Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?
Эти две полезные теоремы – теорема Менелая и теорема Чевы — чаще применяются при решении олимпиадных задач, чем на ЕГЭ по математике. Однако в 2020 году в ряде вариантов ЕГЭ обнаружилась задача по планиметрии (№16), которую на первый взгляд невозможно решить без теоремы Менелая или теоремы Чевы. Но на самом деле, конечно, возможно. Например, в Санкт-Петербурге попались такие задачи.
Разберемся, что это за теоремы и как применяются. И действительно ли на ЕГЭ дали задачи на применение теорем, выходящих за рамки школьной программы. И можно ли эти задачи решить по-другому?
Теорема Менелая:
Пусть прямая пересекает произвольный треугольник причем – точка ее пересечения со стороной – точка ее пересечения со стороной и – точка ее пересечения с продолжением стороны
Тогда выполняется равенство:
Как это запомнить? Сначала рисуем треугольник Затем прямую, пересекающую две его стороны и продолжение третьей. На этой прямой лежат точки и причем на стороне должна лежать точка на стороне – точка и на продолжении – точка
Затем записываем равенство так, как будто «обходим» весь треугольник от точки к точкам и и затем возвращаемся в точку Но по дороге нам встречаются точки и – их тоже включаем в формулу.
Один из учащихся нашей ЕГЭ-Студии предложил такое мнемоническое правило: пусть точки и – это города, а точки и – заправки, где можно пополнить запас бензина. Тогда правило звучит так: «Едем из города в город, заезжаем на заправку!»Возможно, вы придумаете свое правило : -)
В некоторых задачах полезна обратная теорема Менелая.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник Предположим, что точка лежит на стороне точка лежит на стороне а точка лежит на продолжении стороны причём про эти точки известно, что
Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Как правило, не так-то просто бывает доказать, что три точки лежат на одной прямой. Обычно мы используем для доказательства такого факта косвенные методы. Например, если для точек и выполняется равенство: – то это означает, что точка лежит на отрезке Или, если нам удается доказать, что угол – развернутый, это и будет означать, что точки и лежат на одной прямой. Обратная теорема Менелая дает еще один способ доказательства того, что три точки – в данном случае и – лежат на одной прямой.
Теорема Чевы
Пусть точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника причем отрезки и пересекаются в одной точке. В этом случае выполняется равенство:
Обратная теорема Чевы:
Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки лежат соответственно на сторонах и треугольника причём
Тогда отрезки и пересекаются в одной точке.
Как применяются теоремы Менелая и Чевы?
Вот задача Профильного ЕГЭ по математике 2020 года (№16), Санкт-Петербургский вариант.
На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно, причём Отрезки и пересекаются в точке
а) Докажите, что — параллелограмм.
б) Найдите если отрезки и перпендикулярны,
Докажем пункт (а) с помощью теоремы Менелая:
По теореме Чевы,
Это значит, что по двум углам и то есть
Прямая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны
По теореме Менелая,
по углу и двум сторонам, отсюда
— параллелограмм по определению.
Мы доказали то, что требовалось в пункте (а).
Но что делать, если теоремы Менелая и Чевы вы не проходили в школе? Ничего страшного, докажем без теорем Менелая и Чевы. Их легко заменят подобные треугольники.
Докажем, что — параллелограмм.
Тогда по углу и двум пропорциональным сторонам,
По теореме Фалеса
по 2 углам,
тогда
Это значит, что по углу и двум сторонам и
Получим, что в четырёхугольнике :
Как видим, эти решения примерно одного уровня сложности.
А вот в пункте (б) нет необходимости применять теоремы Чевы и Менелая. Он легко решается с помощью обычной школьной геометрии.
Поскольку получим, что — прямоугольный.
Мы доказали в пункте (а), что — трапеция, причём
Тогда — параллелограмм (по признаку паралелограмма)
по теореме Пифагора из
Найдём из по теореме косинусов.
Вот еще одна задача, которую можно решить как с помощью теоремы Чевы, так и без нее.
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом построены во внешнюю сторону квадраты и Докажите, что:
а) прямые и отсекают от катетов треугольника равные отрезки
б) прямые и высота треугольника проведённая из вершины пересекаются в одной точке.
Пункт (а) доказывается легко.
Решим пункт (б) с помощью теоремы Чевы:
Запишем, чему равны длины отрезков Для длин и воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Проверим выполнение равенства
Равенство выполняется.
Согласно теореме Чевы, это значит, что и пересекаются в одной точке.
А вот как решается эта задача без теоремы Чевы, с помощью векторов:
Математик Менелай Александрийский жил в I веке до нашей эры (Древний Рим).
Математик и инженер Джованни Чева – XVII век, Италия.
Как видим, теоремы Менелая и Чевы оказываются полезны в некоторых задачах. Очень хорошо, если вы знаете эти теоремы. Однако если они для вас непривычны, можно применить простой школьный прием – пары подобных треугольников.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Теорема Менелая, теорема Чевы – нужны на ЕГЭ или нет?» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Когда 3 точки лежат на одной прямой
Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.
Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.
Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.
Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.
Решим поставленную задачу
Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:
После преобразования получим:
x-y=-3 — это уравнение прямой АБ
Проверим удовлетворяют ли координаты точки В этому уравнению, для этого достаточно выполнить подстановку координат точки В в место переменных в уравнении прямой АБ. Если получим верное числовое равенство, то точка В — это точка прямой АБ. В противном случае, неверное числовое равенство, будет свидетельствовать о не принадлежности точки В прямой АБ.
Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.
Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)
Теорема Менелая
Проведем через точку прямую, параллельную . Пусть она пересекается с прямой в точке .
Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда
(1)
Треугольники подобны по двум углам (см. рис), тогда
(2)
Умножим (1) на (2), получим
Домножим обе части последнего равенства на
<= Докажем теперь, что если выполняется равенство , то точки , и лежат на одной прямой.
Как можно доказать что 3 точки лежат на одной прямой
Способ доказательства зависит от данных, которыми определены эти три точки.
1. Пусть известны расстояния между этими тремя точками, нужно попарно просуммировать их и сравнить получившиеся пары с третьим расстоянием.
Если окажется, что сумма каких-нибудь двух отрезков, соединяющих данные точки, равна третьему отрезку, то эти точки лежат на одной прямой.
2. Пусть точки определены их координатами на координатной плоскости/в пространстве.
По координатам любых двух точек нужно составить уравнение и подставить в него координаты третьей точки.
Если координаты третьей точки обратят уравнение прямой в верное равенство, то эта точка принадлежит той же прямой, что и две другие точки.