Что делать если определитель матрицы равен 0

Решение систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений имеют следующий общий вид:

$ \begin a_<1,1>\cdot x_ <1>+ a_<1,2>\cdot x_ <2>+ a_<1,3>\cdot x_ <3>+ \cdots a_ <1,n>\cdot x_ =b_ <1>\\ a_<2,1>\cdot x_ <1>+ a_<2,2>\cdot x_<2>+ a_<2,3>\cdot x_ <3>+ \cdots + a_<2,n>\cdot x_ = b_ <2>\\ a_<3,1>\cdot x_ <1>+ a_<3,2>\cdot x_<2>+a_<3,3>\cdot x_<3>+ \cdots + a_<3,n>\cdot x_=b_ <3>\\ \cdots\\ a_\cdot x_<1>+ a_\cdot x_<2>+a_\cdot x_<3>+\cdots + a_\cdot x_ =b_ \end$

Если все свободные члены равны 0, то система однородна.

Матрица системы — квадратная (m=n)

Надо вычислить определитель матрицы системы.

Определитель матрицы системы не равен 0

Система называется невырожденной системой с единственным решением. Чтобы найти решение системы, используем метод Крамера.

Вычислим $ \Delta_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_<1>$ столбцом свободных членов.
$\Delta_>= \begin b_ <1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_ <1,n>\\ b_ <2>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_ <2,n>\\ b_ <3>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_ <3,n>\\ \cdots \\ b_ & a_ & a_ & . & . & a_ \end$

Вычислим $ \Delta_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_<2>$ столбцом свободных членов.
$\Delta_>= \begin a_ <1,1>& b_ <1>& a_ <1,3>& . & . & a_ <1,n>\\ a_ <2,1>& b_ <2>& a_ <2,3>& . & . & a_ <2,n>\\ a_ <3,1>& b_ <3>& a_ <3,3>& . & . & a_ <3,n>\\ \cdots \\ a_ & b_ & a_ & . & . & a_ \end$

Вычислим $ \Delta_>$ — определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_<3>$ столбцом свободных членов.
$\Delta_>= \begin a_ <1,1>& a_ <1,2>& b_ <1>& . & . & a_ <1,n>\\ a_ <2,1>& a_ <2,2>& b_ <2>& . & . & a_ <2,n>\\ a_ <3,1>& a_ <3,2>& b_ <3>& . & . & a_ <3,n>\\ \cdots \\ a_ & a_ & a_ & . & . & a_ \end$

Продолжаем делать это с остальными переменными, и в конце-концов записываем решение системы.
$x_=\dfrac<\Delta_>><\Delta>$

Пример 53
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color<-7>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color<-9>\\ 4\cdot x — y + 2\cdot z = \color <17>\end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Вычисляем $ \Delta_= \begin \color <-7>& 3 & -5\\ \color <-9>& 2 & 1\\ \color <17>& -1 & 2 \end= -28 — 45 + 51 + 170 — 7 +54 = 195$

Вычисляем $ \Delta_= \begin 2 & \color <-7>& -5\\ -3 & \color <-9>& 1\\ 4 & \color <17>& 2 \end=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Вычисляем $ \Delta_= \begin 2 & 3 &\color<-7>\\ -3 & 2 & \color<-9>\\ 4 & -1 & \color <17>\end= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Пример 54
$\begin 4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color<3>\\ -2 \cdot x + 3\cdot y — z = \color<-3>\\ -1\cdot x — 2\cdot y + 3\cdot z = \color <-5>\end$

Матрица системы: $ \begin 4 & 5 & -2\\ -2 & 3 & -1\\ -1 & -2 & 3 \end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Вычисляем $ \Delta_= \begin \color <3>& 5 & -2\\ \color <-3>& 3 &1\\ \color <-5>& -2 & 3 \end= 27 — 12 + 25 — 30 — 6 + 45 = 49$

Вычисляем $ \Delta_= \begin 4 & \color <3>& -2\\ -2 & \color <-3>& -1\\ -1 & \color <-5>& 3 \end=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Вычисляем $ \Delta_= \begin 4 & 5 & \color<3>\\ -2 & 3 & \color<-3>\\ -1& -2 & \color <-5>\end= -60 + 12 + 15 + 9 — 24 -50 = — 98$

Если система однородна, то ее решение есть <0;0;0>, потому что в матрицах, определителями которых являются $\Delta_$,$\Delta_$ и $\Delta_$, есть столбцы из одних нулей, следовательно, эти определители равны 0.

Пример 55
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color<0>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color<0>\\ 4\cdot x — y + 2\cdot z = \color <0>\end$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $

Определитель матрицы системы равен 0.

Вычисляем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы (исходной матрицы, к которой добавлен столбец свободных членов).

Если ранги этих матриц различны, то система не имеет решения. Это несовместная система.
Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
Записываем решение.

Пример 56
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color<5>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color<-1>\\ 4\cdot x — y + 4\cdot z = \color <3>\end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$

$\begin 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$

$\begin 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end=0$
$\begin 2 & 3 & \color<5>\\ -3 & 2 & \color<-1>\\ 4 & -1 & \color <3>\end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$ \Delta_

= \begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end=$ $\begin 2\cdot x + 3\cdot y = 5 — 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin 6\cdot x + 9\cdot y = 15 — 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13> <13>= 1$

Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin -4\cdot x — 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13\cdot\alpha -13> <13>= \alpha -1$
Решение системы: $\<\alpha-1;1;\alpha \>$

Пример 57
$\begin 2\cdot x + y +5\cdot z = \color<3>\\ 3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color<1>\\ 7\cdot x +y + 12\cdot z = \color <2>\end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 1\\ 3 & 2 \end= 4 — 3 =1 \neq0$

$\begin 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end= 48 + 60 + 14 — 70 -16 -36 =0 $ (следовательно, ранг равен 2)

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 1\\ 3 & 2 \end= 4 -3 =1 \neq0$

Ранг расширенной матрицы равен 3.

Поскольку ранги этих матриц различны, система не имеет решения. Это несовместная система. Однородная система всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, поскольку ранг расширенной матрицы, содержащей столбец из одних нулей, всегда совпадает с рангом матрицы системы.

Пример 58
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color<0>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color<0>\\ 4\cdot x — y + 4\cdot z = \color <0>\end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 = 13 \neq0$

$ \begin 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 =13 \neq0$

$ \begin 2 & 3 & \color<0>\\ -3 & 2 & \color<0>\\ 4 & -1 & \color <0>\end=0 $ (матрица включает столбец из одних нулей, следовательно, ее ранг равен 2)

= \begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 0\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = 0\\ \end=$ $\begin 2\cdot x + 3\cdot y = — 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = 3\cdot\alpha\\ \end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin 6\cdot x + 9\cdot y = -6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = 6 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13\cdot y = 0 \Rightarrow y = \dfrac<0> <13>= 0$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin -4\cdot x — 6\cdot y = 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y =9 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13\cdot\alpha> <-13>= -\alpha$
Решение системы: $ \<-\alpha;0;\alpha \>$

Матрица системы не квадратная $(m\neq n)$

Если ранг этих матриц различен, то система не имеет решения. Это несовместная система.
Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
Решение системы находится следующим образом:
- Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
- Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
- Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
- Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
- Записываем решение.
Пример 59
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color<5>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color<-1>\\ \end$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг равен 2)

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг также равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.

$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end=$ $\begin 2\cdot x + 3\cdot y = 5 — 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin 6\cdot x + 9\cdot y = 15 — 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13> <13>= 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin -4\cdot x — 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$-13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13\cdot\alpha -13> <13>= \alpha -1$
Решение системы: $\<\alpha-1;1;\alpha \>$

Пример 60
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y = \color<5>\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = \color<-1>\\ 4\cdot x — y = \color <3>\end$

Матрица системы:
$\begin 2 & 3 \\ -3 & 2 \\ 4 & -1 \end$

Вычисляем ранг матрицы:
$2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг равен 2)

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$2\neq 0$
$\begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin 2 & 3 & \color<5>\\ -3 & 2 & \color<-1>\\ 4 & -1 & \color <3>\end=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$\Delta_

= \begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Система не имеет неосновных переменных. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1\\ \end$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin 6\cdot x + 9\cdot y = 15\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 \\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac<13> <13>= 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin -4\cdot x — 6\cdot y = -10\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3\\ \end$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = -13 \Rightarrow y = \dfrac<-13> <-13>= 1$
Убедимся, что результаты удовлетворяют неосновному уравнению.
$4\cdot1 -1\cdot1 = 3$
Решение системы: $\<1;1 \>$

Что делать если определитель матрицы равен 0

$ \begin a_\cdot x_ + a_\cdot x_ + a_\cdot x_ + \cdots a_ \cdot x_ =b_ \\ a_\cdot x_ + a_\cdot x_+ a_\cdot x_ + \cdots + a_\cdot x_ = b_ \\ a_\cdot x_ + a_\cdot x_+a_\cdot x_+ \cdots + a_\cdot x_ =b_ \\ \cdots\\ a_ \cdot x_+ a_ \cdot x_+a_ \cdot x_+\cdots + a_ \cdot x_ =b_ \end $

Пример 53
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color \\ 4\cdot x — y + 2\cdot z = \color \end $

Пример 54
$\begin 4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color \\ -2 \cdot x + 3\cdot y — z = \color \\ -1\cdot x — 2\cdot y + 3\cdot z = \color \end $

Пример 55
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color \\ 4\cdot x — y + 2\cdot z = \color \end $
- Если ранги этих матриц различны, то система не имеет решения. Это несовместная система.
- Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
- Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
- Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
- Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
- Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
- Записываем решение.
Пример 56
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color \\ 4\cdot x — y + 4\cdot z = \color \end $

= \begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end $

Пример 57
$\begin 2\cdot x + y +5\cdot z = \color \\ 3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color \\ 7\cdot x +y + 12\cdot z = \color \end $

Пример 58
$\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color \\ 4\cdot x — y + 4\cdot z = \color \end $

= \begin 2 & 3\\ -3 & 2 \end $

Матрица системы не квадратная $(m\neq n)$
- Если ранг этих матриц различен, то система не имеет решения. Это несовместная система.
- Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
  Решение системы находится следующим образом:
  - Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
  - Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
  - Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
  - Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
  - Записываем решение.
  Пример 59
  $\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color \\ \end $
  
  $\begin 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end =$ $\begin 2\cdot x + 3\cdot y = 5 — 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end $
  
  Пример 60
  $\begin 2\cdot x + 3\cdot y = \color \\ -3 \cdot x + 2\cdot y = \color \\ 4\cdot x — y = \color \end $
  
  Если определитель матрицы равен 0 то – , —
  
  Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн
  1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.
  2. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.
  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.
  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.
  5. Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.
  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(A T ).
  7. Определитель обратной матрицы: det(A -1 ) = det(A) -1 .
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.
  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
  10. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
  11. Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n
  Другой материал по теме
  
  Находим определитель исходной матрицы.
  
  2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А -1 не существует.
  
  Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.
  
  3. Находим А T , транспонированную к А.
  
  4. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу . 5. Вычисляем обратную матрицу по формуле: 6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А -1 ∙А = А ∙А -1 = Е.
  
  · №28
  
  · В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.
  
  · Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
  
  · Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).
  
  · Из определения следует:
  
  · 1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).
  
  · 2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.
  
  · 3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
  
  · В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:
  
  · 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).
  
  · 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
  
  · 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
  
  · 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
  
  · 5) Транспонирование матрицы.
  
  · Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
  
  Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=│А│называется определителем системы.
  
  Предположим, что │А│не равен нулю, тогда существует обратная матрица А -1 .
  
  Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А
  
  А -1 (АХ)= А -1 В.
  
  Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец:
  
  Х= А -1 В.
  
  (А -1 А)Х =ЕХ =Х
  
  Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:
  
  где j=1..n.
  
  Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.
  
  Рассмотрим матрицу:
  
  эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.
  
  N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁,х₂,…х_n) , где х_i – i-я компонента вектора Х.
  
  Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x_i=y_i, i=1…n.
  
  Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.
  
  Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми. Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R).
  
  Линейные операторы
  
  Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства
  
  то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и
  
  записывают y=A(x).
  
  Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства
  
  и любого числа λ выполняются следующие соотношения:
  
  Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2, a₃…a_n. Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.
  
  Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Р_n.
  
  Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.
  
  Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.
  
  Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.
  
  Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.
  
  Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
  
  Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
  
  Вероятность достоверного события равна единице.
  
  Вероятность невозможного события равна нулю
  
  №39, 40
  
  Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)
  
  Что если определитель матрицы равен 0. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
  
  Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа
  
  Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.
  
  Если определитель матрицы не равен нулю
  
  то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.
  
  Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.
  
  Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной
  
  Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.
  
  Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.
  
  Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.
  
  Эквивалентные преобразования СЛАУ
  
  1) перестановка местами уравнений;
  
  2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;
  
  3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.
  
  Решение СЛАУ можно найти разными способами.
  
  ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
  
  — определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.
  
  Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.
  
  Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера
  
  Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных
  
  Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:
  
  По формулам Крамера находим неизвестные
  
  Итак единственное решение системы.
  
  Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.
  
  Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.
  
  Найдем составляющие определителя:
  
  Подставим найденные значения в определитель
  
  Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:
  
  Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.
  
  По формулам Крамера находим
  
  Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.
  
  МЕТОД К Р А М Е Р А
  
  x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000
  
  x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000
  
  x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000
  
  x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000
  
  Посмотреть материалы:
  
  В общем случае правило вычисления определителей-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
  
  Вычисления определителей второго порядка
  
  Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
  
  Задание. Вычислить определитель второго порядка
  
  Методы вычисления определителей третьего порядка
  
  Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
  
  Правило треугольника
  
  Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
  
  Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
  
  Задание. Вычислить определитель методом треугольников.
  
  Правило Саррюса
  
  Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
  
  Задание. Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.
  
  Определитель матрицы
  
  Определителем квадратной матрицы называется число, которое обозначается какилии вычисляется при помощи следующих трех правил.
  
  Правило 1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
  
  Замечание: Определитель одноэлементной матрицы равен самому элементу.
  
  Правило 2. Общий множитель элементов любой строки или столбца матрицы можно вынести за знак определителя.
  
  Замечание: Определитель матрицы, у которой строка или столбец состоит только из нулей, равен .
  
  Правило 3. Определитель матрицы не изменится, если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить другую строку (столбец) этой матрицы.
  
  Свойства определителя матрицы.
  
  1. Определитель не меняется при транспонировании.
  
  2. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
  
  3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
  
  4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
  
  5. Если все элементы строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме, — такие же, как в заданном определителе, астрока в одном из слагаемых состоит из элементов, в другом — из элементов.
  
  Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
  
  Миноры и алгебраические дополнения
  
  Обозначим через матрицу, которая остается при вычеркивании из матрицыстроки истолбца. Тогданазывается минором элемента. Величинаназывается алгебраическим дополнением элемента.
  
  Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.
  
  Теорема. Определитель каждой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. при разложении по элементам строки
  
  Для вычисления значений определителей матриц второго порядка пользуются формулой:
  
  Для вычисления значений определителей матриц третьего порядка можно воспользоваться формулой разложения определителя по первой строке:
  
  Пример 7. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.
  
  Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель
  
  , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
  
  Пример 8. Вычислить определитель , разложив его по элементам второго столбца.
  
  Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
  
  4. Ранг матрицы
  
  Рассмотрим прямоугольную матрицу . Если в этой матрице выделить произвольнострок истолбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицупорядка. Определитель этой матрицы называетсяминором k-го порядка матрицы . Очевидно, что матрицаобладает минорами любого порядка отдо наименьшего из чисели. Некоторые среди них будут равны нулю. Среди всех отличных от нуля миноров матрицынайдется, по крайней мере, один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы равен, то это означает, что в матрицеимеется отличный от нуля минор порядка, но всякий минор порядка, большего чем, равен нулю. Ранг матрицыобозначается через. Очевидно, что выполняется соотношение
  
  Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор порядка матрицы, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь минорыпорядка, окаймляющие минор, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен.
  
  Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
  
  перестановка двух любых строк (или столбцов),
  
  умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
  
  прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
  
  Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
  
  Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы и эквивалентны, то это записывается так: .
  
  Каноническойматрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,
  
  .
  
  При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
  
  Пример 11. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
  
  Решение. Начинаем с миноров порядка, (т.е. с элементов матрицы). Выберем, например, минор (элемент), расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор, отличный от нуля. Переходим теперь к минорампорядка, окаймляющим. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:
  
  , .
  
  Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы равен двум.
  
  Пример 12. Найти ранг матрицы
  
  и привести ее к каноническому виду.
  
  Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
  
  .
  
  Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на и:
  
  ;
  
  из третьей строки вычтем вторую, при этом получим матрицу
  
  ,
  
  которая эквивалентна матрице , так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицыравен, а следовательно, и.
  
  Матрицу легко привести к канонической.
  
  Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются.
  
  Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
  
  .
  
  Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
  
  Количество просмотров публикации Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. — 274
  
  Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
  
  Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, в случае если , и невырожденной или неособенной матрицей, в случае если .
  
  Предложение 14.21 В случае если обратная матрица существует, то она единственна.
  
  Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда
  
  Предложение 14.22 В случае если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и
  
  где — алгебраические дополнения к элементам .
  
  Доказательство. Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
  
  Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :
  
  В случае если , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при .
  
  В случае если , то
  
  Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,
  
  Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .
  
  Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
  
  Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица — невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
  
  Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места͵ занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй — номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
  
  Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы .
  
  Решение. Находим определитель
  
  Так как , то матрица — невырожденная, и обратная для нее существует.
  
  Находим алгебраические дополнения:
  
  Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке:
  
  Полученная матрица и служит ответом к задаче.
  
  Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
  
  При этом запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, в случае если таковые потребуются. По этой причине запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, в случае если элементы матриц — целые числа. И наоборот, в случае если элементы матрицы — десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.
  
  Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. По этой причине велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. В случае если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
  
  Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы .
  
  Свойства определителей
  
  Определитель не меняется при транспонировании.
  
  Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
  
  Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель меняет знак.
  
  Если элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
  
  Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.
  
  Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
  
  Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю.
  
  Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.
  
  Теорема 1. Если и– квадратные матрицы-го порядка, то
  
  Пример 5. (Образец решения задачи 2 из контрольной работы). Даны матрицыи. Проверить справедливость равенства .
  
  1.1.5. Обратные матрицы
  
  Матрица называется обратной к квадратной матрице, если
  
  Матрица называетсявырожденной, если ; в противном случае
  
  –невырожденная матрица.
  
  Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е..
  
  ,
  
  т.е. обратная матрица есть разделенная на транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы.
  
  Пример 6. Дана матрица . Найти.
  
  Аналогично убеждаемся, что . Значит, матрицанайдена верно.n
  
  Справедлива следующая теорема:
  
  Теорема 2. Если иневырожденные квадратные матрицы одинакового порядка, то
  
  1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
  
  Рассмотрим систему из 3-х алгебраических уравнений с 3-мя неизвестными:
  
  1.2.1. Метод Крамера
  
  Теорема 3. Если определитель матрицы системы (1.1)
  
  отличен от нуля (), то система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
  
  , ,.
  
  1.2.2. Матричный метод
  
  Обозначим через матрицу системы (1.1), т.е. матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
  
  ,
  
  через – матрицу-столбец из неизвестных и через– матрицу-столбец правых частей.
  
  Принимая во внимание правило умножения матриц, можно систему линейных уравнений (1.1) записать в виде матричного уравнения:
  
  решение которого имеет вид
  
  Пример 7. (Образец выполнения задачи 1 из контрольной работы) Решить систему уравнений двумя способами:
  
  .
  
  Решение. Используем метод Крамера:
  
  Проверим правильность полученных решений, для чего подставим их в условие:
  
  Теперь решим ту же систему матричным методом. Найдем обратную матрицу к матрице системы. Вычислим все алгебраические дополнения:
  
  ; ;;
  
  ; ;;
  
  ; ;.
  
  Определитель матрицы найден выше (фактически это ) и равен -12.
  
  Следовательно, . Тогда
  
  Замечание 1.Метод Крамера и матричный метод применимы для систем любого конечного порядка при двух условиях: количество уравнений совпадает с количеством неизвестных и определитель системы отличен от нуля.
  
  Замечание 2.Если определитель системы равен нулю, то система либо не имеет решений вообще, либо имеет бесконечное множество решений.
  
  Определитель матрицы
  
  Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
  
  Умножим обе части первого уравнения на a₂₂ а второе на —a₁₂ и сложим. Получим следующее уравнение
  
  Далее, первое уравнение умножим на —a₂₁ а второе на a₁₁ и сложим:
  
  Пусть Тогда решение системы (1) примет следующий вид:
  
  Выражение называется определителем матрицы
  
  Нетрудно заметить, что
  
  Таким образом, решение системы линейных уравнений можно представить в виде:
  
  Рассмотрим случай из трех неизвестных и трех уравнений. Пусть дана система линейных уравнений
  
  Исключим неизвестные x₂ и x₃. Для этого умножим первое уравнение на a₂₂a₃₃—a₃₂a₂₃, второе на —(a₁₂a₃₃—a₁₃a₃₂), третье на a₁₂a₂₃—a₂₂a₁₃, и сложим:
  
  Сделаем следующие обозначения:
  
  Учитывая, что выражения перед элементами x₂ и x₃ равны нулю, имеем:
  
  Выражение называется определителем матрицы
  
  Элементы M_ij называются минорами элементов a_ij, и являются определителями матрицы (3), полученные вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
  
  Заметим, что выражение
  
  является определителем матрицы
  
  Если определитель (3a) неравен нулю, то x₁ вычисляется из следующего выражения:
  
  Аналогично вычисляются x₂ и x₃, умножая уравнения системы (2) на соответствующие выражения и суммируя:
  
  Распространяя вышеизложенное на системы линейных уравнений с n неизвестными и n уравнениями можно сформулировать понятие определителя для квадратной матрицы порядка n.
  
  Пусть задана матрица
  
  Определителем порядка n, соответствующим матрице (4), называется число равное
  
  Сделаем следующее обозначение:
  
  Тогда выражение (5) можно переписать в следующем виде:
  
  A_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij.
  
  В вышеизложенном выражении определитель вычисляется суммируя произведения всех элементов первого столбца на соответствующие им алгебраические дополнения. Аналогично можно показать, что определитель равна сумме произведений всех элементов какой либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
  
  Однако, для вычисления определителя матрицы большой размерности, такой подход требует больших усилий. Ниже мы представим более оптимальный метод вычисления определителя. Для этого сначала изложим некоторые важные свойства определителей.
  
  Свойства определителей
  
  Перестановка строк меняет знак определителя на обратное.
  
  Общий для всех элементов множитель какой либо строки, можно выносить за знак определителя.
  
  При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой, соответствующие элементы этой строки складываются.
  
  Прибавление одной строки к другой строке, умноженной на число, не изменяет значение определителя.
  
  При замене местами строк и столбцов (при транспонировании) определитель не изменит своего значения.
  
  Вычисление определителя матрицы с помощью исключения Гаусса
  
  Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнему треугольному виду с помощью исключения Гаусса. Тогда выражение (7) примет следующий вид:
  
  где Z— общее количество перестановок. При каждой перестановке строк, изменяется знак определителя на обратное (свойство 1). Если общее число перестановок нечетное, то нужно поменять знак произведения элементов главной диагонали на обратное.
  
  Онлайн нахождение определителя матрицы
  
  Для нахождения определителя матрицы вы можете использовать матричный онлайн калькулятор. Для подробного решения используйте онлайн калькулятор для вычисления определителя матрицы.
  
  Матричное уравнение когда определитель равен нулю
  
  Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
  
  Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
  
  Краткое содержание прошлых частей:
  
  Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  
  Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  
  Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  
  Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  
  Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  
  Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.
  
  И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
  
  ❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
  
  Что такое матричное уравнение
  
  Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
  
  Шаг 1. Упрощаем уравнение
  
  Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
  
  Приводим матричное уравнение к упрощённому виду
  
  Шаг 2. Вводим единичную матрицу
  
  В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
  
  Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1
  
  И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1
  
  При перемножении этих двух чисел получится единица:
  100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.
  
  Вот такое, только в мире матриц.
  
  Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:
  
  А -1 × А × Х = А -1 × В
  
  Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
  
  А -1 × А = E — единичная матрица
  
  E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем
  
  Х = А -1 × В — новая запись уравнения
  
  После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
  
  �� Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.
  
  Шаг 3. Находим обратную матрицу
  
  Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
  
  Делим единицу на определитель матрицы A.
  
  Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  
  Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.
  
  Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
  
  Третье действие: получаем обратную матрицу
  
  Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
  
  Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.
  
  Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу
  
  Шаг 5. Проверяем уравнение
  
  Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
  
  �� Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
  
  Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны
  
  Ну и что
  
  Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
  
  Матричные уравнения
  
  Рассмотрим матричное уравнение вида
  
  где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.5).
  
  Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение .
  
  В самом деле, подставляя в левую часть равенства (4.5), получаем , т.е. правую часть этого равенства.
  
  Заметим, что решением матричного уравнения служит обратная матрица .
  
  Рассмотрим также матричное уравнение вида
  
  где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.6).
  
  Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение .
  
  Заметим, что матрица является как бы «левым» частным от «деления» матрицы на матрицу , поскольку матрица в (4.5) умножается на слева, а матрица — «правым» частным, так как матрица в (4.6) умножается на справа.
  
  Пример 4.5. Даны матрицы
  
  Решить уравнения: а) ; б) ; в) .
  
  Решение. Обратная матрица была найдена в примере 4.2.
  
  а) Решение уравнения находим, умножая обе его части слева на
  
  б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы и имеют разное количество столбцов .
  
  в) Решение уравнения находим, умножая обе его части справа на
  
  Пример 4.6. Решить уравнение: , где .
  
  Решение. Преобразуя левую часть уравнения:
  
  Следовательно, . Обратная матрица найдена в примере 4.2:
  
  Пример 4.7. Решить уравнение , где
  
  Решение. Обратные матрицы
  
  были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле
  
  Пример 4.8. Решить уравнение , где
  
  Решение. Определитель матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу . Будем искать элементы матрицы . Подставляя в уравнение, получаем
  
  Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:
  
  Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные и
  
  Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид
  
  Матричное уравнение когда определитель равен нулю
  
  Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
  
  где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
  
  Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.
  
  Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.
  
  Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.
  
  Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
  
  Система может иметь единственное решение.
  
  Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  
  И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.
  
  Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
  
  Рассмотрим способы нахождения решений системы.
  
  МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
  
  Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
  
  Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
  
  т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
  
  или короче A∙X=B.
  
  Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
  
  Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.
  
  Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.
  
  Примеры. Решить системы уравнений.
  
  Найдем матрицу обратную матрице A.
  
  Таким образом, x = 3, y = – 1.
  
  Решите матричное уравнение: XA+B=C, где
  
  Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.
  
  Найдем матрицу А -1 .
  
  Решите матричное уравнение AX+B=C, где
  
  Из уравнения получаем .
  
  Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
  
  Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
  
  называется определителем системы.
  
  Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
  
  Тогда можно доказать следующий результат.
  
  Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
  
  Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:
  
  Сложим эти уравнения:
  
  Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
  
  Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:
  
  Аналогично можно показать, что и .
  
  Наконец несложно заметить, что
  
  Таким образом, получаем равенство: .
  
  Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
  
  Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
  
  Примеры. Решить систему уравнений
  
  Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:
  
  Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.
  
  При
  
  При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
  
  При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y,y Î R.
  
  Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
  
  Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
  
  Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
  
  Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
  
  Отсюда из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.
  
  При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
  
  Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
  
  и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
  
  К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
  
  перестановка строк или столбцов;
  
  умножение строки на число, отличное от нуля;
  
  прибавление к одной строке другие строки.
  
  Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
  
  Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
  
  Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.
  
  Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.
  
  Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.
  
  Вернемся к системе уравнений.
  
  Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.
  
  Похожие публикации:
  
  Nasa world wind как пользоваться
  
  Сколько измерений будет у следующего массива
  
  30 мм это сколько см в ворде
  
  Lastindexof c что это