Как понять что последовательность ограничена

Ограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера выполняются неравенства:

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена — снизу нулем, а сверху единицей.

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Рассмотрим и попробуем его оценить сверху:

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: , то получаем, что

Выражение принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении , то есть для . А тогда

А таким образом, существует такое число , что для любого номера , . Значит, по определению последовательность ограничена.

Ответ. Последовательность ограничена

Монотонные последовательности Основные понятия и определения

Определение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.

Определение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Определение

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Примеры исследования последовательностей на монотонность

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность -го члена последовательности и ее -го члена :

а тогда делаем вывод, что — возрастающая последовательность.

Ответ. — возрастающая последовательность.

Задание. Исследовать последовательность на монотонность.

Решение. Найдем отношение -го члена последовательности к ее -му члену :

Для выражение , то есть заданная последовательность является монотонно убывающей.

Ответ. — монотонно убывающая последовательность.

Нестрогая монотонность

Последовательность является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для ,

Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то последовательность называетсяпостоянной.

Последовательность является постоянной, так для любого натурального :

7 Вопрос. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Геометрический смысл сходимости последовательности. Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число называется пределом последовательности и обозначается ,

Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

Определение

Целой частью некоторого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее

Ограниченные последовательности

Последовательность \, n$\ \in $ N, называется ограниченной, если существуют числа a и b, при которых для каждого номера последовательности n справедливо неравенство (рис.1):

Например, последовательность вида:

Ограничена, т.к. $0\le a_ \le 1$

Последовательность $a_n$, n$\ \in $ N, называется ограниченной сверху, если существует b, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Например, последовательность вида:

Ограничена сверху, т.к. $a_ \le 99$

Рисунок 1. Ограничение последовательности

Последовательность $a_n$, n$\ \in $ N, называется ограниченной снизу, если существует а, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Например, последовательность вида:

Ограничена снизу, т.к. $a_ \ge -1$

Числовые последовательности могут быть неограниченными или постоянными.

Определить вид последовательности:

Не является ограниченной, т.к. для любых a и b можно найти большее или меньшее значение.

Определить вид последовательности:

Поскольку все члены последовательности равны, числовая последовательность — постоянная.

Определить ограниченность последовательности

Вывод: Функция ограничена и сверху, и снизу, поскольку $a_ \ge \frac<3> <2>$ и $a_

Предел последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула \(y_n=\frac1n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность дробей:

\(1,\)	\(\frac12,\)	\(\frac13,\)	\(. \)	\(\frac1n,\)	\(. \)
1	2	3	.	n	.

2) Формула \(y_n=(-1)^n,\ n\in\mathbb\) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

-1,	1,	-1,	1,	-1,	1,	.
1	2	3	4	5	6	.

3) Рекуррентная формула \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_(n+2)=y_(n+1)+y_n\) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

1,	1,	2,	3,	5,	8,	.
1	2	3	4	5	6	.

4) Описание «число π точностью до \(10^<-n>\)» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

3,1;	3,14;	3,141;	3,1415;	3,14159;	3,141592;	.
1	2	3	4	5	6	.

Этот ряд можно также задать формулой \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

1) \(y_n=\frac1n\) Последовательность сходится к 0

2) \(y_n=(-1)^n\) Последовательность ни к чему не сходится

3) числа Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) Последовательность уходит на бесконечность

4) приближения числа π Последовательность сходится к π

В приведенных примерах мы видим, что последовательность \(y_n=\frac1n\) сходится к 0, а приближение числа π \(y_n=\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>\) конечно же сходится к π.
Говорят, что у таких последовательностей есть конечный предел, и записывают это так: $$ \lim_\frac1n=0,\ \ \lim_\frac<[\pi\cdot 10^n]><10^n>=\pi $$

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть \(y_n=\frac<1>\). Докажем, что предел этой последовательности b=0.
Найдем номер \(N_<\varepsilon>\) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела \(b=0:\ -\varepsilon\lt y_n\lt\varepsilon\).
Решаем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\): \begin \left|\frac<1>-0\right|\lt 0,001\Rightarrow \frac<1>\lt 0,001\Rightarrow n+4\gt \frac<1><0,001>=1000\\ n\gt 996\Rightarrow N_<\varepsilon>=997 \end Значит, начиная с \(N_<\varepsilon>=997\), все \(y_n=\frac<1>,\ n\geq N_<\varepsilon>=997\) будут меньше ε=0,001.
Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер \(N_<\varepsilon>\) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
Теперь найдем общую формулу зависимости \(N_<\varepsilon>\) для последовательности \(y_n=\frac<1>\) с пределом b=0: \begin \left|\frac<1>-0\right|\lt \varepsilon \Rightarrow \frac<1>\lt \varepsilon\Rightarrow n+4\gt \frac<1><\varepsilon>\\ n\gt\frac1\varepsilon-4\Rightarrow N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1 \end где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

\(\varepsilon\)	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	7	97	997	9997	99997	999997
\(\lg \varepsilon\)	-1	-2	-3	-4	-5	-6
\(\lg N_<\varepsilon>\)	0,845	1,987	2,999	4,000	5,000	6,000

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_<\varepsilon>\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_\frac<1>=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_<\varepsilon>=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_<\varepsilon>\) разность \(\left|\frac<1>-0\right|\), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

Например:
1) последовательность \(y_n=\frac1n\) ограничена сверху \(M=y_1=1\) и ограничена снизу \(m=\lim_y_n=0\). Т.е. \(0\lt y_n\leq 1,\ \forall n\) — последовательность ограничена.
2) последовательность \(y_n=(-1)^n\) ограничена сверху \(M=1\) и ограничена снизу \(m=-1\). Т.е. \(-1\leq y_n\leq 1,\ \forall n\) — последовательность ограничена.
3) последовательность чисел Фибоначчи \(y_1=1,\ y_2=1,\ y_=y_+y_n\) ограничена снизу \(m=1\), но неограничена сверху. Т.е. последовательность неограничена: \(\lim_=+\infty\)

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Разберем данное выше определение неограниченности (стремления к бесконечности) на конкретном примере.
Пусть \(y_n=n^2\). Докажем, что последовательность неограничена.
Найдем номер \(N_M\) члена последовательности, который первым окажется больше \(M=100\) — нашего «сколько угодно большого числа».
Согласно определению, подставляем значения в неравенство \(|y_n|\gt M\): \begin |n^2|\gt 100\Rightarrow n^2\gt 100\Rightarrow n\gt 10\\ N_M=11 \end Т.е. все \(y_n\), начиная с 11-го, будут больше 100.
Выведем общую формулу для \(N_M\): \begin |n^2|\gt M\Rightarrow n^2\gt M\Rightarrow n\gt\sqrt\\ N_M=[\sqrt]+1 \end где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

\(M\)	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
\(N_M\)	4	11	33	101	317	1001

Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_n^2=+\infty\)
Ведь для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=[\sqrt]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=n^2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_\frac<3-2n>=-\frac12 \)
По условию: $$ y_n=\frac<3-2n>,\ \ b=-\frac12 $$ Находим \(N_<\varepsilon>\) для произвольного ε>0 из неравенства \(|y_n-b|\lt\varepsilon\)
$$ \left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac<2n+2+3-2n><2(3-2n)>\right| \lt \varepsilon\Rightarrow \frac52\left|\frac<1><3-2n>\right|\lt \varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при \(n\geq 2\) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: \begin \frac52\left|\frac<1><3-2n>\right|=\frac<5><2(2n-3)>\lt \varepsilon\Rightarrow 2n-3\gt \frac<5><2\varepsilon>\Rightarrow n\gt\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\\ N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1 \end Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	15	128	1253	12503	125003	1250003

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac12\left(\frac<5><2\varepsilon>+3\right)\right]+1\), начиная с которого
\(\left|\frac<3-2n>+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 2\).
Что и требовалось доказать.

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	3	3	11	33	105	333

Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное \(N_<\varepsilon>\) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби \(\frac<3(3n^2+n+1)>\), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера \(N_<\varepsilon>\) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих \(y_n,\ n\geq N_<\varepsilon>\) в ε окрестности предела b.

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\frac<1><3\sqrt<\varepsilon>>\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3n^2+n+1>-\frac13\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\geq 3\).
Что и требовалось доказать.

в) \( \lim_\frac<3^n+1><3^n>=1 \)
По условию: $$ y_n=\frac<3^n+1><3^n>,\ \ b=1 $$ Записываем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\):
\begin \left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac<3^n+1-3^n><3^n>\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \frac<1><3^n>\lt \varepsilon\Rightarrow 3^n\gt \frac1\varepsilon\\ n\gt\log_3\frac1\varepsilon\Rightarrow n\gt -\log_3\varepsilon\\ N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]+1 \end Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	3	5	7	9	11	14

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[-\log_3\varepsilon\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<3^n+1><3^n>-1\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_<\varepsilon>\)	2	362	39602	3996002	4·10 8	4·10 10

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_<\varepsilon>=\left[\left(\frac<1><5\varepsilon>-1\right)^2\right]\), начиная с которого \(\left|\frac<\sqrt><5\sqrt+1>-\frac15\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_<\varepsilon>\).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_2^n=+\infty \)
По условию: \(y_n=2^n\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin 2^n\gt M\Rightarrow n\gt \log_2M\\ N_M=\left[\log_2M\right]+1 \end Например:

M	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
NM	4	8	11	14	18	21

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[\log_2M\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=2^n\gt M\).
Что и требовалось доказать.

б) \( \lim_\sqrt=+\infty \)
По условию: \(y_n=\sqrt\)
Записываем неравенство \(|y_n|\gt M\):
\begin \sqrt\gt M\Rightarrow n+1\gt M^2\Rightarrow n\gt M^2 -1\\ N_M=\left[M^2-1\right]+1=\left[M^2\right] \end знак целой части оставляем, т.к. \(M\in\mathbb\) — не обязательно целое.
Например:

M	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000
NM	100	10 000	1 000 000	10 8	10 10	10 12

Таким образом, для любого сколь угодно большого \(M\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_M=\left[M^2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Love Soft

Загрузки всякие

Связь

Содержание

2. Предел последовательности

Последовательность

Определение. Бесконечная последовательность действительных чисел — это запись вида $x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots$, сопоставляемая отображению $x:\mathbb\to\mathbb$ по правилу $x(i)=x_i$.

Определение. Пусть X — это либо множество вещественных чисел $\mathbb $, либо множество комплексных чисел $\mathbb $. Тогда последовательность $(x_)_^<\infty >$ элементов множества X называется числовой последовательностью.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

Определение. Подпоследовательность последовательности $(x_)$ — это последовательность $(x_>)$, где $ (n_)$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Пример. Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел. Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Определение. Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

Определение. Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

Ограниченная последовательность — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности содержатся в С-окрестности точки нуль.

Определение. ε-окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на $\varepsilon$.

На плоскости окрестность точки — это круг. В 3D-пространстве — шар. На втором рисунке окрестность множества S (S — треугольник).

— англ. neighbourhood

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый $\varepsilon$-шар с центром в точке $x_<0>$.

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Предел последовательности

Определение 1. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0 \, \exists k\in\mathbb \, \forall n>k \, |x_n-a|<\varepsilon$.

Если последовательность имеет предел a, то говорят, что она сходится к числу a.

Говорят, что почти все члены последовательности $(x_n)$ удовлетворяют некоторому условию, если существует лишь конечное число таких элементов $i\in\mathbb$, что $x_i$ не удовлетворяет этому условию.

Определение 2. Число $a$ называется пределом последовательности $$, если любая ε-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности [кроме конечного числа].

Эквивалентность определений 1 и 2 легко доказать.

Определение 2 обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании.

Задача. Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ. Предположим, что могут. Это означает (по определению 5), что любая ε-окрестность и a и b содержит почти все члены. Возьмем 0<ε=|a-b|/3, тогда окрестности a и b не пересекаются, и при этом 1) лишь конечное число членов не принадлежит окрестности a, 2) лишь конечное число членов не принадлежит окрестности b. Эти два утверждения не могут быть истинными одновременно, следовательно наше предположение неверно, и два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

Фактически, мы так выбрали определение предела, что если последовательность содержит две подпоследовательности, сходящиеся к разным числам, то такую последовательность считаем расходящейся.

Задача. Что означает, что число a не является пределом последовательности ?

Ответ. Записать отрицание определения 1.

Отрицание определения 2:

1) существует ε-окрестность точки a, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности. неверно.

2) существует ε-окрестность точки a, вне которой содержится бесконечное число членов этой последовательности.

Пример 1. $(-1)^n$ — в любой окрестности точек 1 и -1 содержится бесконечное число членов, этого недостаточно чтобы 1 и -1 были пределом последовательности. Нужно еще, чтобы вне окрестности было конечное число членов.

Задача. Если последовательность имеет предел a, то и любая ее подпоследовательность также имеет предел a.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Определение. Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Определение 3. Пусть дано топологическое пространство T и последовательность $\\>$. Тогда, если существует элемент $x\in T$ такой, что $ \forall U(x)\exists N: \, \forall n(n>N)\Rightarrow x_\in U(x)$, где $U(x)$ — открытое множество, содержащее $x$, то он называется пределом последовательности $x_$. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент $x\in T$ такой, что $ \forall \varepsilon >0\exists N: \, \forall n(n>N)\Rightarrow d(x_,x)<\varepsilon$, где $d(x,y)$ — метрика, то $x$ называется пределом $x_$.

Определение 4. Число $ a\in \mathbb $ называется пределом числовой последовательности $ \\>$, если последовательность $\-a\>$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

\forall \varepsilon >0

\exists N(\varepsilon )\in \mathbb \colon

Если никакое вещественное число не является пределом последовательности, её называют расходящейся.

Говорят, что последовательность $ \\>$ стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

\exists N(E)\in \mathbb \colon

\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_|>E$$

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Определение. Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует.

В самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний (lim sup) и нижний пределы (lim inf):

Свойства

Сумма, разность, произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. [Частное не всегда]

Взятие предела числовой последовательности является линейным:

Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Единственность. Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел. Доказательство: Тер-Крикоров, с.40.

Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

Предел средних арифметических, геометрических

Если у последовательности $x_$ существует предел, то последовательность средних арифметических $ <\frac +\dots +x_>>$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца). Доказательство: Тер-Крикоров, с.39.

Тем самым, операция взятия среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел.

Замечание. Обратное неверное. Например, если $a_n = (-1)^n$, то $$ не имеет предела, тогда как последовательность средних арифметических стремится к 0. Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Аналогично для последовательности средних геометрических, доказательство

Предельный переход в неравенствах

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности $$, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n ≥ b \, (x_n ≤ b)$, то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству $a ≥ b \, (a ≤ b)$.

Доказательство от противного, по определению предела.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности $$ могут удовлетворять строгому неравенству $x_n > b$, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, 1/n > 0, однако предел = 0.

Предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется.

Следствие 1. Если элементы $x_n$ и $y_n$ сходящихся последовательностей $$ и $$, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству $x_n ≤ y_n$, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: $\lim_n x_n ≤ \lim_n y_n$

В самом деле, элементы последовательности $$ неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел, а он равен разности пределов.

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности $$ находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

Теорема о двух милиционерах

Справедлива теорема о двух милиционерах (теорема сжатия)

$$ \exists N\in \mathbb

\forall n\geqslant N\colon x_\leqslant z_\leqslant y_

По определению предела для любого ε > 0 найдутся номера N1 и N2 такие, что для всех n >= max(N, N1, N2) $x_n \in U(a), \, y_n \in U(a)$. Отсюда и из условия теоремы следует, что при выполняется условие $z_n \in U(a)$. Это означает, что существует предел $z_n = a$.

Бесконечно малые

Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности. [если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. ]

Сумма, разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если $(\alpha _)$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/\alpha _)$, которая является бесконечно большой.

Любую сходящуюся последовательность $(x_)$ можно представить в виде $(x_)=(a+\alpha _)$, где $a$ — предел последовательности $(x_)$, а $\alpha _$ — некоторая бесконечно малая последовательность.

Предельная точка последовательности

Определение. Назовем точку x предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x существует хотя бы одна точка из E, отличная от x.

Сама точка x может принадлежать, а может и не принадлежать множеству E.

$$\forall \varepsilon > 0 \, \exists y, y \ne x : \, |x-y|<\varepsilon $$

Конец открытого интервала — это его предельная точка.

Определение. Множество называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество $\varnothing$ замкнутым. Пространство $\mathbb^n$, очевидно, является замкнутым по определению.

Определение I. Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

$x$ — предельная точка последовательности $ \left\\right\>_^<\infty >\Leftrightarrow $

$$ \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0

\exists X\subseteq \mathbb \colon \left|X\right|=\aleph _<0>\land \forall i\in X\colon \left|x_-x\right|<\varepsilon $$

Определение II. Число a называют предельной точкой числового множества X, если $$ \forall \varepsilon >0

\exists x \in X\colon \, 0<|x-a|<\varepsilon $$

Докажем, что из определения II следует I. Обозначим через U произвольную окрестность x. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x. Тогда среди них найдется точка y, ближайшая к x. Но тогда в шаре радиуса $\left| x-y \right| > 0$ с центром в x нет ни одной точки из E, отличной от x, а это невозможно, поскольку x – предельная точка множества E.

Теорема. Точка является предельной точкой последовательности тогда и только тогда, когда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.

Задача. Доказать, что если последовательность сходится к a (то есть a является ее пределом), то она не имеет предельных точек, отличных от a.

т.е. Всякая сходящаяся числовая последовательность имеет только одну предельную точку.

Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

У произвольной числовой последовательности имеется хотя бы одна предельная точка (либо вещественная, либо бесконечность).

Пример. У последовательности $<1/n>$ существует единственная предельная точка 0. Таким образом, предельная точка не обязана принадлежать последовательности.

Пример. У последовательности натуральных чисел нет предельных точек (или, в других терминах, имеется предельная точка $+\infty$).

Пример. У последовательности из всех рациональных чисел, занумерованных произвольным образом, существует бесконечно много предельных точек.

Примеры

$$\lim _ \sqrt[n]=1$$ Доказательство: Тер-Крикоров, с.43. (рассмотреть разность $\sqrt[n]-1$ и применить теорему о двух милиционерах).

Фундаментальная последовательность

Определение. Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

для любого $\varepsilon >0$ существует такое натуральное $N$, что $\rho (x_<>,x_<>)<\varepsilon$ для всех $n,m > N$.

Определение. Фундаментальная последовательность — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного.

Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Определение. Пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным.

Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.

Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.

Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. [очевидно. например, взять ε=1]

Обратное не верно — см. пример 1. Не любая ограниченная последовательность сходится.

Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

Теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Похожие публикации:

1. Ui в программировании что это
2. Как зайти на почту без подтверждения телефона
3. Как запустить word из командной строки
4. Как сделать визуал вконтакте