Показать что функция удовлетворяет уравнению

1

Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?

На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)

Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку!

Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную:

Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:

Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения:

– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения .

Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части):

Получено верное равенство.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция тоже удовлетворяет данному уравнению.

А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2):

– получаем неверное равенство.

Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.

Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))

– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.

Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.

Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.

Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.

Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям:

Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные в левую часть:

– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.

То же задание для функции и уравнения

А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге .

Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!

Решения и ответы в подвале.

Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.

Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка:

Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка:

Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.

Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Так действительно бывает!

Интересное задание для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Краткое решение и ответ в конце урока.

И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!

Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.

Ответ: дфуду

Вот так и рождаются новые ругательства =)

Симметрия по вашу душу:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Подумайте, как рациональнее оформить решение.

Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)

Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём производную:

Подставим и в левую часть уравнения:

– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 3: Решение: найдём производную:

Подставим и в уравнение :

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию:

Найдём частные производные первого порядка:

Подставим и в уравнение :

Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка:

Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:

(т.к. константой считается «икс», то производная берётся как производная от показательной функции)
Подставим и в уравнение:

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 10: Решение: преобразуем функцию:

Найдем частные производные первого порядка:

Подставим найденные производные в уравнение :

Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

11. Дифференциальные уравнения

,

где — независимая переменная,— искомая функция,— ее производная называется обыкновеннымдифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(11.1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция ,  , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

при , (11.2)

при которых функция принимает заданное значениев заданной точке, называютначальным условием.

Общим решением уравнения(11.1) в некоторой областиплоскостиназывается функция, зависящая оти произвольной постояннойи обладающая следующими свойствами:

она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;

при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением уравнения(11.1) в областиназывается функция, которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши.

Пример 1. Показать, что функцияудовлетворяет уравнению.

Решение. Имеем

.

Подставим ив левую часть уравнения:

.

Получили тождество . Следовательно, функцияявляется решением данного уравнения.

Пример 2. Показать, что функцияслужит решением дифференциального уравнения второго порядка.

Решение. Находим,.подставив выражение дляив данное уравнение, получим

,

т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Пример 3. Проверить, что функция, определяемая уравнением, является решением дифференциального уравнения.

Решение. Продифференцируем обе части равенствапо переменнойс учетом того, что; тогда получим

, или , откуда.

Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей.

Решение. Дифференцируя данное выражение, получаем, откуда. Исключаем теперь произвольную постоянную. Для этого из последнего уравнения находим, подставляя его в данное уравнение, получим

.

Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Дифференциальное уравнение вида

, (11.3)

где ,,,— непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Если ни одна из функций ,,,тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) наоно приводится к виду

.

Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению

,

которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)  .

Пример 5. Найти общее решение уравнения

и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Решение. Данное уравнение можно переписать в виде

или .

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при — функция только от, коэффициент при— функция только от).

Интегрируя, получим общее решение

.

Полагая в нем ,, находим. Таким образом, частное решение, проходящее через точку—.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:

,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим

.

Интегрируя это уравнение, находим

,

откуда получаем общее решение:

.

.

называется однородным.

С помощью подстановки , где— новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

, (11.4)

где постоянные инаходятся из системы уравнений

сводится к однородному уравнению.

При преобразованиемуравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на, получим:

.

Делаем подстановку , где— новая неизвестная функция. Тогдаи уравнение приводится к виду

или .

.

2 arctg z — 3 ln(1+ z 2 )= ln+C.

Заменяя на, получим общее решение данного уравнения:

или .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это уравнение вида (11.4):

,

при этом .

Вводим новые переменные ,,

где идолжны удовлетворять системе уравнений

Решая эти уравнения, находим ,.

Таким образом, ,;,.

Исходное уравнение преобразуется к виду

.

В полученном однородном уравнении положим , откуда; приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Преобразуем последнее уравнение:

.

Разделяя переменные, получим

.

,

из последнего уравнения находим

или .

.

Подставляя сюда , получим

или .

Перейдем к переменным ипо формулам,:

.

Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения:

.

, (11.5)

где и— непрерывные функции, называетсялинейным дифференциальным уравнением первого порядка(ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение (11.5) называется линейнымоднороднымуравнением. Если, то уравнение (11.5) называется линейнымнеоднороднымуравнением.

Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных:

; ;,

,

где — произвольная постоянная.

Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернуллив виде

.

Подстановка выражений для ив уравнение (11.5) приводит его к виду

.

В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

,

тогда функция определяется из уравнения

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая

,

где — некоторая дифференцируемая функция от.

Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению

.

,

где — произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

.

Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

, (11.6)

где — действительное число. В случае,уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки

.

Пример 9. Найти общее решение уравнения

.

Выделить решение, удовлетворяющее условию .

Решение. Разделим переменные в данном уравнении:

.

или .

Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид

; ;.

Пример 10. Решить уравнение

.

Решение. Разделив левую и правую части данного уравнения на, приходим к линейному неоднородному уравнению:

.

