Как построить треугольник по двум сторонам и углу

Построение треугольников. Задачи на построение

Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов:

• анализа;
• построения;
• доказательства;
• исследования.

Каждый этап является важным. Например, анализ и исследование задачи необходимы для рассмотрения случаев, когда задача будет иметь решение, а когда – нет.

Построение фигур проще выполнять с помощью транспортира и линейки с делениями, но в математике необходимо уметь выполнять построение, используя циркуль и линейку без делений.

Построение отрезка, равного заданному

Построить отрезок, равный заданному, можно за 3 действия. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.

Пусть необходимо построить отрезок, который будет равен отрезку $АВ$. Для этого:

1. Отметим произвольно точку $А_1$ и проведем луч с началом в этой точке.
2. С помощью циркуля измерим заданный отрезок $АВ$.
3. Проведем часть окружности с радиусом, равным отрезку $АВ$, и центром в точке $А_1$. В точке пересечения окружности и построенного луча получим точку $В_1$.

Таким образом, построенный отрезок $А_1 В_1$ будет равен заданному отрезку $АВ$.

Построение угла, равного заданному

Построить угол, равный заданному, можно за $5$ действий. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.

Пусть необходимо построить угол, который будет равен углу $А$.

1. Отметим произвольную точку $А_1$ и проведем из нее луч $А_1$.
2. Циркулем с произвольным радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А$ до пересечения обеих сторон заданного угла $А$.
3. С тем же радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А_1$ до пересечения с лучом $А_1$.
4. Из точек пересечения проведем окружности с одинаковым радиусом.
5. Проведем прямую из точки $А_1$ через вторую точку пересечения.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка $b$ и $с$ и угол $А$:

Необходимо построить треугольник с заданными двумя сторонами и углом между ними:

Построение выполняется в 4 этапа, каждый из которых показан на рисунках:

Построим угол $А$, который равен заданному углу по схеме, которая рассматривалась выше.

С помощью циркуля замеряем отрезок $b$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на одной из сторон построенного угла. Получим точку $С$.

Циркулем замеряем отрезок $с$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на второй стороне построенного угла. Получим точку $В$.

С помощью линейки соединим точки $В$ и $С$.

Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по двум сторонам и углу между ними.

Для облегчения построения полезно схематически изобразить будущий треугольник со всеми необходимыми элементами. Так будет наглядней видно, что после чего нужно строить.

Построение треугольника по стороне и прилегающим к ней углам

Пусть даны два угла $А$ и $В$ и отрезок $с$:

Необходимо построить треугольник с заданными двумя углами и стороной, к которой они прилегают:

Построение выполняется в $3$ этапа, каждый из которых показан на рисунках:

Начертим произвольный отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.

Построим угол $А$, который равен заданному, как показано выше.

Построим угол $В$, который равен заданному.

Точка пересечения двух сторон построенных углов $А$ и $В$ является вершиной треугольника $С$.

Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по стороне и двум углам.

Построение треугольника по трем сторонам

Пусть даны $3$ отрезка $а$, $b$ и $с$.

Необходимо построить треугольник по трем заданным сторонам.

Построим отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.

Из точки $А$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $b$.

Из точки $В$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $a$. Пересечением обеих окружностей является точка $С$.

Таким образом, получили построенный треугольник $АВС$ по трем заданным сторонам.

Урок 27. Построение треугольника по трём элементам

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Построение треугольника по трём элементам:

• по 2 сторонам и углу между ними;
• по стороне и двум прилежащим к нему углам;
• по трём сторонам.

Задачи на построение:

• позволяют моделировать те или иные практические ситуации
• устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Построение треугольника по трём элементам.

Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:

1. Отрезок, равный данному.

2. Угол, равный данному.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.

Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.

Построение: описать способ построения.

Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.

Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.

Построить треугольник по трём заданным сторонам.

Схема построения:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Схема построения:

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Схема построения:

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.

∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.

Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано: отрезок р, угол α.

1. Построим ∠В = α.
2. Проведем окружность с центром В и радиусом р.
3. С – точка пересечения окружности и угла.
4. Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
5. ∆АВС – искомый.

Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Дано: отрезки р и q, угол α.

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.

Объясните как построить треугольник:
а) по двум сторонам и углу между ними
б) по стороне и двум прилежащим к ней углам

ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС. ПОМОГИТЕ В прямоугольном треугольнике СЕК высота СР делит гипотенузу КЕ на отрезки КР и РЕ. КС = 8, КР = 4. Найдите КЕ.

3. В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С 90°) катеты ВС = 8 см, АС = 15 см. Найдите синус, косинус и тангенс угла Аи В.

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС. ПОМОГИТЕ В прямоугольном треугольнике СЕК высота СР делит гипотенузу КЕ на отрезки КР и РЕ. КС = 8, КР = 4. Найдите КЕ.

По уравнению химической реакции: Cuo + H2 => Cu + H2O вычислите количество вещества меди, если в реакцию вступило 8 г оксида меди. За ответ буду очень благодарен)))

Построение треугольника по трем элементам

Треугольниками называют многоугольники с тремя сторонами и аналогичным количеством вершин.

При решении задач в рамках курса геометрии нередко приходится иметь дело с этими геометрическими фигурами. Прежде, чем приступать к вычислению составных элементов, необходимо научиться построению треугольников. Справиться с этим заданием несложно. Достаточно лишь правильно идентифицировать исходные данные и применить один из распространенных способов изображения фигур:

• по паре сторон и углу, который их разделяет;
• по определенной стороне и паре углов;
• на основании данных о трех сторонах.

Существует важная закономерность, которая существенно упрощает процесс построения геометрической фигуры с тремя сторонами и углами. Речь идет о сумме всех внутренних углов, из которых складывается рассматриваемый тип многоугольника, равной 180°. Перед изображением геометрической фигуры следует подготовить канцелярские принадлежности и инструменты:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• линейка;
• циркуль;
• карандаш.

Если следовать простому алгоритму действий, то можно легко избежать ошибок. Рекомендуется придерживаться следующей последовательности и воспроизводить геометрическую фигуру поэтапно:

1. Анализ условия задания. В первую очередь стоит разобраться с задачей, выписать известные величины, выявить связь между данными и искомой геометрической фигурой. В результате получится спланировать дальнейшие действия.
2. Изображение треугольника. Так как план готов, можно приступать к его реализации, используя подготовленные заранее инструменты.
3. Доказательство. На этой стадии необходимо идентифицировать полученное изображение, руководствуясь основными признаками и терминологией.
4. Исследование. Как и во многих математических и геометрических задачах, на заключительной стадии построения треугольника требуется проанализировать количество способов и возможности решения задачи.

По трем сторонам

Представим, что известны значения трех сторон, из которых состоит треугольник. Пусть это будут стороны АВ, АС, ВС. Попробуем выполнить построение искомой геометрической фигуры, используя ранее рассмотренный алгоритм действий. Согласно обозначенной последовательности, необходимо в первую очередь проанализировать условия и спланировать работу по выполнению изображения. Порядок построения:

• провести прямую линию а с точками А и В;
• изобразить пару кругов с центрами в точках А и В;
• там, где окружности пересекаются, обозначить точку С;
• совместить с помощью прямых линий все три точки.

В результате получится треугольник АВС:

Перейдем к шагу с доказательством. Заметим, что на иллюстрации четко видно три стороны и аналогичное количество вершин изображенного многогранника. Таким образом, можно сделать вывод о построении треугольника, что и требовалось по условию задания.

Проанализируем полученную фигуру. Так как при наложении окружностей одна на другую получается лишь пара точек, в которых они пересекаются, при изображении второго подобного треугольника он совпадет с тем, что получился выше. Стоит отметить, что в треугольнике какая-либо из трех сторон всегда короче по сравнению с суммой двух других сторон. В противном случае построение многогранника с тремя сторонами и углами не представляется возможным, а у задания не будет решения.

По двум сторонам и углу

Рассмотрим другую ситуацию, когда известны величины двух сторон АВ и АС, а также угол \(\alpha\) . Требуется выполнить построение треугольника. Как и в предыдущем случае, начать решение задачи стоит с анализа условий. Изучив предоставленную информацию, целесообразно спланировать дальнейшие действия:

• построить прямую линию а;
• обозначить на полученной прямой пару точек А и В;
• изобразить угол МАВ, величина которого идентична \(\alpha\) ;
• отмерить отрезок АС, который принадлежит прямой АМ;
• начертить третью сторону геометрической фигуры путем соединения точек В и С.

Наглядно результат реализации этого алгоритма выглядит следующим образом:

В процессе доказательства корректности представленного решения следует рассмотреть полученную геометрическую фигуру. Заметим, что все условия задачи соблюдены, а готовая фигура представляет собой треугольник. При исследовании рисунка становится понятно, что прямая линия а не имеет конца. Однако аналогичная линия совпадает с ней. Таким образом, данная задача обладает единственным решением при соблюдении условия о сумме внутренних углов. Если угол \(\alpha\) равен или больше, чем 180°, то задание невозможно решить.

По стороне и двум углам

Еще один действенный способ изобразить многоугольник с тремя углами и тремя сторонами заключается в построении геометрической фигуры на основе информации о величине одной стороны и градусной мере пары углов, которые к этой стороне прилегают. Предположим, что известная сторона равна ВС, а углы соответствуют \(\alpha\) и \(\beta\) .

Построим треугольник АВС с определенной стороной ВС, а также углами \(\angle К\) и \(\angle М\) , равными \(\alpha и \beta\) соответственно. Тогда последовательность действий выглядит следующим образом:

• провести прямую линию а с точками В и С;
• из вершины В отложить \( \angle К\) на стороне ВС;
• из вершины С отложить \(\angle М\) на стороне ВС;
• точку, где пересекаются лучи изображенных углов, обозначить А;
• провести через точку А отрезки АС и АВ.

В результате получим геометрическую фигуру в виде многогранника с тремя сторонами и тремя углами:

Итогом построения является геометрическая фигура по всем признакам соответствующая треугольнику. Если расположить углы в другую сторону, то также получится построить искомый треугольник. С другой стороны, полученная фигура аналогична первой, поэтому задача имеет единственной решение. Важным требованием является выполнение правила о сумме внутренних углов.

Примеры решения задач

Известны величины трех отрезков АВ, ВС, СА. Необходимо построить треугольник А1В1С1.

Отметим прямую линию l и точку А1.

Отложим на полученной прямой А1С1:

Отметим точку В1:

Соединим полученные точки, которые станут вершинами искомого треугольника.

По результатам анализа полученного многогранника с тремя углами и тремя сторонами понятно, что изображенная геометрическая фигура является треугольником. Кроме того, у данной задачи имеется единственное решение.

Ответ: треугольник А1В1С1

На рисунке представлен треугольник. Необходимо вычислить, насколько вершина В удалена от стороны АС. Известны следующие величины: АВ = ВС = 10 см \(\angle АВС = 120°\)

Так как представленный на изображении треугольник является равнобедренным, то его высота аналогична биссектрисе. Кроме того, ВН соответствует расстоянию между точкой В и отрезком АС:

\(\angle АВН = 120° \div 2 =60°\)

Напротив вычисленного угла А расположен катет ВН, величина которого составляет по формуле ½ от величины гипотенузы. Таким образом: