U um cos wt что за формула

9

9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд

В практической электротехнике приходится иметь дело с электриче­скими цепями, состоящими из проводников, конденсаторов и катушек ин­дуктивности, по которым текут переменные токи, обусловленные вклю­ченными в эти цепи генераторами переменных напряжений одной и той же частоты. Для расчета таких цепей, т.е. для определения переменных токов на различных участках цепи, в электротехнике применяют метод комплексных амплитуд.

В электротехнике мнимую единицу, т.е. √-1принято обозначать символом j

Комплексное число z есть сумма вида

z = х + j y.

в которой действительное число х называют реальной, или вещественной частью комплексного числа z, а действительное число у — мнимой частью числа z:

х= Re z , у = Im z .

Комплексному числу z можно дать следующую геометрическую ин­терпретацию. Числа х и у рассматривают как декартовы координаты точки на плоскости ху (рис. 9.10). При этом комплексное число (9.68) соответствует точке, имеющей координаты х и у. Поэтому говорят, что точка на плоскости изображает некоторое комплексное число. Напри­мер, мнимая единица изображается точкой с координатами х = 0 и у = 1, которая лежит на оси у. При х = 0 комплексное число z = j у называют чисто мнимым.

Рис. 9.10.Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = х + j у можно также представить вектором на плоскости, который соединяет начало координат с точкой (x,у). Длину r этого вектора называют модулем комплексного числа z и обозначают \z\. Угол φ, который вектор z образует с осью х, называют аргумен­том комплексного числа. Декартовы координаты точки на плоскости связаны с rи φ соотношениями

х = rcosφ, у =rsin φ, (9.69)

при помощи которых формулу (9.68) можно записать в виде

z = r (cos φ+ j sin φ). (9.70)

Это выражение называют тригонометрической формой комплексного чи­сла. Очевидно, что

|z| = √(x 2 + y 2 ) tgφ= y/x (9.71)

Показательная функция е jφ мнимого аргумента jφ определяется фор­мулой Эйлера:

e jφ = cos φ +j sin φ. (9.72)

Это определение позволяет записать комплексное число (9.70) в так на­зываемой показательной форме:

z = re jφ . (9.73)

Мнимая единица на плоскости ху изображается вектором, длина ко­торого равна единице: |j| = 1, а аргумент φ = /2. Согласно формуле (9.73) мнимая единица

j = е j  / 2 . (9.74)

Z * = х — j у (9.75)

называется комплексно сопряженным числу z = х + j у. Нетрудно дока­зать, что

z*z=|z|

Квазистационарные токи в электрических цепях можно найти при по­мощи правил Кирхгофа (4.25) и (4.26):

Когда цепь состоит из проводников, конденсаторов и катушек индуктивности, уравнения (9.77) будут представлять собой линейные диффе­ренциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются токи, заряды на конденсаторах и напряжения. Примером дифференци­ального уравнения, которое может быть получено из правил Кирхгофа, является уравнение (9.52). Общее решение системы линейных уравне­ний (9.77) равно сумме двух функций. Первая функция является общим решением однородных уравнений. Эта функция описывает собственные колебания, которые в реальных случаях всегда затухают с течением вре­мени. Вторая функция является частным решением неоднородных урав­нений (9.77), которые содержат в своих правых частях ЭДС генераторов, включенных в рассматриваемую электрическую цепь. Именно это част­ное решение уравнений Кирхгофа представляет практический интерес в электротехнике. Так как на практике важно знать переменные токи, которые протекают в электрических цепях, подключенных к продолжи­тельное время работающим генераторам переменного напряжения.

Для решения этой задачи в электротехнике реальные зависимости токов и напряжений от времени заменяют комплексными величинами. Пусть, например, на некотором участке цепи протекает переменный ток, т.е. ток, сила которого изменяется со временем по закону

где I_m — амплитуда тока; w — частота; φ_I — начальная фаза колебаний тока. Рассмотрим комплексную функцию

I_*(t) = I_m e j cos(wt + φ _I ) (9.79)

Очевидно, что функция I(t) является реальной частью функции I_*(t):

Пусть на рассматриваемом участке цепи имеется переменное напряжение

где U_m — амплитуда напряжения; φ_U — начальная фаза колебаний напряжения.

U_*(t) = U_m e j cos(wt + φ _U )

Связана с напряжением соотношением

Аналогично вырабатываемую генератором переменную ЭДС

(t) = _m cos(ut + φ_) , (9.84)

где _т — амплитуда ЭДС; φ_ — начальная фаза, можно представить как реальную часть комплексной функции

_* (t) = _m e j ( wt + φ _ ) (9.85)

(t) = Re_* (t) (9.86)

Функции I_* (t), U_* (t) и _* (t) содержат в себе множитель е jwt . Значения I_* (0), U_* (0) и _* (0) этих функций называют комплексными амплитудами.

Ввиду линейности уравнений (9.77) для комплексных функций I_*k (t), U_*k (t) и _*k (t) справедливы такие же уравнения

I_*k (t) =0, U_*k (t) =  _*k (t)

Нетрудно видеть, что применение к этим уравнениям операции Re пре­образует их в уравнения. Преимущество уравнений (9.87) заключается в простоте их решения.

Пусть участок цепи представляет собой проводник с сопротивлением R. Сила тока

на этом участке подчиняются закону Ома:

U_R = RI_r, (9.88)

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения и тока связаны

а начальные фазы этих функций равны:

B таком случае говорят, что колебания напряжения и силы тока совпа­дают по фазе.

Соотношению (9.88) соответствует соотношение

связывающее комплексные амплитуды. Пусть

есть сила тока, протекающего по катушке индуктивности L, а

— напряжение на концах этой катушки. Сопротивление катушки будем считать равным нулю. Напряжение Ul на катушке равно с обратным знаком ЭДС индукции _L, которая возникает при изменении силы тока в ней:

По закону Фарадея

U_l = —LdI_L/dt

Этому равенству можно придать вид

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения на катушке ин­дуктивности и силы тока в ней связаны соотношением

U_m = w L I_т ,

а начальные фазы этих функций таковы, что

С учетом формулы (9.74) соотношению (9.90) можно придать вид

U_*L = jwLI_*L. (9.91)

Смысл этого равенства заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (9.90). Равенство (9.91) по виду напоминает закон Ома и его принято записывать следующим образом:

где чисто мнимая величина

называется комплексным сопротивлением катушки индуктивности, а ве­личина

X_L=wL

— индуктивным сопротивлением. Пусть

есть сила тока, притекающего к обкладкам конденсатора, а

— напряжение на них. Сила тока равна производной по времени от заряду Q на конденсаторе:

а напряжение Uc прямо пропорционально заряду Q:

Исключив из этих равенств заряд, придем к равенству

Для переменных напряжения и тока это равенство можно записать так:

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения на конденсаторе и силы тока связаны соотношением

U_m =I_m /(wC)

а начальные фазы функций таковы, что

C учетoм, формулы (9.74) соотношению (9.94) можно придать вид ,

Смысл этого равенства заключается в том, что операция Re преобразует его в равенство (9.94). Равенство (9.95) принято записывать так:

где чисто мнимая величина

называется комплексным сопротивлением конденсатора, а величина

Согласно формулам (9.89), (9.92) и (9.96) комплексные амплитуды напряжений и токов на проводнике, катушке индуктивности и конденсаторе подчиняются закону Ома, который теперь принимает вид,

где Z — комплексное сопротивление участка цепи, или его импеданс.

Рис. 9.11. Последовательноесоединение элементов цепи

участок цепи, состоящий из двух соединенных последова­тельно элементов, комплексные сопротивления которых равны Z₁ и Z₂ (рис. 9.11). В силу (9.98)

Напряжение на этом участке цепи равно сумме напряжений на его эле­ментах:

U_* = U_*1 + U_*2 ,

и через эти элементы протекает один и тот же ток:

Полученные равенства приводят к формуле (9.98), в которой

Pис.9.12. Параллельное соединение элементов цепи

Рассмотрим участок цепи, состоящий из двух параллельно соединен­ных элементов, комплексные сопротивления которых равны Z₁ и Z₂ (рис. 9.12). В силу (9.98) можно записать

I_*1 = U_*1 / Z₁ I_*2 = U_*2 / Z₂

Ток, втекающий на этот участок, разветвляется и равен сумме токов в его элементах:

а напряжение на каждом из этих элементов равно напряжению на всем участке:

U_* = U_*1 = U_*2

Полученные равенства приводят к формуле

1/ Z = 1 / Z₁ + 1 / Z₂ (9.100)

Формулы (9.99) и (9.100) дают возможность находить комплексные со­противления участков цепи, состоящих из нескольких элементов. В общем случае комплексное сопротивление участка цепи имеет вид

где действительная часть R называется активным сопротивлением участ­ка, а мнимая часть X — его реактивным сопротивлением. Комплексное число Z удобно представить в показательной форме

Z =|Z|e j  ,

а его аргумент  таков, что

Предположим, что для некоторого участка цепи известно его ком­плексное сопротивление. В таком случае из соотношения (9.98) можно установить как связаны амплитуды напряжения и тока на этом участке и их начальные фазы. Для этого подставим в соотношение (9.98) выра­жения (9.79), (9.62) и (9.102). Получим

U_m e j (wt + φ _U ) = |Z|e j  I_m e j (wt + φ _I )

Из этого равенства следует, что амплитуды напряжения и силы тока связаны соотношением

U_m = |Z|I_m , (9.105)

а начальные фазы таковы, что

В качестве примера расчета цепи методом комплексных амплитуд най­дем комплексное сопротивление участка цепи в схеме, изображенной на рис. 9.13.

Рис. 9.13. Электрическая цепь переменного тока

На этой схеме проводник сопротивлением R и катушка индуктивности L соединены последовательно. Параллельно этому участку присоединен конденсатор емкости С, на который подается переменное напряжение. По формулам (9.99) и (9.100) найдем комплексное сопротивление цепи Z:

1/ Z = 1 / Z_C + 1 / (R + Z_L)

С учетам формул (9.93) и (9.97) будем иметь

1/ Z = jwC + 1 / (R + jwL)

После несложных преобразований получим

Z = (R + jwL) /(1- w 2 LC+ jwRC)

w 2 LC- jwRC)

Z = (R + jw(L(1- w 2 LC)+ R 2 C))/( (1- w 2 LC) 2 +(jwRC) 2 )

Из полученных формул найдем модуль и аргумент комплексного сопро­тивления:

|Z| = √(( R 2 +-(wL) 2 )/((+(jwRC) 2 )/ ( (1- w 2 LC) 2 +(jwRC) 2 )

tg =(wL (1- w 2 LC) 2 — wR 2 C)/R.

Теперь при помощи равенств (9.105) и (9.106) можно найти соотношения, связывающие амплитуды и начальные фазы колебаний напряжения и тока.

В схеме на рис. 9.7 проводник сопротивлением R, конденсатор С и катушка индуктивности L соединены последовательно. Поэтому ком­плексное сопротивление этой цепи равно

Z = R + 1 / jwC +jwL

Модуль этого комплексного числа будет

|Z|=√( (1- w 2 LC) 2 — (wRC) 2 )/(wC)

Пусть ЭДС генератора, подключенного к этой цепи, зависит от времени как

(t) = _m cos w t.

Тогда согласно формуле (9.105) амплитуда силы тока будет

I_m =_m/|Z| = wC_m/√( (1- w 2 LC) 2 — (wRC) 2 )

Нетрудно убедиться в том, что эта формула совпадает с формулой (9.62) с тем только отличием, что частота колебаний ЭДС здесь обозначена как w.

Чем больше напряжение тем меньше сила тока в цепи

Есть говорить об официальной формулировке, то закон Ома можно озвучить так:

Сила тока имеет прямую зависимость от напряжения и обратную от сопротивления. Это высказывание справедливо для участка цепи с каким-то определенным и стабильным сопротивлением.

Формула этой зависимости на рисунке. Тут I — это сила тока, U — напряжение, R — сопротивление.

Формула закона Ома

• Чем больше напряжение, тем больше ток.
• Чем больше сопротивление, тем ток меньше.

Не так легко представить себе смысл этого выражения. Ведь электричество нельзя увидеть. Мы только приблизительно знаем что это такое. Попытаемся уяснить себе смысл этого закона при помощи аналогий.

Подтверждение закона Ома

Бум исследования электрических явлений пришёлся на конец XVIII – начало XIX веков. Такие учёные, как Фарадей, Ампер, Вольт, Эрстед, Кулон, Лачинов, Ом провели ряд экспериментов, которые позволили Максвеллу создать теорию электромагнитных явлений.

Огромную роль в открытии новых знаний сыграл опыт Ома исследовавшего, от чего зависит сила тока в цепи. Немецкий физик ставил опыты над проводимостью различных материалов. Для этого он использовал электрическую цепь, в разрыв которой подключал проводники разной длины и замерял силу тока.

Изначально учёный не смог установить закономерность. Всё дело в том, что для своих опытов Ом использовал химическую батарею. Друг учёного Поггендорф предложил взять термоэлектрический источник тока. В итоге физик смог проследить зависимость. Описал он её так: частное от a, разделённого на l + b, где b определяет интенсивность воздействия на проводника длиною l, причём a и b — постоянные, зависящие соответственно от действующей силы и сопротивления элементов цепи.

Обычно при изучении закона в седьмом классе средней школы учитель демонстрирует эту зависимость на практических уроках. Для этого чтобы ученики удостоверились в справедливости утверждения, преподаватель собирает электрическую цепь, в состав которой входят:

• вольтметр – прибор для измерения напряжения, включается параллельно измеряемому проводнику;
• амперметр – устройство для замера тока, подключается последовательно с измеряемым телом;
• регулируемый источник электродвижущей силы (ЭДС).

Суть опыта заключается в подключении проводников с разной длиной. Измеренные результаты заносят в таблицу. Она должна иметь примерно следующий вид:

Проведя анализ таблицы, можно сделать вывод. Если для любого тела напряжение разделить на соответствующую ему силу тока, то получится одно и то же число. Следовательно, это отношение является свойством проводника. Для первого оно равно двум, второго – пяти, а третьего – десяти. При одинаковых токах в третьем случае число больше, значит, это тело оказывает большее сопротивление току.

Полученные значения по факту и являются величинами, обратными проводимости. Обозначают их буквой R (resistance).

Разбираемся что такое ток и сопротивление

Начнем с понятия электрического тока. Если говорить коротко, электрический ток применительно к металлам — это направленное движение электронов — отрицательно заряженных частиц. Их обычно представляют в виде небольших кружочков. В спокойном состоянии они передвигаются хаотически, постоянно меняя свое направление. При определенных условиях — возникновении разницы потенциалов — эти частицы начинают определенное движение в какую-то сторону. Вот это движение и есть электрический ток.

Чтобы было понятнее, можно сравнить электроны с водой, разлитой на какой-то плоскости. Пока плоскость неподвижна, вода не движется. Но, как только появился наклон (возникла разница потенциалов), вода пришла в движение. С электронами примерно так же.

Примерно так можно себе представить электрический ток

Теперь надо понять, что такое сопротивление и почему с силой тока у них обратная связь: чем выше сопротивление, тем меньше ток. Как известно, электроны движутся по проводнику. Обычно это металлические провода, так как металлы обладают хорошей способностью проводить электрический ток. Мы знаем, что металл имеет плотную кристаллическую решетку: много частиц, которые расположены близко и связаны между собой. Электроны, пробираясь между атомами металла, на них наталкиваются, что затрудняет их движение. Это помогает проиллюстрировать сопротивление, которое оказывает проводник. Вот теперь становится понятным, почему, чем выше сопротивление, тем меньше сила тока — чем больше частиц, тем электронам сложнее преодолевать путь, делают они это медленнее. С этим, вроде, разобрались.

Если у вас есть желание проверить эту зависимость опытным путем, найдите переменный резистор, соедините последовательно резистор — амперметр — источник тока (батарейка). Еще желательно в цепь вставить выключатель — обычный тумблер.

Цепь для проверки зависимости силы тока от сопротивления

Крутя ручку резистора вы изменяете сопротивление. При этом показания на амперметре, который измеряет силу тока, тоже меняются. Причем чем больше сопротивление, тем меньше отклоняется стрелка — меньше ток. Чем сопротивление меньше — тем сильнее отклоняется стрелка — ток больше.

Вместо стрелочного прибора можно использовать цифровой мультиметр в режиме измерения постоянного тока. В этом случае отслеживаются показания на жидкокристаллическом цифровом табло.

Зависимость тока от сопротивления почти линейная, то есть на графике отражается почти прямой линией. Почему почти — об этом надо говорить отдельно, но это другая история.

График зависимости

По результатам эксперимента Ом построил график зависимости силы тока от сопротивления, который напоминает собой левую часть параболы. Современная запись закона Ома имеет вид: I = U / R. Звучит она следующим образом: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален электрическому сопротивлению.

Но при разработке приборов или исследовании участка цепи перед учёными и инженерами стоит задача, прежде всего, выяснить зависимость тока от напряжения. Поэтому ими строится график, в котором по оси абсцисс откладывают значение потенциала, а ординат — силы тока. В итоге если отложить соответствующие точки, то должна получиться прямая линия. Это говорит о том, что зависимость величин линейная. То есть во сколько раз увеличивается напряжение, во столько же возрастает сила тока.

Такого вида график называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Но при реальных измерениях изменение ток зависит ещё от температуры. Установлено, что при нагреве сопротивление проводника увеличивается. Поэтому прямая на ВАХ будет иметь меньший угол наклона. Кроме того, ток может быть двух видов:

• постоянный – сила не изменяется от времени;
• переменный – изменяющийся по синусоидальному закону.

Поток носителей заряда для второго вида описывается гармоническим законом: I(t) = Im * cos (wt + f), где: w – циклическая частота, f – сдвиг фаз относительно напряжения, Im – наибольшее значение тока. Тогда изменение напряжения во времени можно записать так: U(t) = Um * cos (wt). В этом случае закон Ома примет вид: I = U / Z, где Z – полное сопротивление цепи.

График зависимости силы тока от времени, впрочем, как и напряжения, будет представлять собой синусоиду. Если отложить их на одном рисунке, то при активном сопротивлении (резистор) фазы величин будут совпадать друг с другом. В схеме, содержащей реактивные составляющие, а это ёмкость, и индуктивность, фаза тока соответственно будет опережать и отставать от напряжения. Угол изменения составит девяносто градусов.

Графики зависимости позволяют определить мощность. Сделать это можно, воспользовавшись формулой: P = U * I * cos(f). Чтобы построить график мощности, нужно аппроксимировать на ось t точки синусоиды I(t) и U(t), в которых параметры изменяют свой знак.

Характеристика P(t) будет также описываться по гармоническому закону. Причём в каждой этой точке линя изменит направление.

Говорим о напряжении

Не менее важно понять что такое напряжение. Давайте сразу начнем с аналогии и снова используем воду. Пусть в воронке находится вода. Она просачивается через узкое горлышко, которое создает сопротивление. Если представить, что на воду уложили груз, движение воды ускорится. Этот груз — и есть напряжение. И теперь тоже понятно, почему чем выше напряжение, тем сильнее ток — чем сильнее давление, тем быстрее будет двигаться вода. То есть, зависимость прямая: больше напряжение — больше ток. И именно это положение отражает закон Ома — «давление» стоит в числителе (в верхней части дроби).

Можно попробовать представить напряжение по-другому. Есть все те же электроны, которые скопились на одном краю источника питания. На втором краю их мало. Так как каждый из электронов имеет какой-то заряд, там, где их много, суммарный заряд больше, где мало — меньше. Разница между зарядами и есть напряжение. Это тоже несложно представить. С точки зрения электричества — это более корректное представление, хоть и не точное.

На тему закона Ома есть немало забавных картинок, позволяющих чуть лучше понять все эти явления. Одна из них перед вами и иллюстрирует, как ток зависит от напряжения и сопротивления. Смотрите что получается: сопротивление старается уменьшить ток (обратная зависимость), а с ростом напряжения он увеличивается (прямая зависимость). Это и есть закон Ома, но переданный простыми словами.

Благодаря картинке просто понять зависимость тока от напряжения и сопротивления

Если вы хотите убедиться и в этой зависимости, тоже надо создать простенькую цепь. Но нужен будет либо регулируемый источник питания, либо несколько батареек, которые выдают разное напряжение. Или можно последовательно включать несколько батареек — тоже вариант. Но менять/подпаивать батарейки надо при разорванной цепи (выключенном тумблере).

В этой схеме используются два измерительных прибора: амперметр включается последовательно с нагрузкой (резистор на схеме ниже), вольтметр параллельно нагрузке.

Схема для иллюстрации закона Ома

Так как другие параметры цепи остаются в норме, при увеличении напряжения мы увидим увеличение силы тока. Чем больше напряжение подаем, тем больше отклоняются стрелки вольтметра и амперметра. Если задаться целью построить график, он будет в виде прямой. Если поставить другое сопротивление, график также будет в виде прямой, но угол наклона ее изменится.

Величина силы тока

По определению силой тока называется физическая величина равная величине заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника за время t:

Если сила тока не зависит от времени, то такой электрический ток называется постоянным. Рассмотрим далее именно такой случай, когда ток постоянен. Измерить величину заряда чрезвычайно трудно, поэтому в 1826 г. немецкий физик Георг Ом поступил следующим образом: в электрической цепи, состоящей из источника напряжения (батареи) и сопротивления, он измерял величину тока при разных значениях сопротивления. Затем, не меняя величину сопротивления, он стал изменять параметры источника напряжения, подключая сразу, например, два-три источника. Измеряя величину тока в цепи, он получил зависимости силы тока от напряжения U и от сопротивления R.

Рис. 1. Схема измерений тока и напряжения Георга Ома.

Что изменится для полной цепи

В ситуации выше рассмотрен только некоторый участок цепи, обладающий каким-то фиксированным сопротивлением. Мы предполагаем, что при определенных условиях электроны начнут движение. Причина этого движения — тот самый груз на картинке. В реальных условиях это — источник тока. Это может быть батарейка, генератор постоянного тока, подключенный шнур блока питания и т.д. При подключении источника питания к проводнику в нем начинает протекать ток. Это мы тоже знаем и наблюдаем, когда включаем лампу в сеть, ставим заряжаться мобильный телефон и т.д.

Полная цепь включает в себя источник питания

Участок цепи имеет какое-то сопротивление. Это понятно. Но источник питания тоже имеет сопротивление. Его обычно обозначают маленько буквой r. Так как ток бежит по кругу, ему приходится преодолевать сопротивление провода и сопротивление источника тока. Вот это суммарное сопротивление цепи и источника питания — называют импеданс. Говорят еще что это комплексное сопротивление. В формуле Ома для полной цепи его отображают при помощи суммы. В знаменателе стоит сумма сопротивлений цепи и внутреннего сопротивления источника тока (R + r).

Всем, наверное, понятно, что именно источник тока создает нужные условия для движения электронов. Все благодаря тому, что он обладает ЭДС — электродвижущей силой. Эта величина обозначается обычно E. Чем больше эта сила, тем больше ток. Это тоже, вроде, понятно. Поэтому обозначение ЭДС — латинскую букву E — ставят в числитель. Таким образом, формулировка закона Ома для полной цепи звучит так:

Сила тока прямо пропорциональна ЭДС источника тока и обратно пропорциональна сумме сопротивлений цепи и внутреннего сопротивления источника тока.

Вроде не слишком сложно, но можно попробовать еще проще:

• Чем выше ЭДС источника тока, тем больше ток.
• Чем больше суммарное сопротивление, тем ток меньше.

Как найти сопротивление, напряжение

Зная формулу закона Ома для участка цепи, мы можем рассчитать напряжение и сопротивление. Напряжение находится как произведение силы тока и сопротивления.

Формула напряжения и сопротивления по закону Ома

Сопротивление можно найти, разделив напряжение на ток. Все действительно несложно. Если мы знаем, что к участку цепи было проложено определенное напряжение и знаем какой при этом был ток, мы можем рассчитать сопротивление. Для этого напряжение делим на ток. Получаем как раз величину сопротивления этого куска цепи.

С другой стороны, если мы знаем сопротивление и силу тока, которая должна быть, мы сможем рассчитать напряжение. Надо всего лишь перемножить силу тока и сопротивление. Это даст напряжение, которое необходимо подать на этот участок цепи чтобы получить требуемый ток.

Параллельное и последовательное соединение

В электрике элементы соединяются либо последовательно — один за другим, либо параллельно — это когда к одной точке подключены несколько входов, к другой — выходы от тех же элементов.

Закон Ома для параллельного и последовательного соединения

Последовательное соединение

Как работает закон Ома для этих случаев? При последовательном соединении сила тока, протекающая через цепочку элементов, будет одинаковой. Напряжение участка цепи с последовательно подключенными элементами считается как сумма напряжений на каждом участке. Как можно это объяснить? Протекание тока через элемент — это перенос части заряда с одной его части в другую. То есть, это определенная работа. Величина этой работы и есть напряжение. Это физический смысл напряжения. Если с этим понятно, двигаемся дальше.

Последовательное соединение и параметры этого участка цепи

При последовательном соединении приходится переносить заряд по очереди через каждый элемент. И на каждом элементе это определенный «объем» работы. А чтобы найти объем работы на всем участке цепи, надо работу на каждом элементе сложить. Вот и получается, что общее напряжение — это сумма напряжений на каждом из элементов.

Точно так же — при помощи сложения — находится и общее сопротивление участка цепи. Как можно это себе представить? Ток, протекая по цепочке элементов, последовательно преодолевает все сопротивления. Одно за другим. То есть чтобы найти сопротивление, которое он преодолел, надо сопротивления сложить. Примерно так. Математический вывод более сложен, а так понять механизм действия этого закона проще.

Параллельное соединение

Параллельное соединение — это когда начала проводников/элементов сходятся в одной точке, а в другой — соединены их концы. Постараемся объяснить законы, которые справедливы для соединений этого типа. Начнем с тока. Ток какой-то величины подается в точку соединения элементов. Он разделяется, протекая по всем проводникам. Отсюда делаем вывод, что общий ток на участке равен сумме тока на каждом из элементов: I = I1 + I2 + I3.

Теперь относительно напряжения. Если напряжение — это работа по перемещению заряда, тоо работа, которая необходима на перемещение одного заряда будет одинакова на любом элементе. То есть, напряжение на каждом параллельно подключенном элементе будет одинаковым. U = U1=U2=U3. Не так весело и наглядно, как в случае с объяснением закона Ома для участка цепи, но понять можно.

Законы для параллельного соединения

Для сопротивления все несколько сложнее. Давайте введем понятие проводимости. Это характеристика, которая показывает насколько легко или сложно заряду проходить по этому проводнику. Понятно, что чем меньше сопротивление, тем проще току будет проходить. Поэтому проводимость — G — вычисляется как величина обратная сопротивлению. В формуле это выглядит так: G = 1/R.

Для чего мы говорили о проводимости? Потому что общая проводимость участка с параллельным соединением элементов равна сумме проводимости для каждого из участков. G = G1 + G2 + G3 — понять несложно. Насколько легко току будет преодолеть этот узел из параллельных элементов, зависит от проводимости каждого из элементов. Вот и получается, что их надо складывать.

Теперь можем перейти к сопротивлению. Так как проводимость — обратная к сопротивлению величина, можем получить следующую формулу: 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3.

Что нам дает параллельное и последовательное соединение?

Теоретические знания — это хорошо, но как их применить на практике? Параллельно и последовательно могут соединяться элементы любого типа. Но мы рассматривали только простейшие формулы, описывающие линейные элементы. Линейные элементы — это сопротивления, которые еще называют «резисторы». Итак, вот как можно использовать полученные знания:

• Если в наличии нет резистора большого номинала, но есть несколько более «мелких», нужное сопротивление можно получить соединив последовательно несколько резисторов. Как видите, это полезный прием.
• Для продления срока жизни батареек, их можно соединять параллельно. Напряжение при этом, согласно закону Ома, останется прежним (можно убедиться, измерив напряжение мультиметром). А «срок жизни» сдвоенного элемента питания будет значительно больше, нежели у двух элементов, которые сменят друг друга. Только обратите внимание: параллельно соединять можно только источники питания с одинаковым потенциалом. То есть, севшую и новую батарейки соединять нельзя. Если все-таки соединить, та батарейка которая имеет больший заряд, будет стремиться зарядить менее заряженную. В результате общий их заряд упадет до низкого значения.

Практическое применение закона Ома: можно создавать источники питания с нужным напряжением и силой тока

В общем, это наиболее распространенные варианты использования этих соединений.

U um cos wt что за формула

• 1 Вт*ч = 3600 Дж;
• 1 гВт*ч = 100 Вт*ч = 360 000 Дж;
• 1 кВт*ч = 1000 Вт*ч = 3 600 000 Дж.