Применим метод Бернулли. Пусть , тогдаи уравнение примет вид

.

или .

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при

и .

При этом данное уравнение обратится в уравнение

или .

Решая это уравнение, получим

.

Таким образом, окончательно имеем

.

Пример 11. Решить уравнение

при начальном условии .

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

.

Разделив переменные, получим

, ,.

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде

,

где />- неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнениеи, придем к уравнению

.

Интегрируя по частям при ,и,, получим

.

Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения

.

Используя начальное условие , получим, откуда. Следовательно, искомое решение задачи Коши.

Пример 12. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Преобразовав уравнение к виду

,

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки

, ,

данное уравнение приводится к линейному

.

Решая однородное уравнение

, ,,

получаем .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

, .

Подставляем в уравнение

или .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

, .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

или, после замены ,

.

, (11.7)

где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области, называетсяуравнением в полных дифференциалах.

Его можно записать в виде

,

где — такая функция, что. Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид. Решение сводится к отысканию функции.

Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функциииопределены, непрерывны и имеют непрерывные частные производныеи, было выполнено условие

. (11.8)

В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде

, (11.9)

где — произвольная фиксированная точка области.

Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называетсяинтегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от , т.е., или только от, т.е.. Первый из этих случаев имеет место, если соотношение

является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

(11.10)

Второй случай имеет место, если соотношение

является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (11.11)

Пример 13. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Здесь,,,; таким образом, условие (11.8) выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв ,:

или .

Подставляя пределы, находим

или ,

где .

Пример 14. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Здесь ,, так что,, т.е. условие (11.8) не выполняется. Проверим, существует ли дляданного уравнения интегрирующий множитель. Поскольку

,

то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10):

.

Умножив обе части исходного уравнения на , получаем уравнение

,

которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах.

Решим это уравнение. Полагая ,и используя формулу (11.9), имеем

,

или .

Как проверить удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:

В правой части уравнения имеем:

Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.

Решение. а) Рассмотрим функцию

Значение этой функции в точке известно и равно

Вычислим приближенно значение функции по формуле:

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Как проверить удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 20.22. Показать, что функция y(x) удовлетворяет данному уравнению (1).

4. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:

В правой части уравнения имеем:

Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.

Решение. а) Рассмотрим функцию

Значение этой функции в точке известно и равно

Вычислим приближенно значение функции по формуле:

Таким образом, имеем

Относительная погрешность вычислений:

Находим полный дифференциал функции :

Пример 3. Задана функция z = f(x,y).

1. Исследовать функцию на экстремум.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D,ограниченной заданными линиями ; D: .

1). Запишем необходимые условия существования экстремума

Так как в данном случае и всегда существуют, то для нахождения стационарных точек получаем систему уравнений

Решаем систему уравнений

Таким образом, получим две стационарные точки и

В точке , т.е. в этой точке экстремума нет.

В точке и , следовательно, в этой точке функция достигает локального минимума .

а) Изображаем область D:

б) Находим критические (стационарные) точки (см. п.1) z = x 2

в) Находим значение функции в этих точках.

г) Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков ОА, АВ, ВС, ОС.

На прямой ОА, где x=0, имеем z=0

На прямой АВ, где у = 1, имеем и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [0;1].

Получаем точку и z(1,1)=-1.

На прямой BC x=1,получим

z=1+y 3 – 3y;

z ′ _y=3y 2 -3;

3x 2 =3

y₁=1, y₂=-1, .Получаем точку , совпадающую с точкой локального минимума .

На прямой ОС, где у = 0, получим , , , . Получим точку совпадающую с одной из критических точек. .

д) Таким образом, сравнивая все полученные значения, видим, что в замкнутой области D наибольшим значением является , а наименьшим

Пример 4. Дана функция z=f(x,y), точка А, вектор .

2) Производную по направлению вектора

3) Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y)

3) Уравнение касательной плоскости в т. имеет вид:

А уравнение нормали:

; откуда получаем – уравнение касательной плоскости.

Пример 5. Экспериментально получены пять значений искомой функции у = f(х) при пяти значениях аргумента, которые представлены в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y =f(x) в виде у = ах + b.

Решение. В случае линейной зависимости, т.е. если мы будем искать функцию вида , получаем нормальную систему метода наименьших квадратов:

Система определения имеет вид:

Пример 6. Вычислить неопределенные интегралы:

Так как , то интеграл принимает вид

вернемся к первоначальной переменной :

есть правильная дробь, разложим знаменатель на линейные множители, а затем дробь на простейшие

найдем методом неопределенных коэффициентов:

пусть , тогда , т.е.

пусть , тогда , т.е.

пусть , тогда , т.е.

и интеграл принимает вид:

сделаем универсальную тригонометрическую подстановку

, так как , тогда подынтегральная функция принимает вид

а интеграл принимает вид

сделаем замену переменной , тогда , а чтобы найти найдем дифференциал от обеих частей равенства ,

т.е. и интеграл принимает вид

Пример 7. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение. Разбив отрезок на 10 частей, вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения