Сокращение дробей онлайн
Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель (то есть делятся нацело на одно и то же число), то числитель и знаменатель дроби можно разделить на него. Эта операция называется сокращением дроби.
Как сократить дробь
Чтобы разобраться, как сокращать дроби, мы рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сократим дробь .
Решение. Наибольшее число, на которое делятся и , равно . Поэтому чтобы сократить нашу дробь, поделим её числитель и знаменатель на :
Пример 2. Сократить на дробь .
Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на :
В примерах выше мы быстро подобрали число, на которое делятся и числитель, и знаменатель дроби. Но как же самостоятельно понять, на какое число сократить дробь?
Можно по очереди перебирать числа, начиная с 2, и проверять, делятся ли числитель и знаменатель на это число. Также пригодится знание признаков делимости чисел. Для решения большинства примеров достаточно самых простых признаков делимости на 2, 3, 5 и так далее.
Несократимой называется дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа (то есть не имеют общих делителей кроме ). Чтобы сделать дробь несократимой, нужно поделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
Сократить дробь онлайн
Калькулятор поможет вам быстро сократить любую числовую дробь онлайн. В ответе показывается, на какое число сокращаются числитель и знаменатель дроби, поэтому разобраться будет очень просто.
Сократимые дроби
Все обыкновенные дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Такое разделение дробей зависит от наличия или отсутствия общих делителей числителя и знаменателя, отличных от единицы.
Сократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют положительный отличный от единицы общий делитель.
Например, обыкновенная дробь $\frac<4><20>$ является сократимой, т.к. числитель $4$ и знаменатель $20$ делятся на $4$, т.е. имеют положительный общий делитель $4$, отличный от единицы. Сократимыми также являются дроби $\frac<3><12>$, $\frac<7><7>$. Легко увидеть, что числитель $3$ и знаменатель $12$ имеют отличный от единицы положительный общий делитель $3$, а числа $7$ и $7$ имеют общий делитель $7$.
Несократимая обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми, т.е. имеют единственный общий положительный делитель — единицу.
Например, дроби $\frac<3><5>$, $\frac<11><4>$, $\frac<171><5>$, $\frac<18><35>$ являются несократимыми, т.к. числитель и знаменатель каждой из них — взаимно простые числа.
Правила проверки дроби на сократимость
В самых простых случаях проверить дробь на сократимость можно с помощью признаков делимости.
Например, легко увидеть, что дробь $\frac<230><450>$ сократима, т.к. ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $10$. Или с помощью признака делимости на $2$ можно утверждать, что дробь $\frac<368><6824>$ сократима.
В более сложных случаях с помощью признаков делимости сложно выяснить, сократима ли данная дробь. Например, сложно определить, сократима дробь $\frac<240671><357893>$. В таких случаях удобно использовать общий метод проверки дроби на сократимость.
Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость
Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:
- если $НОД=1$, то дробь является несократимой;
- если $НОД\ne 1$, то дробь является сократимой.
Проверить на сократимость обыкновенную дробь $\frac<203><861>$.
Решение.
Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми числами. Для этого найдем НОД числителя и знаменателя и проверим, равен ли он единице.
НОД вычислим по алгоритму Евклида:
Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель данной дроби не являются взаимно простыми числами, поэтому $\frac<203><861>$ — сократимая дробь.
Ответ: дробь $\frac<203><861>$ — сократимая.
Сокращение дробей
Чтобы сократить дробь, нужно ее числитель и знаменатель разделить на их общий положительный отличный от единицы делитель. В результате сокращения дроби получают новую дробь, равную исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Например, сократим обыкновенную дробь $\frac<7><21>$ на $7$, т.к. $7\div 7=1$ и $21\div 7=3$. В результате сокращения получим дробь $\frac<1><3>$, для которой $\frac<7><21>=\frac<7\cdot 1><7\cdot 3>=\frac<1><3>$.
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
Обычно дроби сокращают для получения несократимых дробей, которые равны исходным сократимым дробям. Несократимую дробь можно получить в результате сокращения исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя — наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь.
Дробь $\frac
Таким образом, для приведения обыкновенной дроби к несократимому виду необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Под фразой «сократите дробь» чаще всего подразумевают приведение исходной дроби к несократимому виду. Т.е. именно деление числителя и знаменателя на их НОД, а не деление на любой их общий делитель.
Правило сокращения дробей
Найти НОД числителя и знаменателя дроби.
Разделить числитель и знаменатель дроби на их НОД, в результате чего получают несократимую дробь, равную исходной.
Сократить дробь $\frac<187><231>$.
Решение.
Воспользуемся правилом сокращения дробей:
Найдем НОД($187, 231$).
Наиболее удобным является алгоритм Евклида:
\[231=187\cdot 1+44\]\[187=44\cdot 4+11\]\[44=11\cdot 4\]
Таким образом, НОД($187, 231)=11$.
Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac<187><231>$ на $11$, в результате чего получим несократимую дробь, равную исходной дроби:
Иногда для сокращения дробей (в более простых случаях) применяют способ \textit<разложения дроби на простые множители>, после чего убираются все общие множители из числителя и знаменателя. Этот способ вытекает из правила сокращения дробей, т.к. НОД равен произведению всех общих простых множителей числителя и знаменателя.
Сократить дробь $\frac<720><960>$.
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе (для удобства их часто зачеркивают):
Также можно использовать еще один способ сокращения дроби — последовательное сокращение. Т.е. на каждом шаге проводят сокращение дроби на общий делитель числителя и знаменателя, который легко определяется, например, по признакам делимости.
Решение.
Легко увидеть, что общим множителем числителя и знаменателя дроби является число $10$. После сокращения дроби $\frac<5000><21150>$ на $10$ получим $\frac<500><2115>$.
Далее сократим дробь $\frac<500><2115>$ на $5$, исходя из признака делимости на $5$. Получим $\frac<100><423>$ — несократимую дробь. Сокращение завершено.
Сокращение дробей: правила и примеры
Разберемся в том, что такое дробь в математике, что значит сократить дробь, зачем и как сократить дроби, приведем правила сокращения дробей и примеры сокращения дробей с использованием упрощенных вариантов. Также мы разберемся, какие бывают дроби в математике и алгебраической системе (десятичная, двойная, смешанная и др).
Что такое правильное «сокращение дробей»
Как сокращать дроби?
Сократить дробь — в значении быстро делить ее числитель и знаменатель на общий делитель дробей, положительный и отличный от единицы (научиться решать без калькулятора).
В результате такого действия упрощения получится целая дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее с помощью подробного описанного выше метода. Будем выполнять деление числителя и знаменателя на 2 , в результате должного выполнения получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . Это будет означать, что в этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы объяснили и научили вас сокращать дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить из объяснения, что можно упростить дробь еще плюс несколько раз, и почему такой пример может разрешаться. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге решения несократимой дроби. Как правильно привести дробь к несократимому виду? Приведем простой пример, который поймет любой учащийся любого класса или ребенок даже без решебника и вычитания онлайн.
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ÷ Н О Д ( a , b ) b ÷ Н О Д ( a , b )
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду, необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы избежать работы с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если возможно упрощать какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду (можно сказать неправильному), а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби, достаточно запомнить правило, которое включает из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить числитель и знаменатель на их НОД.
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д ( 182 , 195 ) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно выливать (раскладывать) числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Так как общие множители в числителе и знаменателе нельзя или невозможно допустить, избавимся от них. В результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь будет сокращаться на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 20 44 делятся на 2 . Сокращаем и приходим к виду:
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
Сократимые и несократимые дроби.
Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.
Сократимая дробь, определение и примеры.
Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.
Например:
Докажите, что дробь \(\frac<20><35>\) является сократимой.
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7
Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.
Из сократимой дроби \(\frac<20><35>\) получили несократимую дробь \(\frac<4><7>\).
Несократимая дробь, определение и примеры.
Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.
Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.
Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой дробью.
Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой.
Правило несократимой дроби.
- Нужно расписать на простые множители числитель и знаменатель.
- Нужно посмотреть есть ли у числителя и знаменателя общие множители. Если множители есть, то сократить дробь.
- Оставшиеся множители перемножить и записать полученную несократимую дробь.
Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac<55><100>\).
Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.
Ответ: получили несократимую дробь \(\frac<11><20>\).
Неправильные сократимые и несократимые дроби.
Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:
Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac<32><20>\).
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем
Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac<16><5>\).
Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.
Определите сократима ли дробь \(\frac<16><25>\).
Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.
Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac<8><25>\) б) \(\frac<6><4>\) в) \(\frac<13><5>\) г) \(\frac<36><44>\).
Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<8><25>\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.
б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<6><4>\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac<6><4>=\frac<2 \times 3><2 \times 2>=\frac<3><2>\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.
в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<13><5>\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.
г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<36><44>\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac<36><44>=\frac<4 \times 9><4 \times 11>=\frac<9><11>\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.
Ответ: \(\frac<8><25>\) несократимая, правильная дробь.
Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.
Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.
б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.
в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac<1><133>\) до \(\frac<132><133>\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.
г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.
Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?
Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.