Связь мощности тока с действием тока в электрической цепи

X xmax cos wt формула

d 2 X/dt 2 = -w 2 X

d 2 X/dt 2 + w 2 X = 0

где d 2 X/dt 2 = kX/m w = k/m

X = A sin ( wt + fо)

Х = А sin (wt + f )

u = X = A w cos(wt + f )

a = u = X \ = -Aw 2 sin (wt + f )

u = dX/dt = ( A sin wt) = A cos wt u = Aw

a = d 2 X/dt 2 = du/dt (Acos wt) = -Aw 2 sin wt a = Aw 2

Ek = mA 2 cos 2 w t

Еп = kA 2 /2 здесь: k = m w 2 так как k = ma /X = mA 2 w 2 /X

Еп =mA 2 w 2 sin 2 w t

Ек = mA 2 w 2 sin 2 w t

2

Ек + Еп = mA 2 w 2 (sin 2 wt + cos 2 wt)

U um cos wt что за формула

Переменный ток-это ток, сила или направление которого (или то и другое в месте) изменяются во времени.

Характеристики переменного тока, частота, фаза:

Пульсирующий ток-это ток, изменяющийся только по величине.

Наиболее часто используется переменный синусоидальный ток. Периодически не синусоидальные токи можно с любой степенью точности представить, как сумму синусоидальных переменных токов.

Мгновенные значения переменного синусоидального тока и напряжения выражаются формулами:

I = I _m * sin w t

U = U _m * sin ( w t + j )

w=2pn

Где I _m и U_m – наибольшие(амплитудные) значения тока и напряжения, w- угловая(циклическая) частота тока, t -время, j — разность фаз между током и напряжением, n — частота тока.

Действующим (или эффективным) значением переменного тока ( I ) называют такое значение постоянного тока, который на том же омическом сопротивлении выделяет ту же мощность, что и переменный ток.

Индуктивная и емкостная нагрузка в цепи переменного тока:

В большинстве случаев (но не всегда) ампер метры и вольт метры показывают действующее значение тока или напряжения. Для синусоидальных токов:

I = I _m / 2

U = U_m / 2

Индуктивная нагрузка L в цепи переменного магнитного тока действует аналогично сопротивлению, включенному в цепь, т.е. уменьшает силу тока. Величина индукционного сопротивления:

X_L = w L

Это сопротивление обусловлено возникающей в катушке Э.Д.С. самоиндукции.

Переменный ток в приборе, обладающем только индуктивным сопротивлением, отстает на 90 ○ по фазе от напряжения, которое приложено к прибору.

Емкостная нагрузка в цепи переменного тока (в отличие от постоянного тока!) характеризуется определенным сопротивлением. Сопротивление, которая оказывает такая нагрузка, называют емкостным:

X_C =1/ w C

Ток в конденсаторе опережает напряжение на 90 ○ . При последовательном соединении активной, индуктивной и емкостной нагрузки полное сопротивление равно:

Z = R 2 +( w L -1/ w C ) 2

Величина Z называется кажущимся сопротивлением (импедансом) в отличие от величины R , которая называется омическим сопротивлением.

При X_L = X_C кажущееся сопротивление имеет наименьшее значение, а ток в цепи наибольшее значение.

Это явление называется последовательным электрическим резонансом.

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из соотношений:

tg j = ( w L -1/ w C )/ R

cos j = R / Z

Мощность переменного тока:

Мощность выделяемая переменным током в цепи:

P = U I * cos j

Величину cos j называют коэффициентом мощности.

При параллельном включении емкостной, индуктивной и фктивной нагрузки общее сопротивление:

Z =1/ (1/ R 2 )+(1/ w L — w c ) 2

А сдвиг фаз определяется из соотношения:

tg j = R *(1/ w L — w c )

При X_L = X_C кажущееся сопротивление Z_P = R имеет максимальное значение, а j =0. Это явление называется параллельным электрическим резонансом.

При прохождении переменного тока по проводнику в нем наводятся индукционные токи; плотность тока у поверхности проводника будет больше, чем в середине. Это различие будет тем больше, чем выше частота тока (при высоких частотах плотность тока в середине проводника может быть практически равной нулю). Это явление называют поверхностным эффектом (или скинэффектом).