Как рассчитать время встречи движущихся навстречу объектов

Метод решения задач на движение

На уроках в школе по алгебре, геометрии, физике и другим предметам часто встречаются задачи на движение. Такие задания по математике нуждаются в детальном анализе условий. В результате удается корректно определить нужный метод решения и составить математическую модель. Смысл подобных примеров заключается в исследовании реальных жизненных процессов, которые можно охарактеризовать с помощью взаимосвязанных между собой величин.

Процесс решения задачи на движение заключается в последовательном выполнении следующих действий:

Исследование и объяснение условий задания.
Выбор способа решения и подготовка схемы действий.
Реализация намеченного плана.

Классическая методика поиска решений заданий на движение включает такие пункты, как:

Обозначение неизвестных величин переменными.
Формулировка уравнений или неравенств с применением введенных неизвестных относительно данных условий задачи.
Поиск корней уравнений или неравенств.
Отбор решений, удовлетворяющих смыслу задания.

Упростить решение задач можно, благодаря следующим принципам, которые можно сохранить себе в виде памятки:

При отсутствии особых оговорок следует считать движение равномерным, к примеру, по прямой или по окружности.
Величину скорости принято считать больше нуля.
Любой переход на новый тип движения или изменение направления принято считать мгновенным.
Удобно составлять уравнения или неравенства с помощью геометрических иллюстраций, описывающих движение, например, за путь принимают прямой отрезок, место встречи обозначают точкой.
Нередко в условиях задания можно встретить одинаковые величины с разными единицами обозначения. В этом случае следует пересчитать их, чтобы представить в одинаковых единицах.

Наиболее распространены следующие виды задач на движения:

встречное движение;
перемещение в противоположных направлениях;
движение вдогонку и с отставанием;
передвижение по воде и воздуху;
движение по окружности;
движение протяженных тел;
определение средней скорости;
перемещение в гору и обратно.

В процессе решения задач на движение часто используют главную формулу:

Здесь V является скоростью движения, S обозначает путь, а t определяется, как время.

Скорость определяется по следующей формуле:

Формула для времени:

Движение в одном направлении (два варианта)

По условиям задачи некоторые тела могут двигаться в одинаковом направлении. При этом возможно два случая:

Тело с большей скорости приближается к телу, скорость которого меньше. V с б л и ж = V 1 – V 2 , S о = ( V 1 – V 2 ) t .
Тело с большей скоростью удаляется от тела, скорость которого меньше. V у д а л = V 1 – V 2 , S = S о + ( V 1 – V 2 ) t .

Предположим, что водитель двигается со скоростью 60 км/ч, чтобы успеть на работу. Его коллега на автомобиле едет со скоростью 85 км/ч. Первый водитель начал свой путь на расстоянии от второго в 15 км. Попробуем вычислить время, которое потребуется второму водителю, чтобы догнать первого, при условии, что они выехали в одно и то же время.

Подставим значения в формулу, получим:

t = 15 / ( 85 — 60 ) = 3 5 = 36 ( м и н )

Рассмотрим другой пример. Задержка поезда в пути составила 12 мин. После этого поезд преодолел расстояние 60 км, увеличив скорость на 15 км/ч. Требуется определить первоначальную скорость, с которой двигался поезд.

Согласно условию задания, при движении поезда с начальной скоростью после задержки путь занял бы на 12 мин больше времени. Изобразим данные на рисунке:

Обозначим за х начальную скорость. В таком случае:

t 2 = 60 / ( х + 15 )

Воспользуемся записанной ранее формулой:

60 / х – 60 / ( х + 15 ) = 1 / 5

Второй корень является посторонним, так как скорость характеризуется положительной величиной.

Попробуем решить еще один пример на движение. Представим, что первый путешественник ехал на велосипеде со скоростью 16 км/ч в течение 1,5 ч. Затем он сделал остановку на 1,5 ч и продолжает ехать, не меняя скорость. После того, как в путь отправился первый велосипедист, спустя 4 ч, по тому же маршруту начал движение мотоциклист, двигаясь со скоростью 56 км/ч. Требуется вычислить пройденный путь этих путешественников до точки их встречи.

Заметим, что согласно условиям задачи первый путешественник начал свое движение раньше на 4 ч по сравнению со вторым. В некой точке В, отмеченной на рисунке, он остановился на отдых, который по времени занял 1,5 ч. Обозначим точку, в которой второй путешественник на мотоцикле догнал велосипедиста, буквой D. Определим, что на преодоление расстояния АD первому путешественнику потребовалось больше времени на 2,5 ч, так как 4-1,5 = 2,5.

Обозначим за х путь в км от точки А до точки D. Это расстояние первый путешественник проехал за время:

Аналогичный путь второй путешественник проехал за время:

t 1 – t 2 = 2 , 5 ( ч )

Исходя из полученных данных, можно записать уравнение:

x / 16 – x / 56 = 2 , 5

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

При удалении тел друг от друга их скорость удаления рассчитывается, как сумма скоростей этих тел:

ν у д а л = ν 1 + ν 2

Разберем наглядный пример. Пусть из одного города в противоположных направлениях движутся два автомобиля. Первая машина едет со скоростью 85 км/ч, а скорость второй составляет 60 км/ч. Попробуем вычислить расстояние, на которое будут удалены друг от друга эти автомобили через 2 часа в пути.

Получим, что первый автомобиль проедет за 2 часа 170 км. Расстояние, которое преодолеет второй автомобиль в течение 2 часов равно 120 км. Тогда расстояние между машинами, спустя 2 часа, составит 290 км.

Если решать задачу другим способом, то получится, что скорость удаления составит 145 км/ч. Расстояние при этом равно:

145 к м / ч · 2 ч = 290 к м

Время, которое тела провели в пути, удаляясь друг от друга, соответствует преодоленному расстоянию, поделенному на сумму скоростей этих тел:

t п у т и = S ν 1 + ν 2

Данный случай предполагает, что в начальный момент времени движущиеся тела удалены друг от друга не некоторое расстояние S 0 . Формула пути примет следующий вид:

S = S 0 + ν 1 + ν 2 · t

Представим, что из разных отправных точек выехали два мотоциклиста. Сначала они были удалены друг от друга на расстояние 86 км. Первый мотоциклист ехал со скоростью 90 км/ч. Скорость второго мотоциклиста составляла 105 км/ч. Требуется определить время, спустя которое расстояние между мотоциклистами станет равно 359 км.

Вычислим путь, который преодолели мотоциклисты:

Скорость удаления составит:

Найдем время, которое провели в пути мотоциклисты:

Нередко можно встретить задачи на движение тел навстречу друг другу. Разберем их решение на конкретном примере. Предположим, что объект А вышел из населенного пункта М навстречу объекту В из населенного пункта К. При этом А начал свой путь позже на 6 ч по сравнению с В. До точки встречи А преодолел расстояние меньше на 12 км, чем В. Из точки встречи А и В продолжили свое движение, не меняя скорость. Объект А достиг точки К, спустя 8 часов. На расстояние до точки М объект В потратил 9 ч. Требуется рассчитать расстояние МК и скорости, с которыми двигались объекты.

Обозначим vА за x (км/ч.), vВ=y(км/ч). Тогда:

В таком случае, расстояние от М до D объект А преодолеет за время:

Время, которое потребуется для В, чтобы из К прийти в D:

По условиям задания:

В связи с тем, что объект А начал свой путь позже на 6 ч, чем В, запишем:

В результате можно составить систему уравнений:

МК = 8*6 + 9*4 = 84 км

Ответ: 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.

Задачи на скорость сближения

При перемещении тел относительно друг друга в распространенных случаях необходимо определить их относительную скорость. Величина зависит от условий задачи:

относительная скорость равна сумме скоростей, когда рассматривается встречное движение тел;
относительная скорость равна разности скоростей, когда рассматривается однонаправленное движение тел.

Скорость сближения является суммой скоростей тел, которые движутся навстречу друг другу.

Предположим, что из двух разных точек А и В выехали два автомобиля и движутся навстречу друг другу. Первый автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. Скорость второго автомобиля составляет 40 км/ч. Встреча двух машин произошла, спустя 1,2 часа после начала пути. Нужно вычислить, на какое расстояние удалены друг от друга пункты А и В.

Логично предположить, что расстояние между точками отправления равно сумме расстояний, которые преодолели автомобили. Первый автомобиль преодолел такой путь:

60 · 1 , 2 = 72 ( к м )

Второй автомобиль преодолел такой путь:

40 · 1 , 2 = 48 ( к м )

Тогда расстояние между точками составит:

Существует второй способ решения этой задачи, который считается наиболее рациональным. В этом случае воспользуемся формулой сложения скоростей:

60 + 40 = 100 (км/ч)

Если автомобили сближаются со скоростью 100 км/ч, то расстояние составит:

100 · 1 , 2 = 120 ( к м )

Когда тела, расстояние между которыми составляет S, движутся навстречу друг другу, они встретятся через время, определяемое по формуле:

t в с т р = S ν 1 + ν 2

Представим, что две точки удалены друг от друга на расстояние 195 км. Из этих точек начали встречное движение два автомобиля. Скорость первой машины составила 50 км/ч, второе транспортное средство перемещалось со скоростью 80 км/ч. Попробуем вычислить время, через которое автомобили встретятся.

Обозначим за х время движения автомобилей. Тогда расстояние, которое проехала первая машина составит 50х. Второй автомобиль преодолел путь 80х. В таком случае точки А и В удалены друг от друга на расстояние:

Найдем корни полученного уравнения:

Попробуем решить задачу более рациональным способом с использованием формулы, записанной ранее. Скорость сближения автомобилей равна:

Время, которое автомобили были в пути:

Задачи на движение по течению и против течения

При решении задач на движение по течению и против течения следует руководствоваться стандартными формулами.

S = v · t v = S t t = S v

В том случае, когда тело с собственной скоростью v c перемещается по течению, скорость которого равна v t , справедливы следующие соотношения:

где v является скоростью движения тела

S = ( v c + v t ) · t

В том случае, когда тело с собственной скоростью v c перемещается против течения, скорость которого равна v t , справедливы следующие соотношения:

где v является скоростью движения тела

S = ( v c — v t ) · t

В задачах принято называть плотом тело с нулевой собственной скоростью. Таким образом, плот может перемещаться лишь по течению и имеет скорость течения.

Ровно в 9 ч самоходная баржа отправилась из точки А вверх по течению реки в точку В. После 2 ч задержки в пункте В транспорт отправляется в обратный путь и достигает точки А в 19 ч 20 мин в этот же день. Известно, что средняя скорость течения реки составляет 3 км/ч, а баржа имеет постоянную собственную скорость. Нужно вычислить время прибытия транспорта в точку В. Пункты А и В удалены друг от друга на 60 км.

Представим, что баржа обладает собственной скоростью х км/ч. Тогда по течению она двигалась такое время:

Путь против течения занял столько времени:

Общее время равно 8 1 3 . Запишем уравнение:

60 / ( х + 3 ) + 60 / ( х — 3 ) = 8 1 3

Второй корень является посторонним.

Тогда время, в течение которого баржа шла против течения реки, составит:

60 / ( 15 — 3 ) = 60 / 12 = 5 ч

В результате время прибытия баржи в точку В составит 14 ч.

Примеры решения задач

Велосипедист двигается с постоянной скоростью из пункта А в пункт В, которые удалены друг от друга на 60 км. После того, как он прибыл в пункт В, путь продолжается в обратном направлении с аналогичной скоростью. Спустя час, велосипедист останавливается на отдых. Остановка занимает по времени 20 мин. Затем движение продолжается, а скорость увеличивается на 4 км/ч. Требуется определить интервал, которому соответствует скорость велосипедиста, обозначенная за v. Зная, что обратный маршрут от В до А длился по времени не дольше, чем путь от А до В.

Обозначим за х (в км/ч) начальную скорость велосипедиста. Согласно условию задания:

t ( A B ) = ( 60 / х ) ч

t ( B А ) = ( 60 — х ) / ( х + 4 ) + 1 1 3 ч

t ( B А ) ≤ t ( A B )

( 60 — х ) / ( х + 4 ) + 1 1 3 ≤ 60 / х

( х 2 + 16 х – 720 ) / ( х ( х + 4 ) ) ≤ 0

( х – 20 ) ( х + 36 ) / х ( х + 4 ) ≤ 0

Два туриста на велосипедах отправились в одно и то же время из разных пунктов в точку назначения. Время в пути первого велосипедиста составило 2 ч. Для того чтобы прибыть в точку назначения одновременно с первым туристом, второму велосипедисту потребовалось проехать каждый последующий км пути на 1 мин быстрее по сравнению с предыдущим. Расстояние, которое преодолел второй турист на велосипеде больше на 6 км, чем путь первого туриста. Требуется определить скорости первого и второго велосипедистов.

Предположим, что первый турист на велосипеде преодолевал каждый км пути за х мин. Тогда его скорость равна 60/х км/ч. В таком случае, скорость второго велосипедиста составит 60/(х-1) км/ч. Составим уравнение:

60 / ( х – 1 ) * 2 – ( 60 / х ) * 2 = 6

Второй корень является посторонним.

Ответ: скорость первого велосипедиста 12 км/ч, второй велосипедист двигался со скоростью 15 км/ч.

Путь моторной лодки против течения равен 120 км. После того, как это расстояние было преодолено, лодка возвращается в точку отправления и тратит на это на 2 ч меньше. Требуется определить собственную скорость лодки при условии, что скорость течения составляет 1 км/ч.

Обозначим собственную скорость лодки за х км/ч. Тогда лодка двигается по течению со скоростью х+1 км/ч, а против течения скорость движения составляет х-1 км/ч. Внесем данные в таблицу и вычислим недостающие величины с помощью формулы t = S V :

Запишем уравнение, согласно условиям задачи:

120 x + 1 + 2 = 120 x — 1

120 ( x — 1 ) + 2 ( x — 1 ) ( x + 1 ) = 120 ( x + 1 ) , x ≠ ± 1

120 x — 120 + 2 x 2 — 2 = 120 x + 120 , x ≠ ± 1

Так как скорость является положительной величиной, единственный верный корень:

Лодка в 10 ч ровно отправилась из точки А в точку В, которые удалены друг от друга на 15 км. После остановки в пункте В на 1 ч 20 мин лодка продолжила свой путь в обратном направлении и прибыла в точку А в 16 ч ровно. Требуется рассчитать, какова собственная скорость лодки при известной скорости течения реки в 2 км/ч.

Обозначим за х собственную скорость лодки. Тогда по течению она двигалась со скоростью х+2 км/ч. Против течения скорость движения составляет х-2 км/ч. Составим таблицу:

Весь путь лодки занял:

6 ч — 1 ч 20 м и н = 4 ч 40 м и н = 4 2 3 ч

15 x — 2 + 15 x + 2 = 4 2 3

15 x — 2 + 15 x + 2 = 14 3

45 ( x + 2 ) + 45 ( x — 2 ) = 14 ( x — 2 ) ( x — 2 ) , x ≠ ± 2

90 x = 14 x 2 — 56 ; , x ≠ ± 2

7 x 2 — 45 x — 28 = 0

x = 45 ± 45 2 + 28 2 14

Ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч.

Из пункта А в пункт В отплыл первый теплоход. Спустя 2 часа после его отправления, свой путь начинает второй теплоход, скорость которого на 2 км/ч больше по сравнению со скоростью первого теплохода. Пункты отправления и назначения удалены друг от друга на 168 км. Требуется определить, с какой скоростью двигался первый теплоход. Известно, что в пункт В оба теплохода прибыли в одно и то же время.

Обозначим за х скорость, с которой двигался первый теплоход. В таком случае скорость движения второго теплохода составит х+2 км/ч. Их пути одинаковы и равны 168 км. Составим таблицу:

По условию задачи время в пути второго теплохода меньше на 2 ч. Запишем уравнение:

Как рассчитать время встречи движущихся навстречу объектов

1-й способ:	2-й способ:
1) 100 · 4 = 400 (км)	1) 100 + 70 = 170 (км/ч)
2) 70 · 4 = 280 (км)	2) 170 · 4 = 680 (км)
3) 400 + 280 = 680 (км)

как решать задачи на встречное движение

Пусть велосипедист ехал из А в В со скоростью км/час, тогда обратно он ехал со скоростью км/час. Разность времен на пути туда и обратно составляет 8 часов, откуда имеем:

0 6 10 12 18 20 24 30

Примеры задач из текстов ГИА и ЕГЭ

2. Средняя скорость

задачи на движение

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

v, км/ч

t, ч

S, км

Первый велосипедист

x + 10

$\frac<60><x+10>» width=»31″ height=»24″ /></td> <td>60</td> </tr> <tr> <td>Второй велосипедист</td> <td><em>x</em></td> <td><img decoding=$

удаление при движении

скорость сближения

Скорость удаления

сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна ;
отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна .

задачи на движение по кругу

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

задачи на движение мимо объекта

движение мимо протяженного объекта

задачи на движение по течению

задачи на движение против течения

112 ∙ $\frac<4><5>» width=»7″ height=»22″ />= v ∙ <img decoding=$ , отсюда 12L=L+99 и .

2/3

$80 \cdot \frac<2><3>» width=»38″ height=»22″ /></td> </tr> <tr> <td>2</td> <td><em>x</em></td> <td>2/3</td> <td><img decoding=$

Решение: Из условия задачи известны скорость каждого автомобиля и время, которое автомобили были в пути. Значит, можно найти расстояние, которое проехал каждый автомобиль до встречи. Для этого нужно скорость умножить на время:

1) 100 · 4 = 400 (км) — проехал первый автомобиль,

2) 70 · 4 = 280 (км) — проехал второй автомобиль.

Найдя сумму полученных результатов, узнаем расстояние между населёнными пунктами:

400 + 280 = 680 (км).

Данную задачу можно решить и другим способом. Каждый час расстояние между автомобилями сокращалось на 170 километров (100 + 70), 170 км/ч — это скорость сближения автомобилей. За 4 часа они проехали расстояние:

Таким образом, задачу на встречное движение можно решить двумя способами:

1-й способ:	2-й способ:
1) 100 · 4 = 400 (км)	1) 100 + 70 = 170 (км/ч)
2) 70 · 4 = 280 (км)	2) 170 · 4 = 680 (км)
3) 400 + 280 = 680 (км)

Ответ: Населённые пункты находятся на расстоянии 680 км.

Задача 2. Из двух посёлков навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов после выхода, если расстояние между посёлками 70 км?

Решение: Сначала можно определить сколько километров прошёл каждый из пешеходов за 5 часов, для этого скорость пешеходов умножим на 5:

1) 4 · 5 = 20 (км) — прошёл первый пешеход,

2) 5 · 5 = 25 (км) — прошёл второй пешеход.

Затем можно найти общий путь, пройденный двумя пешеходами за 5 часов:

Теперь можно найти расстояние между пешеходами, отняв от общего расстояния между посёлками 45 уже пройденных километров:

У данной задачи есть и второй вариант решения. Можно сначала найти скорость сближения пешеходов:

Затем найти пройденное расстояние, умножив скорость сближения (9 км/ч) на время движения пешеходов (5 ч):

А теперь, для нахождения расстояния между пешеходами, вычесть пройденное расстояние (45 км) из общего:

Таким образом, данная задача имеет два варианта решения:

1-й способ:	2-й способ:
1) 4 · 5 = 20 (км)	1) 4 + 5 = 9 (км/ч)
2) 5 · 5 = 25 (км)	2) 9 · 5 = 45 (км)
3) 20 + 25 = 45 (км)	3) 70 — 45 = 25 (км)
4) 70 — 45 = 25 (км)

Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 25 км.

Как решать задачи на движение на ЕГЭ по математике 2019

Классическим примером текстовой задачи, которая может встретиться вам на ЕГЭ, является задача на движение. Эти задачи довольно разнообразны и включают в себя: задачи на движение навстречу, задачи на движение вдогонку, задачи на движение по реке. И поэтому вопрос, как же решать задачи на движение, иногда ставят учеников в тупик.

Научиться решать такие задачи довольно легко, для этого нужно знать алгоритм, состоящий всего из 3 шагов.

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить

Для решения любой задачи на движение вам обязательно нужно знать всего одну формулу, которая вам уже давно известна:И уметь правильно выражать из этой формулы скорость и время:Многие ученики путаются при записи этих формул, допуская ошибки. Чтобы раз и навсегда запомнить формулы нахождения расстояния, скорости и времени, просто нарисуй треугольник. В верхнем углу треугольника напиши S, а внизу — V и t. Проведи горизонтальную черту между ними. Теперь мы можем закрыть рукой ту величину, которую нам нужно найти, и увидим формулу нахождения этой величины. Например, нам нужно найти расстояние. Закрываем рукой S, и на нашем рисунке останется V t – это и есть формула нахождения расстояния. Или нам нужно найти время. Закрываем рукой t, и на нашем рисунке остается – формула нахождения времени. Нужно найти скорость? Закрываем рукой V, получаем – формулу нахождения скорости. Главное запомнить, что S должна быть в верхнем углу. Это можно сделать, например, с помощью ассоциации, что S похожа на змею, а змея – хозяйка горы, поэтому она на вершине. Вот как выглядит такой магический треугольник:

3 простых шага решения задачи на движение

Чтобы правильно решить задачу на движение нужно:

Определить неизвестное и составить таблицу на основании условия задачи.
Составить уравнение на основании таблицы.
Вернуться к условиям задачи и записать правильный ответ.

Давайте подробнее разберем каждый шаг:

Вначале нам нужно внимательно прочитать условие задачи и определить, что же взять за переменную Х. Чаще всего в задачах на движение удобнее всего за переменную Х обозначить скорость. Если же скорость нам прямо дана в условиях задачи, то за переменную Х обозначаем время. Если в условиях задачи прямо указаны значения и скорости, и времени, тогда за переменную Х берем расстояние. Затем из условий задачи определить все, что нам известно и занести в таблицу.
На основании полученной таблицы составляем уравнение и решаем его. После решения уравнения не торопимся записывать ответ. Ведь нахождение Х – это не всегда ответ к исходной задаче. Такую ошибку совершают многие ученики: фактически правильно решив задачу, они записывают неправильный ответ.
После решения уравнения возвращаемся к условиям задачи и смотрим, что же требовалось найти. Находим неизвестное и записываем ответ.

Задачи на движение бывают разными. В таких задачах участники движения могут двигаться навстречу друг другу, вдогонку, они могут двигаться по реке (против течения или по течению). Каждая из этих задач имеет особенности решения, о которых мы поговорим ниже и разберем на примерах.

Задачи на движение вдогонку: примеры с решением

При решении задачи, по условия которой оба участника движения двигаются в одном направлении, как правило, сравнивается время их движения. Необходимо запомнить правила:

Если время движения сравнивается (то есть присутствуют слова больше/меньше), то мы приравниваем время и прибавляем слагаемое. То есть чтобы получить большее время, мы прибавляем к меньшему времени что-то еще (из условий задачи).
Если условия задачи содержат общее время, то дроби, выражающее время, складываются.

Давайте разберем, как работают эти правила при решении задач.

Задача 1

Велосипедист и автомобилист одновременно выехали из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 50 км. Известно, что скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, чем у велосипедиста, в результате чего автомобилист приехал в пункт Б на 4 часа раньше. Найдите скорость велосипедиста.

1. Необходимо определить, что взять за переменную Х и составить таблицу. Вспоминаем, что удобнее всего за Х обозначить скорость в том случае, если она прямо не указано в условиях задачи.

В нашем случае скорость в условиях задачи не указана, поэтому скорость велосипедиста обозначаем за Х.

