Что такое дифференциал в математике простыми словами

Дифференциал функции

С понятием производной тесно связано важное понятие математики — понятие дифференциала.

Пусть дана функция у = f(х), дифференцирования в точке х. Это означает, что существует

Следовательно, справедливо соотношение:

Отсюда:

Как видно, прирост функции складывается из двух слагаемых. Второе слагаемое как произведение бесконечно малых величин, является бесконечно малым более высокого порядка, чем Значит, при малых второе слагаемое менее важное, чем первое, и именно первое слагаемое составляет основную часть прироста функции (главную часть).

Дифференциалом функции у = f(х) в точках х называют главную часть прироста функции и обозначают символом dy. По определению

При , получаем , или , то есть дифференциал аргумента равный его приросту. Тогда

то есть дифференциал функции у = f(х) в точках х равен произведению производной в этой точке на дифференциал аргумента.

Отсюда, и выражение, которое мы раньше обозначали одним символом, теперь можно рассматривать как дробь, равен отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Геометрическое содержание дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции у = f(х) (рис. 1).

Производная функции при равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке , то есть

На рис. 1 видно, что касательная разбивает прирост функции KN на два отрезка: KP, который соответствует слагаемому и PN, который равен слагаемому Если прирост аргумента стремится к нулю, то отрезок NP уменьшается значительно быстрее, чем отрезок PK. Следовательно, прирост ординаты касательной KP является главной частью прироста функции у = f (х). Из треугольника MPK находим:

Потому, что ; , получаем .

Следовательно, дифференциал функции у = f (х) геометрически изображается приростом ординаты касательной, проведённой в точке при заданных значениях и .

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение: Находим производную данной функции:

Умножаем производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ:

Пример 2. Найти дифференциал функции

Решение: Сначала найдём производную данной функции:

Умножим производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ:

Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции

Решение: Дифференциал вычислим согласно формулы

Прежде чем использовать эту формулу, найдём производную функции и её значение при

Отсюда,

Ответ:

Применение дифференциала к приблизительным вычислениям

Прирост функции и дифференциал функции отличаются один от другого на малую величину Если пренебречь этой малой величиной, то получим приближённое равенство:

то есть при малых приростах аргумента прирост функции можно заменить её дифференциалом.

Учитывая, что , получаем , откуда

Эти приближённые равенства используются для приближённых вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её прироста.

Пример4. Вычислить приближённое значение прироста функции при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001.

Решение: Находим дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому прирост приближённо равен его дифференциалу .

Дифференциал функции вычислим по формуле: . Сначала найдём производную и её значение при х=2.

Точное значение прироста функции найдём по формуле:

Сравнив полученный результат с дифференциалом , видим, что абсолютная погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не даёт достаточно полной характеристики точности подсчёта, поэтому вычисли м и относительную погрешность:

Такая точность почти всегда достаточна для прикладных вычислений, поэтому вместо прироста функции находят её дифференциал.

Ответ:

Пример 5. Вычислите приближённое значение функции

Решение: Найдём дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому для вычисления приближённого значения функции воспользуемся формулой:

Сначала найдём значение функции при х=2:

Дифференциал находим по формуле: , для этого найдём производную функции и её значение при х=2:

Ответ:

Пример 6. Найти приближённое значение .

Решение: Нам необходимо найти приближённое значение функции при х=16,06.

Найдём дифференциал аргумента:

прирост аргумента малый, поэтому

Дифференциал находим по формуле: , для этого сначала найдём производную функции и её значение при х=16.

Ответ:

Пример 7. Найти приближённое значение

Решение: Как и предыдущем примере, имеем

Ответ:

Пример 8. Объём куба, ребро которого равно 4см., при нагревании увеличивается на 0,96см 3 . Как при этом увеличивается ребро куба?

Решение: Объём куба с ребром х вычисляется по формуле: V=х 3 . Поскольку

Дифференциал функции вычисляется по формуле , отсюда . Прежде чем воспользоваться формулой найдём производную функции V и её значение при х=4:

Теперь находим

Ответ: Ребро куба увеличилось приблизительно на 0,02 см.

Дифференциал функции и функция

Дифференциал — главная часть прироста функции.

Дифференциал функции и его определение

Определение дифференциала

Если функция y = f (x) имеет в точке х производную, то и приращение функции можно представить в виде
, (4.3)
где — бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю вместе с .

В формуле (4.3) второе слагаемое есть бесконечно малая более высшего порядка, чем, и поэтому главную часть суммы составляет первое слагаемое , которое называется дифференциалом функции.

Определение. Главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной, называется дифференциалом функции f (x).

Обозначается дифференциал символом dy или df(x). Итак,
(4.4)

Приращение независимой переменной также обозначают так: . Это объясняют тем, что для функции y = x дифференциал . Поэтому равенство (4.4) записывают dy = f ‘(x) dx.

Пример 1. Найти дифференциал функции y = 1 + ln x.

Решение.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. Вычислим сначала производную y’, использовав правило дифференцирования сложной функции
Следовательно,

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции имеет простое геометрическое толкование.

Пусть имеем график функции y = f (x). Возьмем на этой кривой точку М (х, у) и проведем в ней касательную к кривой.

Пусть — угол наклона касательной с положительным направлением оси Оx. Тогда .
Дадим х некоторое приращение . На рис. 4 . Тогда ордината точки М получит приращение , а ордината точки М, касательной — приращение СD. Учитывая, что ∠ DМС = , имеем СD = МС tg ; или СD =.

С геометрической точки зрения дифференциал dy функции y = f (x) в данной точке есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение .

Основные свойства дифференциала

1) Дифференциал постоянной равна нулю dc = 0.

2) Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций .

3) Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений каждой из функций на дифференциал второй функции

4) Дифференциал частного находится по формуле
.
Докажем свойство 3)

Свойство инвариантности формы дифференциала

Пусть дана сложная функция y = f (u), где . Тогда , а

Поскольку dy = d [f (x)] = f ‘(x) dx, то можем сделать вывод, если вместо независимой переменной х подставить произвольную функцию от х, то форма дифференциала не меняется. Это свойство носит название инвариантности формы дифференциала.

Применение дифференциалов при приближенных вычислениях

Дифференциалы используют при приближенных вычислениях значений функций, применяя примерное равенство . В развернутом виде имеем:

Откуда значение функции .

Пример 1. Вычислить приближенно ln 1,02 с помощью дифференциала.

Решение. Число ln 1,02 является значением функции y = ln x при х = 1,02. Взяв имеем
Итак, ln 1,02 = ln 1 + 1⋅ 0,02 = 0,02.

Пример 2. Вычислить .
Решение. Запишем в виде
Будем рассматривать данное число как значение функции при
Взяв и учитывая, что имеем

и поэтому

Дифференциал функции с примерами

Дифференциалом функции называется произведение ее производной на приращение независимой переменной: (2.23) В частности, при получаем (2.24) т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу (2.23) можно, следовательно, написать так (2.25) откуда (2-26) dx Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной проведенной к графику этой функции в точке когда аргумент получает приращение (рис. 2.1).

Из определения производной и дифференциала вытекает, что где т.е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем Рис. 2.1 При малых справедлива приближенная формула (2.27) или (2.28) Если дифференцируемые функции от постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти дифференциал функции Решение. По формуле (2.25) находим

Пример 2.

Найти дифференциал функции Решение. На основании формулы (2.25) получаем

Пример 3.

Найти дифференциал функции Решение. В данном случае функция обозначена буквой аргумент буквой Формула (2.25) перепишется так: На основании этой формулы находим

Пример 4.

Вычислить значение дифференциала функции когда х изменяется от 1 до 1,1. Решение. Прежде всего находим общее выражение для дифференциала этой функции: Подставляя значения в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала:

Пример 5.

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти Решение. Формула (2.28) применительно к данной функции перепишется в виде arctg В нашем случае Подставляя эти значения в формулу, получим Следовательно,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Справочные сведения

Определение производной

Предел отношения при называется производной функции в точке Этот предел обозначают одним из следующих символов: Таким образом, Если в каждой точке существует т. е. если производная существует для всех то функция называется дифференцируемой на интервале

Вычисление производной называют дифференцированием.

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Если функции имеют производные в некоторой точке, то функция — постоянные) также имеет в этой точке производную, причем Если функции имеют производные в некоторой точке, то и функция имеет производную в этой точке, причем Если функции имеют производные в некоторой точке и в ней, то функция также имеет производную в этой точке, причем

Формулы для производных основных элементарных функций

1) Степенная функция: Область существования производной функции может быть и шире. Например, если то

2) Показательная функция. Если то в частности, .

3) Логарифмическая функция. Если то в частности,

4) Тригонометрические функции:

5) Обратные тригонометрические функции:

6) Гиперболические функции:

Дифференциал функции

Если приращение функции в точке представимо в виде (5) где не зависит от то функция называется дифференцируемой в точке.

Таким образом, если равенство (5) верно, то

Дифференциалом, независимой переменной называется ее приращение т. е. по определению полагают Для дифференцируемости функции в точке (т. е. для существования дифференциала) необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную. Дифференциал функции выражается через производную следующим образом: (6)

Эта формула позволяет вычислять дифференциалы функций, если известны их производные. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала то, (7) для всех Равенство (5) может быть записано в виде Если то для приближенного вычисления значения функции в точке можно пользоваться формулой (8) так как абсолютная и относительная погрешности при таком приближении сколь угодно малы при достаточно малом Дж.

Примеры с решениями

Пример 1.

Вычислить производную функции

Пример 2.

Вычислить производную функции в точке А Функция является композицией двух функций: Функция в точке имеет производную, причем Функция в точке также имеет производную, причем По формуле (1) получаем

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Дифференциал (математич.)

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления .

Важную роль в этом обобщении играет понятие линейной функции (линейного отображения). Функция L ( x ) векторного аргумента х называется линейной, если она непрерывна и удовлетворяет равенству

L ( x’ + х» ) = L ( x’ ) + L ( x» )

для любых х’ и х» из области определения. Линейная функция n -мерного аргумента х = < x 1 . x n >всегда имеет вид

L ( x ) = a 1 x 1 +. + a n x n ,

где a 1 . a n ‒ постоянные. Приращение

D L = L ( x + h ) — L ( x )

линейной функции L ( x ) имеет вид

т. е. зависит только от векторного приращения h , и притом линейно. Функция f ( x ) называется дифференцируемой при значении аргумента х , если её приращение D f = f ( x + h ) — f ( x ), рассматриваемое как функция от h , имеет главную линейную часть L ( h ), т. е. выражается в виде

D f = L ( h ) + R ( h ),

где остаток R ( h ) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h . Главная линейная часть L ( h ) приращения D f и называется дифференциалом df функции f в точке x . При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R ( h ) по сравнению с h , различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше. Если существует сильный Д., то существует и слабый Д., равный сильному Д. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

В случае f ( x ) º x из общего определения следует, что df = h , т. е. можно приращение h считать Д. аргумента x и обозначать dx.

Если сделать теперь переменной точку x , в которой определяется Д. df , то он будет функцией двух переменных:

Далее, считая h = h 1 постоянным, можно найти Д. от дифференциала df ( x ; h 1 ) как главную часть приращения

df ( x + h 2 ; h 1 ) ‒ df ( x ; h 1 ),

где h 2 ‒ некоторое второе, не связанное с h 1 приращение x . Получаемый таким образом второй дифференциал d 2 f = d 2 f ( x ; h 1 , h 2 ) является функцией трёх векторных аргументов x , h 1 и h 2 , линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d 2 f непрерывно зависит от x , то он симметричен относительно h 1 и h 2 :

d 2 f ( x ; h 1 , h 2 ) = d 2 f ( x ; h 2 , h 1 ).

Аналогично определяется дифференциал d n f = d n f ( x ; h 1 . h n ) любого порядка n .

В вариационном исчислении сам векторный аргумент x является функцией x ( t ), а дифференциалы df и d 2 f функционала f [ x ( t )] называются его первой и второй вариациями и обозначаются d f и d 2 f .

Всюду выше речь шла об обобщении понятия Д. на числовые функции векторного аргумента. Существует обобщение понятия Д. и на случай вектор-функций, принимающих значения в банаховых пространствах.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., М., 1967; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Полезное

Смотреть что такое «Дифференциал (математич.)» в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия

ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ — см. в ст. Диалектика. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. ЛОГИКА ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ … Философская энциклопедия

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ — условные обозначения, предназначенные для записи математич. понятий и выкладок. Напр., понятие квадратный корень из числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру обозначается кратко а предложение отношение длины окружности к ее диаметру … Математическая энциклопедия

НЕЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение А векторного (как правило) пространства Xв векторное пространство Yнад общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что, вообще говоря, Если есть множество действительных чисел или комплексных чисел , то Н. о … Математическая энциклопедия

Бернштейн, Сергей Натанович — (р. 1880) математик, проф. Харьковского ун та, член корреспондент Всесоюзной академии наук, действительный член Украинской акад. наук. По окончании средней школы отправился в Париж, прошел курс математических наук в Сорбонне, провел около 2 лет в … Большая биографическая энциклопедия

ЛЕЙБНИЦ — (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646 1716) нем. философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию в Лейпцигском и Йенском ун тах. В 1672 1676 в Париже. С 1676 состоял на службе у ганноверских… … Философская энциклопедия

ТЕРМОДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, связанные с исследованием наиболее общих свойств макроскопич. систем, находящихся в состоянии термодинамич. равновесия, и процессов перехода между этими состояниями. Математич. аппарат макроскопич. термодинамики исходит из т. н. начал… … Математическая энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… … Математическая энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — часть математики, в к рой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что М. а. изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых.… … Математическая энциклопедия

Золотарев, Егор Иванович — известный математик, проф. Петроградского университета, адъюнкт Академии Наук, родился 31 марта 1847 г. в Петрограде, первоначальное образование получил в V Петроградской гимназии. По окончании в ней курса с серебряною медалью З. поступил в 1863… … Большая биографическая энциклопедия

Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:

Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.

Зная это введем обозначение на графике:

Вернемся к равенству

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

Добавим с левой части и с правой предел

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.

Дифференциал

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

О разных формах записи дифференциала

Дифференциал функции в точке x и обозначают

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:

Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти дифференциал функции

1) выделив линейную часть;

Пример 3. Найти дифференциал функции

Пример 4. Найти дифференциал функции

в точках x = 0 и x = 1 .

В основном же задачи на дифференциалы — это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.

Свойства дифференциала

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(С – постоянная величина) (5)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное во втором параграфе приближенное равенство

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число
является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (11) примет вид

Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Вычислить приближенно:

Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

Если точное число неизвестно, то

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.

Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Её производная равна

а формула (11) примет вид

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

так как значение

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения: