Онлайн калькулятор. Обратная матрицы
Используя этот онлайн калькулятор для вычисления обратной матрицы, вы сможете очень просто и быстро найти обратную матрицу.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления обратной матрицы, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисления обратной матрицы, а также закрепить пройденный материал.
Найти обратную матрицу
| Очистить | Размер: × |
| Транспонировать | Умножить на |
| Найти определитель | Возвести в степень |
| Найти ранг | Обратная матрица: A -1 |
Ввод данных в калькулятор обратной матрицы
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора обратной матрицы
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.
Теория. Обратная матрица.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Как найти обратную матрицу?
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:
, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы.
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров .
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент: 
Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: 
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: 
Рассматриваем следующий элемент матрицы : 
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: 
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: 
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: 
Готово.
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: 
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ.
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение либо
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы.
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.
2) Находим матрицу миноров .
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы: 
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» 
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: 
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: 
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: 
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: 
В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ:
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.
Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!
Как найти обратную матрицу
Обратная матрица обозначается $ A^ <-1>$ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A \neq 0 $.
Быстрый способ для матриц $2 \times 2$
Пусть задана матрица $A = \begin
Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = \begin
Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^ <-1>= \frac<1> <7>\begin
Находим определитель $$det A = \begin
Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^ <-1>= \frac<1> <-8>\begin
Нахождение с помощью метода Гаусса
На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.
Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:
Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = \begin
Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу.
Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$\begin
Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$\begin
Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$\begin
Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$\begin
Справа как видим получилась обратная матрица $$A^ <-1>= \begin
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = \begin
Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу.
Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$\begin
Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$\begin
Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$\begin
Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом
Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:
$M_
Итак, пользуемся формулой $ A^ <-1>= \frac<1> <|A|>(A^*)^T $
Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю:
Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление.
Вычеркиваем первую строку и первый столбец:
Убираем первую строку и второй столбец:
Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя.
Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений:
Как получить матрицу b
В этой статье рассматриваются два метода нахождения матрицы, обратной к данной.
Определение:
Матрицей, обратной к матрице А называется такая матрица, которая при умножении на исходную дает единичную матрицу. Порядок умножения матриц неважен. Обозначается обратная матрица .
Метод 1. С помощью матрицы алгебраических дополнений (наиболее часто применяемый).
Задача:
Дана матрица . Требуется вычислить обратную к ней матрицу .
Алгоритм решения:
1) Вычислить определитель матрицы .
2) Составить матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы .
3) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений.
4) Каждый элемент матрицы разделить на . Полученная матрица и будет обратной к исходной.
Пример:
Задача:
Дана матрица
.
Требуется вычислить обратную к ней матрицу .
Решение:
1) Найдем определитель этой матрицы.
2) Составим матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы .
Найдем алгебраическое дополнение к элементу . Для этого нужно вычислить минор, получаемый вычеркиванием первой строки и первого столбца, и умножить этот минор на минус единицу в степени суммы индексов.
Аналогично найдем алгебраические дополнения к остальным элементам матрицы.
Составим матрицу алгебраических дополнений
3) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений.
4) Каждый элемент матрицы разделим на . Полученная матрица и будет обратной к исходной.
Ответ:
Метод 2. С помощью присоединенной матрицы (практически не применяемый метод).
Задача:
Дана матрица . Требуется вычислить обратную к ней матрицу .
Алгоритм решения:
1) Записать исходную матрицу с присоединенной к ней единичной.
2) Алгебраическими преобразованиями, проводимыми со строками полученной составной матрицы приводим ее к такому виду, чтобы в левой половине стояла единичная матрица. Тогда в правой половине будет стоять матрица .
Пример:
Задача:
Дана матрица
.
Требуется вычислить обратную к ней матрицу .
Решение:
1) Записать исходную матрицу с присоединенной к ней единичной.
2) Алгебраическими преобразованиями, проводимыми со строками полученной составной матрицы приводим ее к такому виду, чтобы в левой половине стояла единичная матрица. Тогда в правой половине будет стоять матрица .
Разрешено:
а) к элементам строки прибавлять элементы другой строки, умноженные на одно и то же число;
б) все элементы строки умножать на одно и то же число (отличное от нуля).