые закономерности. Неудивительно, что они заложили основы современной теории чисел и символической алгебры.
Пифагор считал, что существует общая единица длины, достаточно малая и неделимая, — так сказать, квант числа. При этом одной из насущных проблем математики тех времён была необходимость сравнивать отрезки. Из предположения Пифагора вытекало, что любые отрезки можно сравнить и это отношение можно представить в виде несократимой дроби. Например, пусть есть два отрезка: AB и CD, а p — тот самый «квант числа».
Но, как бывает в науке, в процессе поиска универсальной закономерности иногда обнаруживается явление, не поддающееся описанию и противоречащее сложившимся воззрениям. Как правило, такие случаи заставляют пересмотреть некоторые теории, что существенно расширяет границы области изучения. Так произошло и с пифагорейским представлением о числе.
Ученик Пифагора, Гиппас из Метапонта, решил применить теорему своего учителя, чтобы вычислить диагональ единичного квадрата. Результат был поразительным: длина диагонали оказалась таким числом, которое невозможно представить в виде отношения натуральных чисел. Оно было несоизмеримо со стороной квадрата, а также с любыми другими числами. Таким образом Гиппас доказал, что число, которое при возведении в квадрат даёт 2 (1² + 1² = 2), не является рациональным (лат. ratio — отношение, деление, дробь), и назвал его иррациональным.
Доказательств иррациональности числа √2 великое множество. Алгебраические доказательства опирались на свойства чётных чисел и разложение на простые множители. Геометрические более разнообразны: тут и построения в прямоугольных треугольниках, и метод площадей.
Знак корня
Привычный нам знак радикала √ ввёл в употребление немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году. Этим странным символом он заменил использовавшуюся ранее латинскую букву r (от лат. radix — корень).
Геометрическое доказательство
Пусть √2=m/n, где m и n — наименьшие возможные числа, не имеющие общих делителей. Тогда 2n² = m², то есть площадь квадрата со стороной m равна сумме площадей двух квадратов со сторонами n.
Если меньшие квадраты поместить в противоположные углы большого квадрата, их пересечение даст нам новый квадрат со стороной m − 2(m − n) = 2n − m. Незакрытые участки квадрата также являются квадратами со стороной m − n. Из равенства площади квадрата со стороной m и суммы квадратов со стороной n мы получаем, что площадь участка плоскости, где квадраты накладываются друг на друга, равна площади незакрытых участков внутри квадрата, то есть (2n − m)² = 2(m − n)². Отсюда следует, что √2 = (2n — m) / m-n . То есть число √2 может быть представлено в виде отношения целых чисел, меньших чем m и n, которые и так являлись наименьшими! Получили противоречие.
Алгебраическое доказательство
Если число √2 может быть выражено в виде дроби, то мы можем записать его в виде отношения натуральных чисел a и b, а именно √2 = a/b причём a и b не имеют общих множителей (то есть дробь несократима). Домножим равенство на b и возведём обе его части в квадрат. Получим 2b² = a². Так как левая часть равенства чётная, то и a² должно делиться на 2, а это возможно только при чётном a. Если a чётное, мы можем представить его как a = 2с.
Но тогда 2b² = 4с², из чего следует, что b² = 2с², а это влечёт за собой чётность числа b. Итак, мы получили, что a и b — чётные числа, но это противоречит утверждению о том, что дробь a/b несократима. Это противоречие доказывает невозможность представить √2 в виде дроби.
Несложно заметить: число √2 встречается там, где речь идёт о квадратах или удвоении площади. И где же это происходит? Начнём, пожалуй, с вещей, которые ежедневно попадают нам в руки. Таких, как бумага в принтере.
Формат бумаги — стандартизованный размер бумажного листа. Все страны мира, кроме Канады и США, пользуются международным стандартом ISO 216. Все форматы бумаги ISO имеют одно и то же соотношение сторон, равное 1 ÷ √2, так называемому отношению Лихтенберга (немецкий учёный Георг Лихтенберг в 1768 году первый заметил преимущества использования бумажного листа с таким отношением сторон).
Интересно следующее: поскольку отношение большей стороны к меньшей постоянно, при последовательном разрезании листа А0 на меньшие форматы левый нижний край, правый верхний и точки, в которых сходятся три разреза, согласно теореме Фалеса, будут лежать на одной прямой.
Этот формат был создан в 1975 году на основе немецкого стандарта DIN 476 и отличается от него только бо́льшими допустимыми погрешностями. Базовый лист бумаги (А0) имеет площадь в 1 м² и соотношение сторон 1 ÷ √2. Все остальные размеры получаются разрезанием длинной стороны на две равные части, то есть площадь следующего листа равна половине площади предыдущего. Такое соотношение сторон сохраняется для всех последующих меньших форматов.
Арифметически это связано с равенством 
. А именно: пусть стороны листа были x и √2x. Уменьшая вторую сторону в два раза и оставляя первую неизменной, мы уменьшаем площадь прямоугольника в два раза. Стороны стали x и 
. Найдём теперь отношение меньшей стороны к большей:
У фотографов тоже есть причина использовать число √2. Рассмотрим круг радиусом R. Его площадь равна πR². Если мы хотим построить круг вдвое большей площади, как вы думаете, на какое число необходимо умножить радиус? А если вдвое меньшей — на какое разделить? Опять нас ждёт встреча с числом √2.
Как это связано с фотографией? Когда мы снимаем в ручном режиме, то настраиваем фокус и экспозицию. Последняя определяется выдержкой и диафрагмой объектива — отверстием переменного радиуса, которое позволяет регулировать поток света, попадающего через объектив на плёнку или матрицу фотоаппарата. Если свет яркий, отверстие диафрагмы уменьшают, чтобы не засветить кадр. Если же света мало — пасмурный день или вообще ночное время, — отверстие диафрагмы увеличивают, иначе кадр получится слишком тёмным. Размеры диафрагмы имеют фиксированное значение: при закрытии на одно деление площадь отверстия уменьшается вдвое, ну а радиус, соответственно, в √2 раз. Делениям на шкале диафрагмы соответствуют так называемые диафрагменные числа: 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22 и так далее. Закономерность неочевидна, но на самом деле это не что иное, как приближённые значения степеней числа √2 (округлённые почему-то не по математическим законам):
Это связано с тем, что если мы хотим получить ряд кругов площадью каждый вдвое меньше предыдущего, то радиус исходного круга мы должны будем последовательно делить на √2. Таким образом, отношение радиусов двух произвольных кругов из этого ряда всегда будет равно степени числа √2.
Поиск гармонии
Пифагорейцы изучали связь между гармонией природы и математикой, поэтому они искали числовые пропорции во всех окружающих явлениях. И, надо сказать, преуспели в этом. Например, выяснилось, что гармонические соотношения между нотами соответствуют определённым отношениям целых чисел (стоит ли говорить, что частоту звука можно напрямую связать с длиной струны — геометрической величиной).
Число √2 как пропорциональное отношение часто встречается в архитектуре: оно есть во всех квадратах, которые только можно начертить. Поэтому корень из двух занимает почётное место в искусстве, прежде всего в архитектуре и дизайне.
В барселонском парке Гуэль, спроектированном великим Антонио Гауди, вместо чётких прямых линий мы наблюдаем очертания различной кривизны; центральным элементом паркового ансамбля является терраса, поддерживаемая греческими колоннами. Изогнутый потолок, причудливые формы постройки могут вызвать ложное ощущение, что архитектор не придерживался какой-либо рациональной системы. Однако если посмотреть план сооружения, сразу видно, что его стабильность обеспечена геометрией квадратов, в вершины которых Гауди поместил вершины колонн. Ещё на чертеже можно заметить правильные восьмиугольники (октагоны), в которых тоже скрыто наше любимое число √2, ведь в каждом октагоне есть как минимум три квадрата.
Слабость к правильному восьмиугольнику питали архитекторы разных эпох. Купол кафедрального флорентийского собора Санта-Мария-дель-Фьоре, Башня Ветров в Афинах, замок Кастель-дель-Монте на юге Италии, Капелла Карла Великого в немецком Ахене и многие другие постройки, всех не перечислить, имеют форму октагона.
Возможно, корень из двух не самое примечательное иррациональное число. Есть множество иррациональных чисел (π, экспонента е) и соотношений (например, золотое сечение), о которых можно рассказать больше интересного. Но важно понимать, что изучение таких чисел началось именно с √2. Его открытие перевернуло представления человечества о числе, положило начало изучению чисел как непрерывного множества и расширило возможности познания мира. В результате идея, что числа лежат в основе всех проявлений науки и техники, сегодня уже не вызывает сомнений.
теория-чисел — Как прямо доказать, что √2 есть число иррациональное?
Известно доказательство от противного. Пусть √2 представляется в виде рациональной дроби a/b, тогда a² = 2b². Отсюда следует, что a² и a четны. Тогда a = 2c, a² = 4с², 4c² = 2b², 2c² = b². Отсюда следует, что b² и b четны. Но это противоречит тому, что дробь a/b несократима. Значит, исходное предположение о рациональности √2 неверно.
Вопрос, как доказать утверждение о иррациональности √2 прямо?
задан 8 Ноя ’11 16:35
4 ответа
Пусть √2 рациональное, т.е. √2 = a/b, где a и b — целые числа, не имеющие общих делителей. тогда 2 = a²/b², т.е. a² = 2b². Следствие — a² — четное. Но если a² — четное, то и а — четное, т.е. а = 2x. Тогда 4x² = 2b² => b² = 2x², т.е. b — тоже четное. А это противоречит исходной посылке (a и b не имеют общих делителей). Следовательно √2 нельзя представить в виде a/b, значит это число не является рациональным.
отвечен 15 Ноя ’11 10:58
Само понятие иррационального числа так устроено, что оно определяется через отрицание свойства «быть рациональным», поэтому доказательство от противного является здесь наиболее естественным. Можно, однако предложить вот какое рассуждение.
Чем отличаются принципиально рациональные числа от иррациональных? Как те, так и другие, можно приблизить рациональными числами с любой заданной точностью, но для рациональных чисел имеется приближение с «нулевой» точностью (самим этим числом), а для иррациональных чисел это уже не так. Попытаемся на этом «сыграть».
Прежде всего, отметим такой простой факт. Пусть $%\alpha$%, $%\beta$% — два положительных числа, которые приближают друг друга с точностью $%\varepsilon$%, то есть $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Что произойдёт, если мы заменим числа на обратные? Как при этом изменится точность? Легко видеть, что $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac<|\alpha-\beta|><\alpha\beta>=\frac<\varepsilon><\alpha\beta>,$$ что будет строго меньше $%\varepsilon$% при $%\alpha\beta>1$%. Это утверждение можно рассматривать в качестве самостоятельной леммы.
Теперь положим $%x=\sqrt<2>$%, и пусть $%q\in<\mathbb Q>$% — рациональное приближение числа $%x$% с точностью $%\varepsilon$%. Мы знаем, что $%x>1$%, а насчёт приближения $%q$% потребуем выполнения неравенства $%q\ge1$%. У всех чисел, меньших $%1$%, точность приближения будет хуже, чем у самой $%1$%, и потому мы не будем их рассматривать.
К каждому из чисел $%x$%, $%q$% прибавим по $%1$%. Очевидно, точность приближения останется той же. Теперь у нас есть числа $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Переходя к обратным числам и применяя «лемму», мы придём к выводу, что точность приближения у нас улучшилась, став строго меньше $%\varepsilon$%. Требуемое условие $%\alpha\beta>1$% у нас соблюдено даже с запасом: на самом деле мы знаем, что $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, откуда можно сделать вывод, что точность улучшается как минимум в $%4$% раза, то есть не превосходит $%\varepsilon/4$%.
И вот здесь — основной момент: по условию, $%x^2=2$%, то есть $%x^2-1=1$%, а это значит, что $%(x+1)(x-1)=1$%, то есть числа $%x+1$% и $%x-1$% обратны друг другу. А это означает, что $%\alpha^<-1>=x-1$% будет приближением к (рациональному) числу $%\beta^<-1>=1/(q+1)$% c точностью строго меньше $%\varepsilon$%. Осталось прибавить по $%1$% к этим числам, и окажется, что у числа $%x$%, то есть у $%\sqrt<2>$%, появилось новое рациональное приближение, равное $%\beta^<-1>+1$%, то есть $%(q+2)/(q+1)$%, с «улучшенной» точностью. Это завершает доказательство, так как у рациональных чисел, как мы отмечали выше, существует «абсолютно точное» рациональное приближение с точностью $%\varepsilon=0$%, где точность в принципе повысить нельзя. А мы сумели это сделать, что говорит об иррациональности нашего числа.
Фактически, это рассуждение показывает, как строить конкретные рациональные приближения для $%\sqrt<2>$% со всё улушающейся точностью. Надо сначала взять приближение $%q=1$%, и далее применять одну и ту же формулу замены: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. В ходе этого процесса получается следующее: $$1,\frac32,\frac75,\frac<17><12>,\frac<41><29>,\frac<99><70>$$ и так далее.
Почему корень из 2 иррациональное число
Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal
| ||||||||||||||||||||
