Как умножить матрицу на вектор

1 необходимо ре­шить л систем линейных уравнений с п неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

Умножение матрицы на вектор

Если — матрица размера , вектор-столбец имеет размерность , а вектор-строка — размерность , то определены произведения и , причем — вектор-столбец размерности , а — вектор-строка размерности . Таким образом, при умножении матрицы на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу его нужно рассматривать как вектор-строку.

Примеры с решением

Пример 1.

Даны матрица и векторы и :

.

Вычислить координаты векторов и . Имеем

Свойства умножения матрицы на вектор ( — число; — матрица; — векторы):

• 1. .
• 2. .
• 3. .
• 4. .
• 5. .

Элемент новой матрицы, стоящий на пересечении — й строки и — ro столбца, равен сумме произведений элементов — й строки первой матрицы на соответствующие элементы — ro столбца второй матрицы.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Операция определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле . (1)

Пример 2.

Замечание 1. Используя знак сокращенного суммирования, формулу (1) можно записать в виде .

Замечание 2. Введем обозначение матрицы в виде , означающее, что матрица содержит строк и столбцов. Тогда произведение матриц можно записать следующим образом: .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Замечание 3. Порядок матриц-сомножителей существен. Поэтому говорят об умножении матрицы на матрицу справа или слева. Если произведение матриц существует, то произведение матриц может не существовать. Если существуют произведения матриц и , они могут быть матрицами разных размеров. Если матрицы и квадратные, то их произведения и существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае .

Замечание 4. Умножение единичной матрицы на квадратную матрицу не изменяет последней: .

Замечание 5. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу , например:

.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Умножение матриц

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left[ m\times n \right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются .

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 5 \right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=\left[ 2\times 5 \right]$ и $A=\left[ 3\times 2 \right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $\left( 1;0 \right)$ и $\left( 0;1 \right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $\left( A;B \right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И определим для них операцию умножения.

По-моему, тут всё очевидно. Дальше можно не читать. [на самом деле нет]

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

1. Что это за лютая дичь?
2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта $<_>$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

1. Берём $i$-ю строку в первой матрице;
2. Берём $j$-й столбец во второй матрице;
3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Схема перемножения двух матриц

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем $<_>$. И так для всех $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Т.е. всего будет $m\times k$ таких «извращений».

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

\[\left[ \begin<*<35>> 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end \right]\]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

\[\begin & \left[ \begin<*<35>> 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>> 1\cdot \left( -2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left( -2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end \right]. \end\]

Вот и всё!

Ответ: $\left[ \begin<*<35>>4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end \right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

\[\left[ \begin 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>>9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end \right]\]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:\[\]

\[\begin & \left[ \begin 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>> 1\cdot 9+3\cdot \left( -3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left( -2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left( -3 \right) & 2\cdot 6+6\cdot \left( -2 \right) \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end \right]. \end\]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $\left[ \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end \right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

1. Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $A\cdot B=B\cdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
2. Ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
3. Дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ и $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

Получается, что $A\cdot B\ne B\cdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $\left[ 3\times 5 \right]$ и $\left[ 2\times 3 \right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

\[\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)\]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Множество всех таких матриц обозначается $<^>$ (т.е. записи $A=\left[ n\times n \right]$ и \[A\in <^>\] означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ выполняется равенство:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

Идём далее. Помимо ассоциативности умножение матриц ещё и дистрибутивно:

\[\begin & A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end\]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

\[\left[ \begin \begin 5 \\ 2 \\ 3 \\\end & \begin 4 \\ 5 \\ 1 \\\end \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end \right]\]

Решение. Имеем две матрицы: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

\[3;\ 2;\ 2;\ 2\]

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin & \left[ \begin \begin 5 \\ 2 \\ 3 \\\end & \begin 4 \\ 5 \\ 1 \\\end \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>> 5\cdot \left( -2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2\cdot \left( -2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left( -2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1\cdot 4 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \\\end \right]. \end\]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Ответ: $\left[ \begin<*<35>> \begin<*<35>> 2 \\ 11 \\ -3 \\\end & \begin 41 \\ 30 \\ 19 \\\end \\\end \right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Рекомендую после прочтения задания не смотреть в решение, а сначала попробовать выполнить его самостоятельно. И затем сравнить с ответами.

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

\[A=\left[ \begin<*<35>> \begin 1 \\ 1 \\\end & \begin<*<35>> -1 \\ 1 \\\end & \begin 2 \\ 2 \\\end & \begin<*<35>> -2 \\ 2 \\\end \\\end \right]\]; $B=\left[ \begin \begin 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end & \begin 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\\end \\\end \right]$; $C=\left[ \begin0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end \right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

\[A=\left[ 2\times 4 \right];\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

\[A\cdot B=\left[ \begin<*<35>> 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>>-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end \right]\]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

\[A \cdot B=\left[ 2\times 4 \right]\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $B\cdot A$, поскольку $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, поэтому упорядоченная пара $\left( B;A \right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

\[B \cdot A=\left[ 4\times 2 \right]\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Короче говоря, на выходе будет матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, коэффициенты которой легко считаются:

\[B\cdot A=\left[ \begin<*<35>> 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>>1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end \right]\]

Очевидно, можно согласовать ещё $C\cdot A$ и $B\cdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

\[C\cdot A=\left[ \begin<*<35>> 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end \right]\]

\[B\cdot C=\left[ \begin<*<35>>1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end \right]\]