Составляем таблицу, данные для которой берем из условий задачи.

Итак, расстояние (S) нам известно – 50 км, скорость велосипедиста – х, скорость автомобилиста на 40 км/ч больше, значит она равна х + 40. Чтобы определить время вспоминаем формулу t = S / V и подставляем в нее наши значения. Время, затраченное велосипедистом, получится 50 / х, а время, затраченное автомобилистом — 50 / (х + 40).2. На основании таблицы и условий задачи необходимо составить уравнение.

Из условий задачи нам известно, что автомобилист приехал раньше велосипедиста на 4 часа (смотрим наше первое правило). Это значит, что велосипедист затратил на 4 часа больше времени, чем автомобилист. Следовательно,

50 / (х + 40) + 4 = 50 / х

Решаем полученное уравнение, для этого приводим наши дроби к одному знаменателю:

50х + 4х (х + 40) – 50 (х+40) / х (х + 40) = 0

(50х + 4х 2 + 160х – 50х – 2000) / х (х+40) = 0

(4х 2 + 160х – 2000) / (х 2 + 40х) = 0

Умножим обе части уравнение на х 2 + 40х:

4х 2 + 160х – 2000 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

х 2 + 40х – 500 = 0

D = 40 2 – 4 * 1 * (-500) = 3600

Далее находим корни уравнения:

х₂ = — 50

3. Возвращаемся к условиям задачи и вспоминаем, что же требовалось найти.

Нам нужно было определить скорость велосипедиста, которую мы обозначили за Х.

Скорость велосипедиста должна быть положительна, поэтому х₂ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, нас интересует только х₁ и скорость велосипедиста равна 10 км/ч.

Задача 2

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 80 км. На следующий день он поехал обратно, при этом его скорость была на 2 км/ч больше прежней. По пути велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа. В итоге на возвращение из города Б в город А у него ушло времени столько же, сколько на путь из города А в город Б. Найдите скорость велосипедиста на пути из города А в город Б.

1. Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город Б как переменную Х.

Из условий задачи: расстояние — 80 км, скорость велосипедиста во второй день – х. Его скорость во второй день была на 2 км/ч больше, чем в первый день, т.е. в первый день она была ниже, следовательно, скорость велосипедиста в первый день равна х – 2. Определим затраченное велосипедистом время на путь по формуле t = S / V. Тогда время, затраченное в первый день на путь равно 80 / х, во второй день — 80 / (х + 2).2. На основании таблицы и условий задачи составим уравнение.

Из условий задачи нам известно, что во второй день велосипедист останавливался и отдыхал 2 часа, следовательно, в пути он провел на 2 часа меньше (смотрим наше первое правило). Также нам известно, что общее затраченное велосипедистом время в первый и во второй дни равно. Следовательно:

80 / (х + 2) + 2 = (80 / х)

Решаем полученное уравнение, для чего приводим дроби к общему знаменателю:

(80х + 160 – 80х – 2х (х+2)) / х (х + 2) = 0

Умножаем обе части уравнения на х (х + 2):

160 – 2х 2 + 4х = 0

— 2х 2 — 4х + 160 = 0

Делим обе части уравнения на -2:

D = 2 2 – 4 * 1 * (-80) = 4 + 320 = 324

Тогда корни уравнения равны:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость велосипедиста на пути из города А в город Б, которую мы обозначали за Х.

Скорость должна быть положительна, поэтому х₂ = — 10 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 8.

Задачи на движение навстречу: примеры с решением

Главное, что нужно помнить о движении навстречу: скорости участников движения складываются.

В тех случаях, когда нам неизвестно общее расстояние, то есть мы не можем его определить из условий задачи и из составленных уравнений, данное расстояние следует принимать за единицу.

Примеры решения задач на движение навстречу:

Задача 1

Из города А в город Б выехал автомобилист, через 3 часа навстречу ему выехал мотоциклист со скоростью 60 км/ч. Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Расстояние между городами А и Б равно 470 км. Найдите скорость автомобилиста.

1. Обозначим скорость автомобилиста как Х.

Автомобилист и мотоциклист встретились на расстоянии 350 км от города А. Следовательно, автомобилист проехал 350 км, а мотоциклист 470 – 350 = 120 км.

Составим таблицу:2. Составим уравнении на основании таблицы и условий задачи.

Из условий задачи известно, что автомобилист ехал на 3 часа дольше, чем мотоциклист (пользуемся первым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Следовательно:

Решаем полученное уравнение:

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти скорость автомобилиста, которую мы обозначали за Х. Следовательно, скорость автомобилиста равна 70 км/ч.

Задача 2

Из городов А и Б одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и велосипедист. Автомобилист приехал в город А на 6 часов раньше, чем велосипедист приехал в город Б. Встретились они через 4 часа после начала движения. Сколько времени затратил автомобилист на путь из города Б в город А?

1. Время автомобилиста обозначим как Х.

Примем расстояние между городами А и Б за единицу. Остальные данные берем из условий задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение на основании таблицы и условий задачи.

Известно, что велосипедист и автомобилист встретились через 4 часа после начала движения и в сумме преодолели все расстояние от города А до города Б. То есть все расстояние от города А до города Б было преодолено за 4 часа.

Вспоминаем, что при движении навстречу скорости движения участников складываются. Подставим в формулу пути известные нам данные:

((1 / х) + (1 / (х — 6))) * 4 = 1

Решаем полученное уравнение:

(4 / х) + (4 / (х — 6)) = 1

Приводим дроби к одному знаменателю:

(4х — 24 + 4х — х 2 + 6х) / (х (х — 6)) = 0

Делим обе части уравнения на х (х — 6), при условии, что х > 6:

-х 2 + 14х — 24 = 0

Умножим обе части уравнение на -1:

х 2 — 14х + 24 = 0

Находим дискриминант нашего квадратного уравнения:

D = 14 2 – 4 * 1 * 24 = 100

Находим корни уравнения:

х₂ 2 + 40х – 40х – 200 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти собственную скорость катера, которую мы обозначили за Х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -15 противоречит условию задачи. Следовательно, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Задача 2

Моторная лодка вышла в 9:00 из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 30 км. Пробыв в пункте Б 3 часа, моторная лодка повернула назад и вернулась в пункт А в 20:00. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость моторной лодки 8 км/ч.

1. Обозначим скорость течения реки за х. Остальные данные берем из условия задачи.

Составим таблицу:2. Составим уравнение.

Нам известно, что моторная лодка начала свое движение в 9:00, а закончила в 20:00, а также в течение этого времени пробыла без движения во время стоянки – 3 часа. Таким образом, общее время движения будет 20 – 9 – 3 = 8 часов. Когда речь идет об общем времени движения, то нам нужно сложить время движения по течению и время движения против течения (пользуемся вторым правилом, которое разбирали при решении задач на движение вдогонку). Получаем:

30 / (8+х) + 30 / (8-х) = 8

Решаем полученное уравнение. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

(30 (8+х) + 30 (8-х) – 8 (8-х) (8+х)) / (8-х) (8+х) = 0

Умножаем обе части уравнения на (8-х) (8+х):

240 + 30х + 240 – 30х – (64 – 8х) (8+х) = 0

480 – 512 – 64х + 64х – 8х 2 = 0

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам необходимо было найти скорость течения, которую мы обозначили за х. Так как скорость не может быть отрицательной, то х₁ = -2 противоречит условию задачи. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

Итак, мы разобрались, как решать задачи на движения. В ЕГЭ 2019 помимо задач на движение могут содержаться и другие текстовые задачи: на смеси и сплавы, на работу, на проценты. О том, как их решать, вы можете узнать на нашем сайте.

Задачи на движение

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

Основная формула:S=ν*t;
Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов. Получить карточки с задачами разных видов можно по ссылке.

Задачи на движение

Задачи на движение начинают проходить в 5 классе и решают все оставшиеся учебные годы вплоть до 11 класса. В ЕГЭ по математике вы найдете задачи на движение в задании 11, в котором собраны все текстовые задачи. Рассмотрим как надо решать задачи на движение из ЕГЭ. Но сначала немного теории.

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

Анализ данных.
Составление таблицы.
Составление уравнения.
Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения.
Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.

Примеры решения

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10		60
Второй велосипедист	x		60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

При движении в противоположном направлении объекты удаляются:

В обоих случаях объекты как бы «помогают» друг другу преодолеть общее для них расстояние, «действуют сообща». Поэтому чтобы найти их совместную скорость (это и будет скорость сближения или удаления), нужно складывать скорости объектов:

Движение друг за другом (вдогонку)

При движении в одном направлении объекты также могут как сближаться, так и удаляться. В этом случае они как бы «соревнуются» в преодолении общего расстояния, «действуют друг против друга». Поэтому их совместная скорость будет равна разности скоростей.

Если скорость идущего впереди объекта меньше скорости объекта, следующего за ним, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если объект, идущий впереди, движется с большей скоростью, чем идущий следом за ним, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

При движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях скорости складываем.
При движении в одном направлении скорости вычитаем.

Задачи на движение по кругу

При движении по кругу объекты могут:

сближаться, если скорость догоняющего больше скорости догоняемого. Скорость сближения будет равна ;
отдаляться, если скорость догоняющего меньше скорости догоняемого. Скорость удаления будет равна .

При этом пройденные расстояния измеряются длиной круговой трассы, равной S.

Если два объекта начинают движение по кругу из одной и той же точки, то в момент первой встречи более быстрый объект пройдет расстояние на один круг больше.
Если два объекта начинают движение по кругу из разных точек, расстояние между которыми равно S₀, то в момент первой встречи догоняющий объект пройдет на S₀ км большее расстояние, чем догоняемый.
Если через определенное время t первый объект опережает второй на m кругов, то разница пройденных объектами расстояний будет равна m · S: S₁ – S₂ = m · S.

Задачи на движение мимо объекта

В задачах на движение мимо объекта обязательно присутствуют протяженные тела — поезда, туннели, корабли и т. п. Зачастую движущимся объектом является поезд.

Если поезд длиной L движется мимо точечного объекта (столба, светофора, человека), то он проходит расстояние, равное его длине L:

При этом, если точечный объект (пешеход, велосипедист) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если поезд и объект двигаются в разных направлениях (как в пункте 1), и равна разности скоростей, если они двигаются в одном направлении (как в пункте 2).

Если поезд длиной L₁ движется мимо протяженного объекта (туннеля, лесополосы) длиной L₂, то он проходит расстояние, равное сумме длин самого поезда и протяженного объекта:
S = L₁ + L₂ = v₀ · t.

При этом, если протяженный объект (например, другой поезд) тоже движется, то совместная скорость равна сумме скоростей, если оба объекта двигаются в разных направлениях, и равна разности скоростей (из большей вычитается меньшая), если они двигаются в одном направлении.

Задачи на движение по течению и против течения

В задачах на движение помимо собственной скорости плывущего тела нужно учитывать скорость течения.

При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела: v = v₀ + v_теч.

При движении против течения скорость течения отнимается от скорости плывущего тела: v = v₀ – v_теч.

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 44 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 44 км больше, чем второй, отсюда имеем:

112 ∙ = v ∙ = v ∙ + 44 ⇔ 4 ∙ v = 112 ∙ 4 – 44 ∙ 5 ⇔ v = 57.

Следовательно, скорость второго автомобиля была равна 57 км/ч.

Ответ: 57 км/ч.

Задача 2.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

До первой встречи велосипедист провел на трассе 1/5 часа, а мотоциклист 1/30 часа. Пусть скорость мотоциклиста равна v км/ч, тогда скорость велосипедиста равна

Тогда если скорость велосипедиста – это 1 единица отношения, то скорость мотоциклиста – это 6 единиц отношения.

Так как они едут в одном направлении, их общая скорость 5 единиц отношения.

∙5 ед.отн. = 5

Таким образом, скорость мотоциклиста была равна 120 км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

Задача 3

Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

Решение: Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой ― 1 деление/час. До девятой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 8 раз «обогнать» часовую, то есть пройти 8 кругов по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет L делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 96 делений, ещё 3 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 3 часа) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

, отсюда , отсюда и .

Ответ: через 9 минут.

Задача 4

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Данную задачу можно интерпретировать (представить её, как задачу на линейное движение): Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 80 км/ч. Через 40 минут он опережает второго на 14 км (т. к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в заданиях на движение представить сам процесс этого движения.

Сравнение так же производим по расстоянию.

За x принимаем искомую величину ― скорость второго. Время движения 40 минут (2/3 часа) для обоих. Заполним графу «расстояние»:

v	t	S
1	80	2/3
2	x	2/3

Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 14 км.

80 ∙ больше, чем x ∙ больше, чем x ∙ на 14.

80 ∙ = x ∙ = x ∙ + 14;

– – = x ∙ ;

Скорость второго автомобиля 59 (км/ч).

Ответ: 59 км/ч.

Задача 5

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна v + 40 км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Прямолинейное движение: равномерное и равноускоренное

Задачи ЕГЭ по кодированию генетического кода

Как решать текстовые задачи по математике ЕГЭ

Как решать задачи на вероятность

Как решать экономические задачи егэ по математике профильный уровень

Сочинение на тему: Автор и его герой в поэме «Василий Теркин». Движение сюжета поэмы

33. Решение задач на движение

Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но наряду с этим существует и самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются па основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (s), скорость (v), время (t); основное отношение (зависимость) между ними: s = v ∙ t.

Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение.

Задачи на встречное движение двух тел

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁ , движение второго — s₂, v₂, t₂, . Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 50):

Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t₁, = t₂ = t _вапр.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. vсбл. = v ₁+ v₂.

Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = vсбл.∙ t _вапр

Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого — 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой — 4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти время, через которое

они встретятся, начав движение одновременно. Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными — схематический чертеж (рис. 51) или таблица.

Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов ивсе расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:

2) 18:9 = 2(ч) Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движения.

Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один их них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.

Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили -600 км. Требуется определить скорости движения.

? на 16 км/ч больше

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различными: схематический чертеж (рис. 52) или таблица.

Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно найти скорость сближения автомобилей. Затем, зная, что скорость одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости автомобилей. При этом можно воспользоваться вспомогательной моделью.

600:5= 120 (км/ч) – скорость сближения автомобилей

120 — 16 = 104 (км/ч) – скорость сближения, если бы скорость автомобилей была одинаковой

104:2 =52 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

52 + 16 = 68 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Есть и другие арифметические способы решения данной задачи, вот два из них.

1) 600:5= 120 (км/ч) 1) 16-5 = 80 (км)

120 + 16 = 136 (км/ч) 2) 600 — 80 = 520 (км)

136:2 = 68 (км/ч) 3) 520:2 = 260 (км)

68 -16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)

Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытайтесь найти другие способы решения данной задачи.

Задачи на движение двух тел в одном направлении

Среди них следует различать два типа задач:

движение начинается одновременно из разных пунктов;

движение начинается в разное время из одного пункта.

Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s₁, v₁, t₁ , движение второго — s₂, v₂, t₂, .

Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис 54):

Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v₁ > v₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние

v₁ — v₂.. Это расстояние называют скоростью сближения: vсбл. = v₁ — v₂..

Расстояние s , представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:

s = s₁ — s₂ и s = vсбл. ∙ tвстр.

Задача 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного — 40 км/ч, другого — 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?

Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого — 50 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж или таблица.

Сравнение скоростей мотоциклистов говорит о том, что в течение часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, которое за такое же время пройдет второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:

50 — 40 = 10 (км/ч) — скорость сближения мотоциклистов

30:10 = 3 (ч) — за это время первый мотоциклист догонит второго. Наглядно этот процесс представлен на рисунке 56, где единичный отрезок изображает расстояние, равное 10 км.

Задача 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?

Решение. В задаче рассматривается движение в одном направлении всадника и пешехода. Движение началось одновременно из разных пунктов, расстояние между которыми 24 км, и с разной скоростью: у всадника — 12 км/ч, у пешехода — 4 км/ч. Требуется узнать расстояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента встречи всадника и пешехода.

Вспомогательные модели: схематический чертеж (рис. 57) или таблица.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти время, которое будет находиться в пути пешеход или всадник, — время их движения до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано в предыдущей задаче. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие действия:

12-4 = 8 (км/ч) — скорость сближения всадника и пешехода.

24:8 = 3 (ч) — время, через которое всадник догонит пешехода

4 ∙ 3 — 12 (км) — расстояние от В, на котором всадник догонит пешехода.

Задача 5. В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?

Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.

Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вылета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, пройденное поездом до момента вылета самолета. А дальше как в задаче 3.

24 — 7 — 17 (ч) — столько времени был в пути поезд в тот день, когда он вышел из Москвы.

17 + 13 = 30 (ч) — столько времени был в пути поезд до момента вылета самолета.

60 ∙ 30 — 1800 (км) — путь, пройденный поездом до момента вылета самолета.

780 — 60 = 720 (км/ч) — скорость сближения самолета и поезда.

1800:720 = 2—(ч)-время, через которое самолет догонит поезд.

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.

Общим теоретическим положением для них будет следующее: vудал. = v₁ + v₂.. соответственно скорости первого и второго тел, а vудал. — это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.

Задача 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?

Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и время их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они будут находиться друг от друга через указанное время.

Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими: схематический чертеж или таблица.

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:

2) 70 ∙ 3 = 210 (км)

3) 180 + 210 = 390 (км) Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:

60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость удаления поездов

130 ∙3 = 390 (км) — расстояние между поездами через 3 ч. Задача 7. От станции Л отправился поезд со скоростью 60 км/ч

Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч после выхода второго поезда?

Решение. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи представлена на рис. 59. Решить ее можно двумя арифметическими способами.

2 + 3 = 5 (ч) — столько времени в пути был первый поезд.

60 5 ∙ 300 (км) — расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд.

70 ∙ 3 — 210 (км) — расстояние, которое прошел второй поезд.

300 + 210 = 510 (км) — расстояние между поездами.

60 + 70 = 130 (км/ч) — скорость удаления поездов.

130 ∙ 3 = 390 (км) расстояние, на которое удалились поезда за 3 ч.

60 ∙ 2 = 120 (км) — расстояние, пройденное первым поездом за 2 ч.

390 + 120 = 510 (км) — расстояние между поездами.

Задачи на движение по реке

При решении таких задач различают: собственную скорость движущегося тела, скорость течения реки, скорость движения тела по течению и скорость движения тела против течения. Зависимость между ними выражается формулами:

vпо теч. = vсбл. + vтеч.р.;

vпр. теч. = vсбл. – vтеч.р.

vсбл. = (vтеч.р + vпр. теч.) : 2.

Задача 8. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двигается против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?

Решение. В данном случае удобно все данные, неизвестные и искомое, записать в таблицу.

Таблица подсказывает последовательность действий: найти сначала скорость движения катера по течению и против течения, затем, используя формулы, — собственную скорость катера и, наконец, время, за которое он проплывет 135 км по озеру:

360:12 = 30 (км/ч) — скорость катера по течению реки.

360:15 — 24 (км/ч) — скорость катера против течения реки.

24 + 30 — 54 (км/ч) — удвоенная собственная скорость катера.

54:2 = 27 (км/ч) — собственная скорость катера

135: 27 = 5 (ч) — время, за которое проплывет катер 135 км.

Р е ш е н и е з а д а ч, с в я з а н н ы х с р а з л и ч н ы м и

п р о ц е с с а м и (работа, наполнение бассейнов и др.)

Задача 9. Двум рабочим дано задание изготовить 120 деталей. Один рабочий зготавливает 7 деталей в час, а другой — 5 деталей в час. За сколько часов рабочие выполнят задание, работая вместе?

Решение. В задаче рассматривается процесс выполнения двумя рабочими задания по изготовлению 120 деталей. Известно, что одни рабочий делает в час 7 деталей, а другой — 5. Требуется узнать время, за которое рабочие сделают 120 деталей, работая вместе. Чтобы найти ответ на это требование, надо знать, что процесс, о котором идет речь в задаче, характеризуется тремя величинами:

— общим количеством произведенных деталей это результат процесса; обозначим его буквой К;

— количеством изготовленных деталей за единицу времени (это производительность труда или скорость протекания процесса); обозначим его буквой к;

— временем выполнения задания (это время протекания процесса), обозначим его буквой t.

Зависимость между данными величинами выражается формулой К=кt.

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, т.е. время t надо найти количество деталей, изготавливаемых рабочими за 1 ч при совместной работе, а затем разделить 120 деталей на полученную производительность. Таким образом, будем иметь: к = 7 + 5 = 12 (деталей в час):,

T = 120:12= 10 (ч).

Задача 10. В одном резервуаре 380 м 3 воды, а в другом — 1500 м 3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м 3 воды, а из второго каждый час выкачивают по 60 м 3 воды. Через сколько часов в резервуарах воды станет поровну?

Решение. В данной задаче рассматривается процесс заполнения водой одного резервуара и выкачивания воды из другого. Этот процесс характеризуется следующими величинами:

— объемом воды в резервуарах; обозначим его буквой V;

— скоростью поступления (накачивания) воды; об о з н а ч и м его б у к в о й v;

— временем протекания процесса; обозначим его буквой t

380 м 3 1500 м 3

Зависимость между названными величинами выражается формулой V = v ∙ t

Процесс, описанный в данной задаче, аналогичен движению двух объектов навстречу друг другу. Это можно наглядно представить, построив вспомогательную модель (рис. 60).

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти скорость «сближения» уровней воды в резервуарах и объем воды, при котором происходит выравнивание этих уровней, а затем разделить этот объем на скорость «сближения». Запишем решение задачи по действиям:

1)80 + 60 = 140 (мЗ);

1500 – 380 = 1120 (м 3 ):

Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, выполним проверку.

За 8 ч в первый резервуар поступит 640 м 3 (80 ∙ 8 = 640), а из второго выкачают

480 м 3 (60 ∙ 8 = 480). Тогда в первом воды будет 1020 м 3 (380 + 640 = 1020), и во втором — столько же (1500 — 480 = 1020), что удовлетворяет условию задачи.

Читать:

Stress fpu aida64 что это

предыдущая запись

Как рассчитать вклад в экселе

следующий пост

Как рассчитать время встречи движущихся навстречу объектов

Метод решения задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Задачи на скорость сближения

Задачи на движение по течению и против течения

Примеры решения задач

Как рассчитать время встречи движущихся навстречу объектов

Примеры задач из текстов ГИА и ЕГЭ

2. Средняя скорость

Как решать задачи на движение на ЕГЭ по математике 2019

Формула, которую обязательно нужно знать, и секрет, как ее легко запомнить

3 простых шага решения задачи на движение

Задачи на движение вдогонку: примеры с решением

Задача 1

Задача 2

Задачи на движение навстречу: примеры с решением

Задача 1

Задача 2

Задача 2

Задачи на движение

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задачи на встречное движение

Задача 4.

Задача 5.

Задачи на движение в противоположных направлениях

Задача 6.

Задача 7.

Задачи на движение в одном направлении

Задача 8.

Задача 9.

Задача 10.

Задачи на движение по реке

Задача 11.

Итак, для решения задач на движение:

Заключение.

Задачи на движение

Как решать задачи на движение

Примеры решения

Виды задач на движение

Движение навстречу друг другу, движение в противоположных направлениях

Движение друг за другом (вдогонку)

Задачи на движение по кругу

Задачи на движение мимо объекта

Задачи на движение по течению и против течения

Задачи на движение из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3

Задача 4

Задача 5

33. Решение задач на движение

Как рассчитать вклад в экселе

Как рассчитать длину кабеля для лвс

Похожие статьи