Как избавиться от квадратного корня в уравнении
Когда вы впервые узнали о квадратах чисел, таких как 3 2 , 5 2 и x 2 , вы, вероятно, узнали об обратной операции с квадратами, а также о квадратном корне. Эта обратная связь между квадратными числами и квадратными корнями важна, потому что на простом английском языке это означает, что одна операция отменяет влияние другой. Это означает, что если у вас есть уравнение с квадратными корнями, вы можете использовать операцию «возведения в квадрат» или экспоненты, чтобы удалить квадратные корни. Но есть некоторые правила о том, как это сделать, а также потенциальная ловушка ложных решений.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Чтобы решить уравнение с квадратным корнем, сначала выделите квадратный корень с одной стороны уравнения. Затем возведите в квадрат обе стороны уравнения и продолжайте решение для переменной. Не забудьте проверить свою работу в конце.
Простой пример
Прежде чем рассмотреть некоторые потенциальные «ловушки» решения уравнения с квадратными корнями, рассмотрим простой пример: Решите уравнение √ x + 1 = 5 для x .
Изолировать квадратный корень
Используйте арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение квадратного корня на одной стороне уравнения. Например, если исходное уравнение было √ x + 1 = 5, вы бы вычли 1 из обеих частей уравнения, чтобы получить следующее:
Квадрат обе стороны уравнения
Возведение в квадрат обеих сторон уравнения устраняет знак квадратного корня. Это дает вам:
Или, как только упростили:
Вы удалили знак квадратного корня, и у вас есть значение для x , поэтому ваша работа здесь завершена. Но подождите, есть еще один шаг:
Проверь свою работу
Проверьте свою работу, подставив найденное вами значение x в исходное уравнение:
Поскольку это вернуло правильное утверждение (5 = 5, в отличие от неверного утверждения, такого как 3 = 4 или 2 = -2, решение, которое вы нашли на шаге 2, является действительным. В этом примере проверка вашей работы кажется тривиальной. Но этот метод Устранение радикалов может иногда создавать «ложные» ответы, которые не работают в исходном уравнении, поэтому лучше всегда иметь привычку проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они возвращают действительный результат, начиная сейчас.
Немного более сложный пример
Что если у вас есть более сложное выражение под знаком радикала (квадратный корень)? Рассмотрим следующее уравнение. Вы все еще можете применить тот же процесс, который использовался в предыдущем примере, но это уравнение выдвигает на первый план пару правил, которым вы должны следовать.
Изолировать радикальное
Как и раньше, используйте операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, чтобы выделить выражение радикала на одной стороне уравнения. В этом случае вычитание 5 с обеих сторон дает вам:
Предупреждения
Обратите внимание, что вас просят изолировать квадратный корень (который предположительно содержит переменную, потому что, если бы она была константой вроде √9, вы могли бы просто решить ее на месте; √9 = 3). Вас не просят изолировать переменную. Этот шаг наступает позже, после того как вы удалили знак квадратного корня.
Квадрат обе стороны
Возведите в квадрат обе стороны уравнения, что дает вам следующее:
Что упрощает до:
Предупреждения
Обратите внимание, что вы должны поставить квадрат под знаком радикала, а не только в переменной.
Изолировать переменную
Теперь, когда вы удалили корень или квадратный корень из уравнения, вы можете изолировать переменную. Чтобы продолжить пример, добавив 4 к обеим сторонам уравнения, вы получите:
Проверь свою работу
Как и прежде, проверьте свою работу, подставив найденное вами значение y обратно в исходное уравнение. Это дает вам:
Что упрощает до:
Упрощение радикала дает вам:
29 = 29, верное утверждение, которое указывает на действительный результат.
Как оценить логарифмы с основанием квадратного корня
Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, а b — значение, в котором логарифм .
Как оценить, используя кривую квадратного корня
Кривая квадратного корня — это метод повышения оценок всего класса, чтобы привести их в соответствие с ожиданиями. Его можно использовать для коррекции неожиданно сложных испытаний или, как правило, для сложных занятий.
Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на Ти-84
Чтобы найти квадратный корень с помощью моделей Texas Instruments TI-84, найдите символ квадратного корня. Эта вторая функция находится над клавишей x в квадрате на всех моделях. Нажмите вторую функциональную клавишу в левом верхнем углу клавиатуры и выберите клавишу х в квадрате. Введите значение, о котором идет речь, и нажмите Enter.
Как избавиться от иррациональности
Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.
Что такое иррациональность в знаменателе дроби
Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.
-
√ 6 2 в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет ;
-
5 √ 6 в знаменателе есть
корень « √ 6 » — иррациональность в знаменателе есть . -
4 √ 7 − √ 3 в знаменателе есть корни « √ 7 » и « √ 3 » — иррациональность есть .
-
a + b √ c − 3 в знаменателе есть
корень « √ c − 3 » — иррациональность в знаменателе есть .
Запомните! 
Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.
Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?
Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.
Запомните!
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
По традиции разберемся на практике.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
Зададим себе вопрос, на что нужно умножить « √ 5 » в знаменателе, чтобы избавиться от корня.
Ответ: на « √ 5 ». В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.
Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на « √ 5 », чтобы избавиться от корня в знаменателе.
| 3 |
| √ 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 · √ 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 · 5 |
=
| 3 · √ 5 |
| √ 5 2 |
=
=
| 3 · √ 5 |
| 5 |
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
Запомните!
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.
Разберемся по традиции на примере.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
На что нужно умножить знаменатель « 2 − √ 3 » , чтобы убрать из него корень?
Теперь недостаточно умножить знаменатель на « √ 3 » , ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.
Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.
Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.
Представим, что « 2 − √ 3 » — это часть формулы.
Логично предположить, что в формуле « a » — это « 2 », « b » — « √ 3 ». Подставим вместо знаков « ? » числа.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби требуется умножить знаменатель « 2 − √ 3 »
на « 2 + √ 3 » и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.
Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на « 2 + √ 3 ».
| 1 |
| 2 − √ 3 |
=
| 1 · (2 + √ 3 ) |
| (2 − √ 3 ) · ( 2 + √ 3 ) |
=
=
| 2 + √ 3 |
| 2 2 − √ 3 2 |
=
| 2 + √ 3 |
| 4 − 3 |
=
| 2 + √ 3 |
| 1 |
= 2 + √ 3
Примеры освобождения от иррациональности в знаменателе
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
2)
| 2 |
| √ 6 |
| 2 |
| √ 6 |
=
| 2 · √ 6 |
| √ 6 · √ 6 |
=
| 2 · √ 6 |
| √ 6 · 6 |
=
| 2· √ 6 |
| √ 6 2 |
=
=
| 2 · √ 6 |
| 6 |
Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.
7)
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Умножим и числитель, и знаменатель на «( √ 5 − √ 7 )», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
= …
Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| ( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| 5 − 2 √ 5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2 √ 35 |
| − 2 |
=
= −
| 12 − 2 √ 35 |
| 2 |
= …
| √ 5 − √ 7 |
| √ 5 + √ 7 |
=
| ( √ 5 − √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
| ( √ 5 + √ 7 ) ( √ 5 − √ 7 ) |
=
=
| ( √ 5 − √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| ( √ 5 ) 2 − 2 · √ 5 · √ 7 + ( √ 7 ) 2 |
| √ 5 2 − √ 7 2 |
=
=
| 5 − 2 √ 5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2 √ 35 |
| − 2 |
=
= −
| 12 − 2 √ 35 |
| 2 |
= −
| 2 · (6 − √ 35 ) |
| 2 |
=
= −
| 2 (6 − √ 35 ) |
| 2 |
=
= − (6 − √ 35 ) = −6 + √ 35
Разбор примера
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
5)
| 1 |
| √ a − √ b |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
Умножим и числитель, и знаменатель на « ( √ a + √ b ) », чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.
Как убрать квадрат у числа
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
.
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
[Подпись к рисунку]
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
Задача. Вычислите квадратный корень:
[Подпись к рисунку]
Извлечение корня из большого числа
А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже на умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1 + показать
Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из
Мы будем раскладывать число на простые множители. Делим на – получаем снова делим на – получаем На больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на то и само число делится на (вообще говоря, видно, что оно и на делится). . Еще раз делим на – получаем на нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой или ).
Подозреваем делимость на Действительно, а ,
Итак, Полный порядок!
Случай 2 + показать
Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…
На число нацело не делится (не является четным)…
На нацело не делится (сумма цифр не кратна )…
На нацело не делится (последняя цифра – не и не )…
На нацело не делится, на не делится, на не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?
Будем рассуждать несколько иначе.
Мы понимаем, что
Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от до Причем ясно, что раз последняя цифра числа – то останавливаться стоит на вариантах или – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру
