Как перестроить электрическую цепь

1

Преобразование схем электрических цепей

Преобразование схем электрических цепей:

При расчете электрических цепей часто возникает целесообразность преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчета. Так, при одном или нескольких источниках электрической энергии в ряде случаев удается преобразовать электрическую схему в одноконтурную или в схему с двумя узлами, что весьма упрощает последующий расчет.

Описываемые ниже приемы преобразования схем электрических цепей применимы для цепей постоянного и переменного тока-, ради общности изложения они приводятся в комплексной записи.

Одним из основных видов преобразования электрических схем, часто применяемых на практике, является преобразование схемы со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов представляет собой сочетание более простых соединений — последовательного и параллельного, рассмотрению которых и посвящен данный параграф.

Последовательное соединение

На рис. 4-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены комплексные сопротивления

Напряжения на отдельных участках цепи обозначены через

По второму закону Кирхгофа

Сумма комплексных сопротивлений всех последовательно соединенных участков цепи

называется эквивалентным комплексным сопротивлением.

Если мнимые части комплексов

представляют собой сопротивления одинакового характера— индуктивного или емкостного (рис. 4-2), то эквивалентное комплексное сопротивление Z находится в результате

арифметического сложения в отдельности сопротивлений индуктивностей или величин обратных емкостям:

где

Ток в цепи равен:

Напряжения на участках цепи, соединенных последовательно, относятся как комплексные сопротивления этих участков: напряжение на k-м участке равно произведению суммарного напряжения на отношение комплексного сопротивления участка к эквивалентному комплексному сопротивлению цепи:

Приведенные выше формулы справедливы при любых значениях

Параллельное соединение

На рис. 4-3 изображена схема электрической цепи с двумя узлами. Между этими узлами параллельно соединены ветви с комплексными проводимостями Напряжение на всех ветвях одинаковое, равное

Токи в ветвях обозначены через

По первому закону Кирхгофа

Сумма комплексных проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно,

называется эквивалентной комплексной проводимостью.

Если мнимые части комплексов представляют собой проводимости одинакового характера — емкостного или индуктивного (рис. 4-4), то эквивалентная

комплексная проводимость Y находится в результате арифметического сложения отдельных активных проводимостей , емкостей или величин обратных индуктивностям:

Суммарный ток в цепи равен:

Токи в ветвях относятся, как их комплексные проводимости: ток в ветви равен произведению суммарного тока всех ветвей на отношение комплексной проводимости ветви к эквивалентной комплексной проводимости:

Данным выражением особенно удобно пользоваться при n > 2. При этом значения могут быть любыми.

В случае параллельного соединения двух ветвей (n = 2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления ветвей; эквивалентное комплексное сопротивление равно: v 1 1 Z,Z2

Токи в параллельных ветвях:

t. e. ток одной из двух параллельных ветвей равен суммарному току, умноженному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопротивлений обеих ветвей.

Смешанное соединение

Электрические схемы, имеющие смешанное соединение, могут быть преобразованы в более простую электрическую схему путем замены параллельных ветвей одной ветвью и соответственно последовательно соединенных участков цепи — одним участком.

На рис. 4-5 показан пример электрической цепи со смешанным соединением. Эта схема легко приводится к одноконтурной. Первоначально вычисляется эквивалентная комплексная проводимость параллельных ветвей; затем находится величина, обратная проводимости, т. е. общее комплексное сопротивление параллельных ветвей; найденное комплексное сопротивление суммируется с комплексным сопротивлением последовательно включенного участка. Полученное суммарное

комплексное сопротивление эквивалентно сопротивлению исходной цепи со смешанным соединением.

Расчетные выражения для рассматриваемого случая будут следующие:

Суммарное комплексное сопротивление всей цепи равно:

а суммарный ток

Токи в ветвях относятся, как комплексные проводимости ветвей:

Таким юбразом, многоконтурная электрическая схема со смешанным соединением приводится к одноконтурной,

имеющей суммарное комплексное сопротивление Z или соответственно суммарную комплексную проводимость Y. Распределение токов и напряжений в смешанной цепи подчиняется правилам, указанным в предыдущем параграфе.

Описанный выше порядок преобразования схемы и нахождения распределения токов принципиально применим и для так называемой цепной схемы, показанной на рис. 4-6. Просуммировав комплексные сопротивления в последней ветви, найдем комплексную проводимость ветви, которую алгебраически сложим с и получим суммарную комплексную проводимость двух последних ветвей; вычислив обратную величину, т. е. комплексное сопротивление, прибавим к ней Продолжая

таким образом дальше, получим в итоге результирующее комплексное сопротивление цепи и соответственно суммарный ток который может быть путем последовательных вычислений распределен между всеми ветвями сложной цепи.

Однако такой способ расчета цепной схемы является достаточно трудоемким и утомительным. Более целесообразно в этом случае воспользоваться другим методом, который известен под названием метода подобия или единичного тока.

Задавшись током в последней ветви, равным единице находим напряжение на комплексном сопротивлении равное При этом ток .

Прибавив к напряжению на падение напряжения от тока в комплексном сопротивлении получим напряжение на Продолжая таким образом дальше, найдем в конечном итоге ток и напряжение Ввиду того что ток был произвольно выбран равным единице, полученное напряжение не будет равно заданному напряжению на выводах цепи. Для нахождения действительного распределения токов в схеме необходимо все вычисленные значения токов умножить на отношение

Эквивалентные участки цепи с последовательным и параллельным соединениями

Обозначим комплексное сопротивление участка цепи, состоящего из двух последовательно соединенных элементов, через Комплексная проводимость данного участка цепи равна причем активная и реактивная проводимости:

Если два элемента с проводимостями g и b, вычисленными по этим формулам, соединить параллельно, то суммарная комплексная проводимость будет равна Y и соответственно комплексное сопротивление будет равно Z,

Такие две цепи с последовательным и параллельным соединениями, имеющие одинаковые сопротивления на выводах, называются эквивалентными.

Ввиду того что реактивное сопротивление х, входящее в расчетные формулы, в общем случае зависит от частоты, условие эквивалентности этих цепей выполняется только при той частоте, для которой вычислено х.

Пусть, например, задана схема с последовательным соединением сопротивления и индуктивности (рис. 4-7, а). Преобразуем ее в схему с параллельным соединением элементов (рис. 4-7, б).

Активная и реактивная проводимости исходной цепи:

Из условия эквивалентности цепей следует, что параметры новой цепи будут:

Вычислив по этим формулам получим схему цепи, эквивалентной исходной при данной частоте При других значениях частоты параметры будут иметь другие значения, следовательно эквивалентность цепей нарушится.

При например, при достаточно высокой частоте:

Если исходной является схема рис. 4-7, б и заданными параметрами являются то параметры эквивалентной цепи (рис. 4-7, а) определятся из выражений:

Из полученных выражений видно, что числовые значения эквивалентной цепи зависят от частоты.

Условия эквивалентности для цепей с последовательным и параллельным соединением сопротивления и емкости имеют вид:

При достаточно высокой частоте и тогда

Преобразование треугольника в эквивалентную звезду

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи

сохраняются неизменными. Иначе говоря, эквивалентность треугольника и звезды понимается в том смысле, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы. Это равносильно тому, что мощности в этих цепях одинаковы.

На рис. 4-8 показан случай, когда преобразование треугольника в эквивалентную звезду дает возможность преобразовать многоконтурную схему в одноконтурную.

Для вывода расчетных выражений, служащих для преобразования треугольника в эквивалентную звезду, ниже приняты следующие обозначения (рис. 4-9):

• — сопротивления сторон треугольника;
• — сопротивления лучей звезды;
• — токи, подходящие к выводам 1, 2, 3\
• — Токи в ветвях треугольника.

Выразим токи в ветвях треугольника через приходящие токи.

По второму закону Кирхгофа сумма напряжений в контуре треугольника равна нулю:

По первому закону Кирхгофа для узлов 2 и 1

Решение этих уравнений относительно Дает:

Напряжение между выводами 1 и 2 схемы рис. 4-9, а будет:

a в схеме рис. 4-9, б оно равно:

Для эквивалентности необходимо равенство напряжений при всяких токах

Это возможно при условии:

Третье выражение получается в результате круговой замены индексов.

Итак, комплексное сопротивление луча звезды равно произведению комплексных сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму комплексных сопротивлений трех сторон треугольника.

Выше было получено выражение для тока в стороне 1—2 треугольника в зависимости от токов Круговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника:

Преобразование звезды в эквивалентный треугольник

В расчетах также возникает необходимость замены звезды эквивалентным треугольником. На рис. 4-10 показан, например, случай, когда такая замена позволяет

преобразовать сложную электрическую схему в одноконтурную.

При переходе от звезды к треугольнику заданными являются сопротивления звезды Выражения для искомых сопротивлений треугольника находятся в результате совместного решения трех уравнений (4-1).

Деление третьего уравнения на первое, а затем на второе дает:

Выражая отсюда и подставляя их в первое уравнение (4-1), получим:

Аналогично круговой заменой индексов получим:

Отедовательно, комплексное сопротивление стороны треугольника равно сумме комплексных сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Токи в лучах звезды легко выражаются через токи в сторонах треугольника. С учетом положительных направлений на рис. 4-9 имеем:

Эквивалентные источники э. д. с. и тока

Два разнородных источника электрической энергии — источник э. д. с. и источник тока — считаются эквивалентными,, если при замене одного источника другим токи и напряжения во внешней электрической цепи, с которой эти источники соединяются, остаются неизменными. На рис. 4-11 изображены эквивалентные источники тока, посылающие во внешнюю цепь ток и поддерживающие на своих выводах одинаковое напряжение

Условием эквивалентности источников, именуемым в дальнейшем правилом об эквивалентных источниках э.д.с. и тока, служит следующее соотношение между э. д. с. Ё источника э. д. с. и током

где Z — внутреннее комплексное сопротивление как источника э. д. с., так и источника тока.

Действительно, напряжение на источнике э. д. с. получается в результате вычитания из э. д. с. падения напряжения от тока в комплексном сопротивлении Z источника (рис. 4-11, а).

Соответственно напряжение на источнике тока при том же токе посылаемом во внешнюю цепь, равно падению напряжения от тока в комплексном сопротивлении Z источника (рис. 4-11,6).

В обоих случаях напряжения на выводах обоих источников одинаковы:

т. е. получается условие (4-3), не зависящее от тока нагрузки.

При отсоединении эквивалентных источников э. д. с.

и тока от внешней цепи напряжение на выводах обоих источников равно Ё. Именно это обстоятельство и равенство внутренних комплексных сопротивлений обоих источников и обеспечивают их эквивалентность при любом режиме работы.

Следует заметить, что мощности, расходуемые во внутренних сопротивлениях эквивалентных источников э. д. с. и тока, неодинаковы. В первом случае полная мощность, расходуемая в источнике, равна во втором случае

Например, при отсоединении источников от внешней цепи в первом случае мощность в источнике не расходуется, а во втором случае она составляет

Поэтому эквивалентность источников следует понимать только в смысле неизменности токов, напряжений и мощностей во внешней электрической цепи, присоединенной к источникам.

Если внутреннее сопротивление источника э. д. с. равно нулю, то непосредственное применение формулы (4-3) для нахождения эквивалентного источника тока по, заданной э. д. с. источника не представляется возможным. В таких случаях сопротивление внешней цепи, включенной последовательно с э. д. с., можно рассматривать в качестве внутреннего сопротивления источника, что позволит применить формулу (4-3).

В случае сложной электрической цепи замена источника э. д. с. эквивалентным источником тока или обратно может иногда упростить расчет.

Целесообразность такой замены проиллюстрирована, в частности, в следующем параграфе.

Преобразование схем с двумя узлами

Применим правило об эквивалентных источниках э. д. с. и тока к преобразованию схемы с параллельным соединением n ветвей, содержащих источники э. д. с. (рис. 4-12, а).

Заменяя заданные источники э. д. с. источниками тока, получаем схему рис. 4-12, б. Источники тока в совокупности образуют эквивалентный источник тока (рис. 4-12, в), причем

Пользуясь этим соотношением, можно в конечном итоге перейти от схемы рис. 4-12, в к схеме рис. 4-12, s, являющейся эквивалентом исходной схемы рис. 4-21, а. Здесь

Таким образом, n параллельных ветвей с источниками э. д. с. между двумя узлами могут быть заменены одним источником тока (рис. 4-12, в) или источником э. д. с. (рис. 4-12, s).

Ток во внешней цепи (в ветви с сопротивлением равен:

Напряжение между двумя узлами находится по формуле

Выведенные здесь выражения широко используются для расчета электрических цепей с двумя узлами, а также более сложных цепей, приводящихся к двум узлам.

Перенос источников в схеме

Расчет электрической цепи облегчается в ряде случаев в результате переноса в схеме источников э. д. с. или тока. Как это видно из уравнений Кирхгофа, токи в схеме определяются заданными величинами суммарных э. д. с. в контурах независимо от того, из каких отдельных слагающих они состоят. Поэтому изменение расположения в схеме источников э. д. с., при котором суммарные э. д. с. во всех контурах сохраняются неизменными, не влияет на токи в ветвях. Аналогично напряжения на ветвях определяются заданными суммарными токами источников тока в узлах, и поэтому изменение расположения в схеме источников тока, при котором их суммарные токи во всех узлах сохраняются неизменными, не влияет на напряжения в схеме.

Если, например, требуется исключить источник э. д. с. из какой-либо ветви, то в данную ветвь вводится компенсирующая э. д. с., причем точно такая же э. д. с. вводится одновременно во все остальные ветви, сходящиеся

в одном из узлов данной ветви. Компенсирующая и дополнительные э. д. с. имеют одинаковое направление по отношению к рассматриваемому узлу. В результате этого источник э. д. с. из ветви исключается и появляются источники э. д. с. в других ветвях схемы. Суммарные э. д. с. во всех контурах и соответственно токи в ветвях остаются прежними.

Итак, источник э. д. с. может быть перенесен из какой-либо ветви схемы во все другие ветви, присоединенные к узлу данной ветви, без изменения токов в схеме.

Справедливо и обратное положение: если во всех ветвях, кроме одной, сходящихся в узле, имеются одинаковые источники э. д. с. (рис. 4-13, а), направленные все к одному узлу или все от узла, то они могут быть заменены одним источником э. д. с. в ветви, в которой источник отсутствовал (рис. 4-13, б).

Это положение подтверждается тем, что суммарные э. д. с. в контурах схем на рис. 4-13, а и б одинаковы.

Имеется и другое доказательство данного положения: ввиду равенства э. д. с. всех источников вторые выводы

их могут быть объединены, как имеющие одинаковый потенциал. В результате такого объединения, показанного на рис. 4-13, а пунктиром, получается схема рис. 4-13, б.

В случае переноса источников тока они присоединяются к узлам схемы так, чтобы оставались неизменными их суммарные токи в узлах.

Так, например, несмотря на то, что источники тока размещены в схемах рис.

4-14, а и б различно, суммарные токи источников в узлах обеих схем одинаковы. Поэтому и напряжения между узлами не изменились.

Итак, источник тока может быть заменен источниками тока, подключенными. параллельно всем

ветвям, которые составляли контур с рассматриваемым источником.

• Перенос источников в схеме успешно сочетается на практике с различными методами преобразований и расчетов (см. пример 4-1).

Пример 4-1.

Вычислить ток в диагональной ветви мостовой схемы рис. 4-15, а.

Дано:

Заданный источник тока может быть заменен двумя источниками, подключенными параллельно сопротивлениям (рис. 4-15, б). Пользуясь условием эквивалентности источников э, д, с, и тока, получаем схему рис, 4-15, в с двумя узлами. По формуле (4-4) напряжение на ветви равно

Преобразование симметричных схем

Схема электрической цепи, в которой имеется ось симметрии, называется симметричной. Например, схема рис. 4-16, а симметрична относительно вертикальной оси. В симметричных схемах легко выявляются точки или узлы с одинаковым потенциалом. В ветвях, присоединенных к таким узлам, токи равны нулю. Поэтому эти ветви

можно разрезать, не нарушая распределения токов и напряжений в схеме. Точки, имеющие одинаковый потенциал, могут быть объединены. Рассечение ветвей, по которым не проходит ток, и объединение точек равного потенциала упрощают схему и облегчают расчет.

Так, в симметричной схеме рис. 4-16, б токи в соединениях, пересекающих ось симметрии, отсутствуют. Разрезав схему по оси симметрии, получим с обеих сторон одноконтурную схему рис. 4-16, в, которая легко рассчитывается.

Допустим теперь, что полярность источников в симметричной схеме неодинакова (рис. 4-17, а). В этом случае (равенство э. д. с. источников и различие их полярности) токи в симметричных ветвях (например, и напряжения между соответствующими парами выводов, симметрично расположенными относительно оси, равны и противоположны по знаку. Отсюда следует, что напряжения между всеми точками, лежащими на оси симметрии, равны нулю Поэтому все точки схемы на оси симметрии могут быть замкнуты накоротко (рис. 4-17, б).

Таким образом, расчет сложных симметричных схем приводится к расчету более простых схем.

На рис. 4-18, а и б показана симметричная мостовая схема, имеющая две оси симметрии — вертикальную и

горизонтальную. В продольных ветвях ток отсутствует; потенциалы средних точек поперечных (перекрещенных) ветвей одинаковы.

Поэтому продольные ветви могут быть рассечены, а средние точки поперечных ветвей — объединены. В результате с обеих сторон получится одноконтурная схема (рис. 4-18, в), расчет которой крайне прост.

Если изменить полярность одного из источников (рис. 4-19, а), то роли продольных и поперечных ветвей поменяются и преобразованная часть схемы примет вид, показанный на рис. 4-19, б.

В разобранных выше примерах э. д. с. источников были равны. В случае неравенства э. д. с. источников преобразование симметричной схемы удобно сочетается с методом наложения (см. пример 7-5).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Лекция III.

Ознакомившись с данной лекцией, студенты должны знать:

Цель преобразования электрических цепей.

Четко различать участки с последовательным и параллельным соединениями при рассмотрении смешанного соединения проводов.

Уметь преобразовывать соединение треугольник в эквивалентную звезду и обратно.

Уметь преобразовать источник напряжения в источник тока и обратно.

Преобразование схем электрических цепей.

Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.

На рис. 3-1 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R₁, R₂,…,R_n. Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U₁, U₂,…, U_n.

Рис. 3-1 Последовательное соединение.

По ЗНК напряжение на ветви

Сумма сопротивлений всех участков данной ветви

Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.

Поскольку напряжения, которые падают на отдельных сопротивлениях, пропорциональны этим сопротивлениям, можно сказать, что последовательно включенные сопротивления образуют «делитель напряжения». Понятие делителя напряжения широко используется в технике.

На рис. 3-2 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G₁, G₂,…, G_n. Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.

Рис.3-2 Параллельное соединение (показать преобразованное).

По ЗТК общий то равен сумме токов отдельных ветвей:

Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно

называется эквивалентной проводимостью.

В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления и .

Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:

. (3)

Поскольку общий ток делится на отдельные токи ветвей пропорционально проводимостям этих ветвей (или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей), можно сказать, что параллельно включенные сопротивления образуют «делитель токов». Понятие делителя токов используется в технике.

Часто при использовании «ручного» расчета электрических цепей необходимо определить, как ток разделяется по отдельным ветвям параллельно соединенных ветвей.

Из формулы (2) следует, что токи ветвей, соединенных параллельно, пропорциональны проводимостям этих ветвей, т.е. токи делятся по ветвям пропорционально сопротивлениям этих ветвей, или, что тоже самое, обратно пропорционально сопротивлениям этих ветвей.

В случае двух параллельно соединенных сопротивления их общее сопротивление (2) равно:

, тогда суммарный ток I, протекающий по этому эквивалентному сопротивлению, создаст напряжение U, равное:

, чтобы найти ток I₁ в сопротивлении R₁, необходимо разделить выражение на R₁ , а чтобы найти ток I₂ в сопротивлении R₂ найти разделить выражение на R₂:

Полученные выражения для токов иногда называют «правилом плеч», которое гласит: ток делится между параллельно включенными сопротивлениями (в делителе токов) обратно пропорционально этим сопротивлениям.

(4)

На рис.3-3 показано смешанное соединение электрической цепи:

Рис.3-3 Смешанное соединение.

Эта схема легко приводится к одноконтурной. Сопротивления R₅ и R₆ включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле

Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис. 3-4).

Сопротивления R₃, R₄ и R / _экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:

После этого этапа преобразований схема приобретает вид рис. 3-5.

Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R₁. Общее эквивалентное сопротивление равно:

.

Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис. 3-6) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.

Преобразование треугольника в эквивалентную звезду.

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.

Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.

Рис. 3-7. Преобразование треугольника в звезду.

Пусть R₁₂; R₂₃; R₃₁— сопротивления сторон треугольника;

I₁₂; I₂₃; I₃₁— токи в ветвях треугольника;

I₁; I₂; I₃— токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.

Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I₁, I₂, I₃.

По закону напряжений Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:

По закону токов Кирхгофа для узлов 1 и 2

При решении этих уравнений относительно I₁₂ получим:

Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:

Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:

Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.

Это возможно при условии:

(5)

Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.

Исходя из выражения (5) формулируется следующее правило:

Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Преобразование звезды в эквивалентный треугольник.

При переходе от звезды к треугольнику известными являются сопротивления R₁, R₂, R₃ лучей звезды. Значения сопротивлений треугольника определяются в результате совместного решения уравнений (5):

(6)

Сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.

Преобразование электрических цепей

Расчет параметров электрических цепей можно значительно упростить, если выполнить определенные преобразования — заменить последовательное или параллельное соединение сопротивлений некоторым эквивалентным, преобразовать схему соединения «звезда» в схему соединения «треугольник», выполнить перенос источников в схеме.

Преобразование сопротивлений.

При последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление (рис. 2.19, а) определяют простым суммированием:

При параллельном соединении суммируют проводимости (рис. 2.19, б):

Рис. 2.19. Преобразование сопротивлений:

а — при последовательном соединении; 6 — при параллельном; в — преобразование «звезды» в «треугольник»

Для двух сопротивлений;

При соединении сопротивлений по схеме «звезда» целесообразно преобразовывать их в схему «треугольник» (рис. 2.19, в). При этом

Так как эквивалентность преобразования должна сохраняться при любых режимах, то, приняв g₃ = 0, получим g_i3 = g₂₃ = 0, g₁₂ = g,g₂ / (gi + g₂), т.е. разрыв ветви 3 в схеме «звезда» соответствует разрыву ветвей 1—3 и 2—3 в схеме «треугольник», а сумма сопротивлений R_t и R₂ в схеме «звезда» правильно преобразуется в сопротивление R_[2 в схеме «треугольник». Аналогично рассматриваются режимы при g = 0 и g₂ = 0, что подтверждает правильность уравнений (2.17).

Решая систему уравнений (2.17), получим уравнение для обратного преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда»

Определить входное сопротивление цепи (рис. 2.20, а), если R _<= 2 Ом, R₂ = 1/3 Ом, /?₃ = R$ = R-j = 1 Ом, R4 = 0,5 Ом, /?₆ = 3 Ом.

Рис. 2.20. Схема электрической цепи к примеру 2.11:

а — исходная; б — преобразованная; в — конечная

Решение. 1. Заменим сопротивления R₂, R4, R5, соединенные по схеме «звезда», эквивалентными сопротивлениями, соединенными по схеме «треугольник» (рис. 2.20, б).

2. Определим эквивалентные сопротивления для параллельно включенных сопротивлений:

3. При последовательном соединении они дадут

4. Параллельно включенные сопротивления (рис. 2.20, в) заменим эквивалентным сопротивлением с проводимостью:

5. Определим входное сопротивление цепи:

Преобразование источников. Во многих случаях целесообразно преобразовать ветви, содержащие источник ЭДС и сопротивление, в источник тока, или наоборот (рис. 2.21, а, б).

Рис. 2.21. Преобразование схем источников:

а — источник ЭДС на источник тока; б — перенос источника ЭДС в смежные цени

При этом значения ЭДС и источника тока/связаны уравнением Е =JR.

Если источник ЭДС подключен к узлу, где сходятся несколько ветвей, то возможно «расщепление» источника ЭДС (см. рис. 2.21, б). При этом, очевидно, режим в цепи не изменится — всегда можно, соединив накоротко выводы всех источников, заменить их одним (показано пунктиром).

Источники тока также «расщепляют» (рис. 2.22), параллельно каждому сопротивлению. При этом режим в цепи не нарушается. Получивши-

Рис. 2.22. Преобразование схем с источниками тока:

а — исходная; б — преобразованная; в — с источником ЭДС еся источники токов с параллельно включенными проводимостями можно преобразовывать в эквивалентные источники ЭДС (см. рис. 2.22).

Определить токи в схеме (рис. 2.23, а), если Е = 6 В, Е₃ = 3 В J = 1 A, = = R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, J?4 = 1 Ом.

Рис. 2.23. Схемы электрической цепи к примеру 2.12:

а — исходная; б — заменен источник ЭДС; в — заменен источник тока

Решение. 1. Заменим источник ЭДС Е и сопротивление R эквивалентным источником токаJ = E/R = 3 А (рис. 2.23, б), а источник токаJ и сопротивление /?₄ — эквивалентным источником ЭДС Е_э =JR = 1 А.

2. Заменим сопротивления R и R₂ эквивалентным R₃ = —-— = 1 Ом

и источник тока J с параллельно включенным сопротивлением R₃ — эквивалентной ЭДС Ej = JR₃ = 3 В (рис. 2.23, в).

3. Определим ток в последовательной цепи (см. рис. 2.23, в):

4. Чтобы определить токи в исходной схеме (см. рис. 2.23, а), определим ток для узла 2 но первому закону Кирхгофа /₄ = /₃ + J = 1 + 1 = 2 А и напряжение на сопротивлении /?₄ U₄ = /₄#₄ = 2 В.

По второму закону Кирхгофа I3R3 + /₄/?₄ — l₂Ri = ?₃, откуда

Kvant. Преобразование эл. цепей

В этой статье рассказывается о методе, позволяющем упрощать сложные задачи по расчету электрических цепей.

Что мы понимаем под «преобразованием цепи»? Предположим, что у нас есть сложная схема из резисторов, имеющая множество выводов и подключенная к источникам. Заменим эту схему другой, но с тем же числом выводов, причем так, чтобы сопротивления между двумя любыми выводами у новой схемы были такими же, как у старой. Ясно, что источники «ничего не узнают» об этой замене и токи, потребляемые схемой, останутся прежними. Но найти эти токи, возможно, окажется проще.

Итак, если мы хотим подсчитать токи в сложной схеме, ее можно заменить более простой эквивалентной схемой. При этом токи внутри заменяемой части меняются. Поэтому так поступать можно только с той частью схемы, которая нас непосредственно не интересует.

С подобными заменами вы, конечно же, встречались. Пусть, например, в схеме два сопротивления [1] r₁ и r₂ включены последовательно. Их мы можем заменить одним, равным по величине сумме r₁ + r₂. Если же два сопротивления включены параллельно, то их также можно заменить одним, величина которого равна \(

\frac\) . Это — простейшие примеры преобразования цепей. Мы же остановимся на более сложных схемах.

Посмотрим, как преобразуются друг в друга схемы, имеющие по три вывода, — «звезда» и «треугольник» (рис.1).

Немного непривычные обозначения на рисунке 1,б очень удобны — индексы показывают, между какими точками включено сопротивление. Например, сопротивление R₁₃ включено между точками 1 и 3 и т.д.

Если мы хотим заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между r и R, чтобы сопротивления между любыми точками были для обеих схем одинаковы.

В схеме «звезда» (см. рис. 1, а) сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, а в схеме «треугольник» оно равно \(

\frac (R_ <13>+ R_<23>)> + R_ <13>+ R_<23>>\) . Следовательно, для того чтобы со- противления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы

Аналогично, для точек 2 и 3

и для точек 1 и 3:

Система уравнений (1) — (3) легко решается. Сложим все уравнения и поделим обе части на 2:

Вычтя теперь из этого уравнения уравнение (2), получим

Эти результаты легко запомнить — знаменатель всюду один и тот же, а в числителе справа дважды встречается тот же индекс, что и слева\[

r_1 \to R_ <12>R_<13>, r_2 \to R_ <12>R_<23>, r_3 \to R_ <13>R_<23>\] .

Немного сложнее получить формулы для обратного преобразования:

но их также легко запомнить — числитель всюду один и тот же, а в знаменателе стоит как раз тот индекс, которого недостает слева.

Пользуясь формулами, которые мы только что получили, можно производить замену одной схемы другой. Например, «звезду» с сопротивлениями 1 Ом можно заменить «треугольником» с сопротивлениями 3 Ом (рис.2).

Решим теперь такую задачу: найдем сопротивление между точками A и B в схеме на рисунке 3.

Это обычная схема «мостика», но в нашей задаче «мостик» неуравновешен. Такие задачи приходится решать при помощи правил Кирхгофа. В школьной программе их нет, да и вычисления с помощью этих правил очень громоздкие — в нашем случае получилась бы система пяти уравнений с пятью неизвестными. Мы поступим проще: заменим «треугольник» ACD «звездой», как показано на рисунке 4.

Теперь ясно, что сопротивление между точками A и B будет равно

Мы заменяли «треугольник» ACD «звездой», но можно было решать задачу иначе — заменяя «звезду» ADB «треугольником» (проделайте зто самостоятельно).

Пусть теперь к точкам A и B подключена батарея с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением и ЭДС ε = 1 В. Нужно найти ток через участок СВ. Понятно, что преобразовать схему надо так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление СВ. Подойдет то преобразование, которое мы делали раньше (см. рис.4). Используя, что \(

R_ = \frac<13><11>\) Ом , получим

После разветвления токи в верхней и в нижней ветвях поделятся в отношении, обратном сопротивлениям ветвей:

Немного сложнее было бы найти ток, идущий через участок CD. Для этого пришлось бы еще найти ток через участок АС, а затем вычесть из него найденный уже ток через участок СВ.

Можно еще немного усложнить задачу — учесть внутреннее сопротивление батареи r. Тогда полный ток равен

а остальные токи находятся так же, как и раньше.

Рассмотрим более интересную задачу, найдем, при каком соотношении между величинами r и R сопротивление между точками А и В в схеме, показанной на рисунке 5, максимально в крайнем положении движка потенциометра.

Сначала преобразуем схему, заменив «треугольник» ACD «звездой» (рис.6). Очевидно, что сопротивление r не влияет на соотношение сопротивлений в остальной цепи. Займемся поэтому оставшейся частью схемы. Тут включены параллельно два сопротивления: 5r + R₁ и 7r + R₂, где R₁ и R₂ — сопротивления верхней и нижней частей потенциометра соответственно. При этом сумма сопротивлений 5r + R₁, и 7r + R₂ остается постоянной. Посмотрим, какими они должны быть, чтобы полное сопротивление было максимальным. Обозначим

Тогда общее сопротивление включенных параллельно частей схемы равно

Если учесть, что

r_1 + r_2 = \operatorname = c\) ,

Это выражение максимально, когда максимален числитель. Но \(

y = cr_1 — r^2_1\) — это уравнение параболы, ветви которой пересекают ось абсцисс в точках 0 и с. Поэтому числитель дроби наибольший при \(

r_1 = \frac c2\). Так как r₁ + r₂ = с, то это означает, что сопротивление между точками А и В максимально, если r₁ = r₂, т.е.

5r + R_1 = 7r + R_2\), или \(

Ясно, что это возможно лишь в том случае, если сопротивление всего потенциометра R = R₁ + R₂ не меньше чем 2r. В противном же случае максимум сопротивления между точками A и B достигается, когда движок потенциометра находится в крайнем положении.

Итак, ответ: R ≤ 2r.

Метод, о котором мы рассказали, очень удобен для последовательного преобразования сложной схемы к простому виду. Он позволяет рассчитать практически любую сложную цепь, состоящую из сопротивлений. Однако его можно применять и к цепям, содержащим не только сопротивления. Обратим внимание на то, что мы вообще не говорили нигде о физических процессах в цепи, а пользовались только формальным выражением для закона Ома: U = rI. Из него следует, что при последовательном соединении сопротивлений их величины складываются, а при параллельном — складываются величины, обратные сопротивлениям. Понятно, что если какие-нибудь другие физические величины связаны законом, аналогичным закону Ома, то все наши выводы справедливы и для них.

В качестве примера рассмотрим цепь с конденсатором (рис.7). Мы знаем, что заряд конденсатора Q связан с его емкостью C и напряжением на нем U соотношением

Сравним последнее выражение с выражением для закона Ома U = rI. Видно, что законы похожи, только вместо тока стоит заряд, а вместо сопротивления-величина, обратная емкости. Это означает, что для того чтобы найти, скажем, заряды на конденсаторах, можно поступить так: вместо цепи, содержащей конденсаторы, нарисовать цепь, содержащую сопротивления, причем конденсатор емкостью C(Ф) заменить сопротивлением \(

r = \frac 1C\) (Ом). После того как мы рассчитаем токи в цепи из сопротивлений, можно сразу записать, каковы заряды на конденсаторах: если по сопротивлению течет ток I = х (А), то на соответствующем конденсаторе будет заряд Q = х (Кл). ЭДС батарей при таком преобразовании цепи остаются без изменения. Но, разумеется, в цепи с конденсаторами внутренние сопротивления батарей не влияют на результат. Поэтому, преобразуя цепь, нам придется лишить батареи их внутренних сопротивлений.

Пусть, например, нужно найти заряд на конденсаторе емкостью 10 мкФ в схеме, изображенной на рисунке 8. Конденсатору емкостью С = 2 мкФ = 2·10 -6 Ф соответствует сопротивление r = 5·10 5 Ом = 500 кОм. Далее расчет проводится уже достаточно просто (проделайте это самостоятельно).

Таким образом, метод преобразования цепей, как мы видим, пригоден и для схем из конденсаторов.