Как привести квадратичную форму к диагональному виду

2

§3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду

называется диагональным видом квадратичной формы. Говорим, что квадратичная форма k(x) приведена к диагональному виду, если указан такой базис, в котором она имеет вид (6.4). Если в (6.4) все коэффициенты ₁, ₂,…, _n равны 1, 1 или 0, то говорим, что k(x) имеет канонический вид.

Теорема 6.2. Всякую квадратичную форму, определённую на векторном пространстве L n , с помощью выбора нового базиса можно привести к диагональному виду. Причём, если пространство является евклидовым, мы можем это сделать с помощью выбора нового ОНБ.

Доказательство. Пусть сначала наше пространство является евклидовым. Пусть k(x) – квадратичная форма, f(x,y) – полярная ей билинейная функция, A – соответствующий ей самосопряженный оператор. Выберем такой ОНБ, в котором матрица оператора имеет диагональный вид:

Тогда k(x) тоже будет иметь такую же матрицу, а значит, будет иметь вид (6.4). Напомним, что базис, в котором матрица оператора имеет вид (6.5), состоит из собственных векторов оператора, а ₁, ₂,…, _n – это его собственные числа.

Впроизвольном векторном пространстве мы можем ввести скалярное произведение и, тем самым, превратить его в евклидово пространство. Для этого достаточно произвольный базис объявить ортонормированным. Тогда мы сможем применить описанный выше метод приведения к диагональному виду.

Существует и другой метод приведения квадратичной формы к диагональному виду в произвольном векторном пространстве, который мы рассмотрим на примере. Это метод выделения полных квадратов. Пусть в пространстве L 3

k(x)=2(x 1 ) 2 + 3(x 2 ) 2 + 5(x 3 ) 2 + 4x 1 x 2  8x 1 x 3  4x 2 x 3 .

Соберём вместе все слагаемые, содержащие x 1 , и дополним это выражение до полного квадрата; всё добавленное вычтем.

k(x)=2[((x 1 ) 2 + 2x 1 x 2  4x 1 x 3 + (x 2 ) 2 + 4(x 3 ) 2  4x 2 x 3 ) (x 2 ) 2  4(x 3 ) 2 + 4x 2 x 3 ] + + 3(x 2 ) 2  4x 2 x 3 + 5(x 3 ) 2 =

=2(x 1 + x 2  2x 3 ) 2 + (x 2 ) 2  3(x 3 ) 2 + 4x 2 x 3 .

Теперь мы группируем вместе все слагаемые, содержащие x 2 и дополняем это выражение до полного квадрата; добавленное вычитаем.

k(x)=2(x 1 + x 2  2x 3 ) 2 + [(x 2 ) 2 + 4x 2 x 3 + 4(x 3 ) 2 ] 4(x 3 ) 2  3(x 3 ) 2 =

=2(x 1 + x 2  2x 3 ) 2 + (x 2 + 2x 3 ) 2 7(x 3 ) 2 .

Делаем теперь замену координат:

Мы знаем, что формулы замены координат выглядят так: X=C  1 X. Значит, по формулам (6.6) мы можем выписать матрицу C  1 . Для того чтобы найти формулы перехода новому базису, нам нужно знать матрицу C. Из (6.6) нетрудно выразить x 1 , x 2 , x 3 через x 1 , x 2 , x 3 :

Теперь мы можем выписать матрицу перехода

а по ней выписываем формулы замены базиса:

Подчеркнём, что данная процедура используется только в том случае, когда не ставится задача найти новый ОНБ в евклидовом пространстве.

Теорема 6.3. Всякую квадратичную форму, определённую на векторном пространстве L n , с помощью выбора нового базиса можно привести к каноническому виду.

Доказательство. Приведём сначала квадратичную форму к диагональному виду. Сделаем затем ещё одну замену координат: x i =x i , если _i0, и x i =x i , если _i=0, i=1,…, n. Тогда _i(x i ) 2 превратится в (x i ) 2 , если _i0, а 0·(x i ) 2 останется нулём. Матрица перехода к новому базису будет диагональной, и на диагонали будут стоять числа |_i|  1/2 , если _i0, и единицы для _i=0.

Базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид, может не быть единственным. Если мы приводим квадратичную форму к диагональному виду в евклидовом пространстве с помощью ортогонального преобразования, то коэффициенты ₁, ₂,…, _n – это собственные числа соответствующего линейного оператора. Значит эти коэффициенты не зависят от того, какой именно ОНБ мы выбираем. Применительно к произвольным заменам базиса действует следующая теорема.

Теорема 6.4. (Закон инерции квадратичной формы) Число отрицательных, число положительных и число нулевых коэффициентов _i в каноническом или диагональном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором квадратичная форма приведена к этому виду (без доказательства).

Определение. Говорим, что квадратичная форма имеет сигнатуру

(k, l, m) или (+,…,+,,…,,0,…,0),

если в её диагональном виде есть k положительных коэффициентов, l отрицательных и m нулевых.

Определение. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой), если k(x)>0 (k(x)<0) для всех ненулевых векторов xL n . Квадратичная форма называется положительно полуопределённой (отрицательно полуопределённой), если k(x)0 (k(x)0) для всех xL n .

Определение. Назовём главными минорами матрицы её левые верхние угловые миноры, т.е. миноры вида

Теорема 6.5. (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все её главные угловые миноры положительны. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда её главные угловые миноры чередую знаки и a₁₁<0 (без доказательства).

Научный форум dxdy

Привести квадратичную форму к диагональному виду

Последний раз редактировалось inzhenerbezmozgov 10.03.2018, 23:33, всего редактировалось 1 раз.

Дана квадратичная форма
1)Привести к диагональному виду методом Лагранжа
2)Записать матрицу перехода к новому базису
Я выделил полные квадраты, получается Надо записать коэффициенты при новых переменных в матрицу кв. формы и получить нули на главной диагонали?
Второй пункт: новые переменные через базис старых?
Как-то слишком просто.

Последний раз редактировалось gris 10.03.2018, 22:55, всего редактировалось 1 раз.

.

69. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка в n — мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:

Верхняя строка — это не что иное, как квадратичная форма, если положить x1=x, x2=y, x3=z:

— симметричная матрица (aij = aji)

Положим для общности, что многочлен

Есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной.

Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.

Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том, что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy, xz, yz или xixj (i¹j). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:

В случае квадратичной формы приведение ее к виду

Называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:

L(x, y,z) = x(a11x+a12y+a13z)+

Введем матрицу — столбец

Тогда — где X T =(x, y,z)

— матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:

Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица А имеет диагональный вид:

Рассмотрим некоторое линейное преобразование X = SY, где S — квадратная матрица порядка n, а матрицы — столбцы Х и У есть:

Матрица S называется матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрице n-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Линейное преобразование X = SY заменяет переменные x1, x2, x3 новыми переменными y1, y2, y3. Тогда:

где B = S T A S

Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S, чтобы матрица В приобрела диагональный вид:

(*)

Итак, квадратичная форма с матрицей А после линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицей В.

Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А. Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим, что собственные вектора линейного оператора А с матрицей А — это вектора у1, y2, . yn.

Т. е.

А это означает, что если собственные вектора у1, y2, . yn взять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной

Или В = S-1 А S, где S – матрица перехода от первоначального базиса <E> к базису <Y>. Причем в ортонормированном базисе матрица S будет ортогональной.

Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.

Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.

или

С помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса осей это уравнение можно привести к виду ( переменные и коэффициенты переобозначены х1 = х, х2 = у):

1) если линия центральная, l1 ¹ 0, l2 ¹ 0

2) если линия нецентральная, т. е. один из li = 0.

Напомним виды линий второго порядка. Центральные линии:

1) эллипс;

2) гипербола;

3) точка;

4) две пересекающиеся прямые.

5) х2 = а2 две параллельные линии;

6) х2 = 0 две сливающиеся прямые;

7) у2 = 2рх парабола.

Для нас представляют интерес случаи 1), 2), 7).

Рассмотрим конкретный пример.

Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее:

5х2 + 4ху + 8у2 — 32х — 56у + 80 = 0.

Матрица квадратичной формы есть . Характеристическое уравнение:

Его корни:

Найдем собственные векторы:

При l1 = 4: u1 = -2u2; u1 = 2c, u2 = — c или g1 = c1(2I – J).

При l2 = 9: 2u1 = u2; u1 = c, u2 = 2c или g2 = c2(I+2J).

Нормируем эти векторы:

Составим матрицу линейного преобразования или матрицу перехода к базису g1, g2:

— ортогональная матрица!

Формулы преобразования координат имеют вид:

или

Подставим в наше уравнение линии и получим:

Сделаем параллельный перенос осей координат. Для этого выделим полные квадраты по х1 и у1:

Обозначим . Тогда уравнение приобретет вид: 4х22 + 9у22 = 36 или

Это эллипс с полуосями 3 и 2. Определим угол поворота осей координат и их сдвиг для того, чтобы построить эллипс в старой системе.

Построим:

Проверка: при х = 0: 8у2 — 56у + 80 = 0 у2 – 7у + 10 = 0. Отсюда у1,2 = 5; 2

При у =0: 5х2 – 32х + 80 = 0 Здесь нет корней, т. е. нет точек пересечения с осью Х!

Ортогональное преобразование квадратичной формы

На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.

Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду:

, где – собственные числа матрицы (тоже действительные).

Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы :

Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.

Напоминаю распространённую матричную запись , где:
и – матрица ортогонального преобразования.

Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:

Это не опечатка – пример уже десятый!

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти матрицу соответствующего преобразования.

Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа:

Очевидно, что , таким образом:

– квадратичная форма в каноническом виде.

Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы :

1) Если , то получаем систему линейных уравнений:
, откуда следует, что .

Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):

2) Если , то имеем систему:
, из которой следует, что

Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина:

Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:

Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:

– координаты на ;
– координаты на .

Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.

Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
, ч.т.п.

Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: .

Ответ: ,

Полученный результат можно проверить:

1) непосредственной подстановкой в форму :

2) либо с помощью знакомой формулы:
– получив «каноничную» матрицу.

Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.

А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:

Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить .

Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:

С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.

Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).

Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.

В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование .

Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.

По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: .

Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон .

Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле .

Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат :

Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.

Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному 🙂

Ответ:

Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.

Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.

Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.

Следующий пример для самостоятельного решения:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.

После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:

Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.

Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:

Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:

В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
, определяющее поворот на угол , но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).

Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам .

Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду:

Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол :

Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:

И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе :

Ответ:

Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.

Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:

– привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.

Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.

Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.

Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).

На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования

Найти соответствующее преобразование

Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель раскрою по 1-й строке:

напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:

решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:

таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:

Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
– чтобы красивее записать канонический вид:

Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:

1-2) Если , то получаем систему:
, которая фактически состоит из одного уравнения.

Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец:

Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем:
– первый вектор фундаментальной системы;
и для :
– второй вектор.

Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:

, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.

Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:

откуда выражаем и находим:

Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:

и в качестве второго:

Как на ладони видно:
– что полученные векторы действительно ортогональны

С третьим собственным вектором всё прозрачно:

3) Если , то получаем систему:
из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Пусть
Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.

И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам :

Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:

Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен:

Но подставлять всё это в что-то не хочется 🙂 Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:

Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.

И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда.

В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:

– данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.

Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:

– откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид.

Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.

И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:

Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду

Не пропускайте, это несколько другой тип 😉 Да и вычислений заметно меньше.

Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.

Квадратичные формы – держат нас в форме!

Решения и ответы:

Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

Решим квадратное уравнение:

– собственные числа, таким образом:
– форма – в каноническом виде.

Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:

1) Если , то:
, пусть
Таким образом:
.
Разделим каждую координату на длину:

Таким образом, матрица линейного преобразования:

Выполним проверку прямой подстановкой в :

, что и требовалось проверить.

Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел:
,

Пример 14. Решение: запишем матрицу квадратичной формы и найдём её собственные числа:

так как каноничная парабола определяется уравнением , то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:

Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
.

Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:

1) Если , то:
, пусть

2) Если , то:
, пусть
Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.

Таким образом, матрица линейного преобразования:
, которое по формулам приводит уравнение к виду:

Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной не приведёт нас каноническому виду .

И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.)

Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:

избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на :

«собираем» полный квадрат при переменной :
и проводим замены .

Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:

определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:

– собственные числа, таким образом:

– форма в каноническом виде.

Найдём собственные векторы:

1-2) Если , то получаем систему:
, из которой очевиден собственный вектор .
Второй вектор найдём для из соотношения .
Пусть

3) Если , то:

Пусть
Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам:

Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому:

другие векторы нужно нормировать:

Таким образом, матрица ортогонального преобразования:

Проверим результат прямой подстановкой в форму :

сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые:

, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!