Это было легко.:)

Ответ: $AB=\left[ \begin<*<35>> -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end \right]$; $BA=\left[ \begin<*<35>> 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end \right]$; $CA=\left[ \begin<*<35>> 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end \right]$; $BC=\left[ \begin<*<35>>1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end \right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

— это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

Задача 5. Выполните умножение:

\[\left[ \begin<*<35>> 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 1 \\ 2 \\ -1 \\\end \right]\]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Найдём это произведение:

\[\left[ \begin<*<35>> 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 1 \\ 2 \\ -1 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>> 2\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot 2+3\cdot \left( -1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left( -1 \right) \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>> -3 \\ 8 \\ 0 \\\end \right]\]

Ответ: $\left[ \begin<*<35>>-3 \\ 8 \\ 0 \\\end \right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

\[\left[ \begin<*<35>> 1 & 2 & -3 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end \right]\]

Решение. Опять всё согласовано: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Считаем произведение:

\[\left[ \begin<*<35>> 1 & 2 & -3 \\\end \right]\cdot \left[ \begin<*<35>> 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end \right]=\left[ \begin<*<35>>5 & -19 & 5 \\\end \right]\]

На самом деле мне было в лом считать все эти три числа — посчитайте сами. А я просто запишу ответ.:)

Ответ: $\left[ \begin 5 & -19 & 5 \\\end \right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\[A\cdot A=\left[ n\times n \right]\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

$ <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

\[\begin & <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<2>>=\left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end \right] \end\]

\[\begin & <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>= <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>\cdot \left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end \right] \end\]

Вот и всё.:)

Ответ: $\left[ \begin1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end \right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

\[ <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<10>>\]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

\[\begin & <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<10>>= <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>\cdot <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>\cdot <<\left[ \begin1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]>^<3>>\cdot \left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right]= \\ & =\left( \left[ \begin 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end \right] \right)\cdot \left( \left[ \begin 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end \right] \right)= \\ & =\left[ \begin 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end \right] \end\]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $\left[ \begin 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end \right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

\[ <<\left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]>^<3>>\]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

\[ <<\left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]>^<3>>= <<\left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]>^<2>>\cdot \left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]\]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

\[\begin & <<\left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]>^<2>>=\left[ \begin 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end \right] \end\]

Теперь возведём в куб:

\[\begin & <<\left[ \begin0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]>^<3>>=\left[ \begin<*<35>> 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end \right]\cdot \left[ \begin 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end \right]= \\ & =\left[ \begin<*<35>> 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end \right] \end\]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $\left[ \begin 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end \right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

Почему умножение матриц такое

Наверное, каждый задавался вопросом, почему умножение матриц такое. В этой статье мы разберём из каких соображений оно вводится именно так.

Маленькое предисловие

В дальнейшем нам понадобится такая структура, как векторное пространство, а точнее его частный случай — пространство столбцов высотынад Кратко напомню, что под этим понимается.

Во-первых, — это следующее множество

где таким образом обозначен вектор-столбец высотыто есть

Во-вторых, для любых векторовопределено сложение

и для любого вектораопределено умножение на скаляр

В-третьих, каждый векторединственным образом представим в следующем виде

где — скаляры, а — следующая система векторов

Такая система векторов называется базис, а скаляры, участвующие в разложение вектора, называются координатами этого вектора в данном базисе. Стоит отметить, что в это не единственный базис, но везде далее под «зафиксируем базис» можно понимать именно эту систему векторов.

Умножение матрицы на вектор

Прежде чем переходить к умножению матриц, посмотрим, из каких соображений вводится умножение матрицы на вектор. Для этого рассмотрим линейное отображение

То, что— линейное отображение, означает, что для любых векторови любого скаляравыполняются следующие два условия:

Или их можно объединить в одно

Нас интересует, как линейное отображениедействует на произвольный вектор Для этого зафиксируем в базис а в базис Теперь мы можем разложить векторпо базису

и представитьв следующем виде

Заметим, что а поскольку в зафиксирован базис, то эти векторы также можно разложить по базису

или тоже самое в векторной записи

Подставляем в равенство выше и получаем

Но правая часть равенства есть не что иное, как формула умножения матрицы на вектор-столбец

где столбцы матрицы есть векторы

Получается, можно ввести умножение матрицы на вектор по следующему правилу

И такое определение умножения будет согласовано с тем, как линейное отображениедействует на вектор

Если теперь обозначить то координаты вектора выражаются через координаты вектора следующим образом

Кроме того, мы получили и другой важный результат, вернёмся к выражению для

Из него следует, что линейное отображениеполностью определяется своими значениями на базисных векторах, то есть, если нужно найтито достаточно знать

Далее, мы поместили эти векторы в матрицу и определили умножение так, чтоесть произведение соответствующей матрицынаПолучается, что линейному отображению можно поставить в соответствие матрицу, которая полностью его определяет

Такая матрица называется матрицей линейного отображенияв выбранных базисах пространств и

Если говорить более строго, то существует взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями из в и матрицами размера

Теперь мы можем перейти к умножению матрицы на матрицу.

Умножение матрицы на матрицу

Рассмотрим линейные отображенияи

и их композицию

Легко проверяется, что будет линейным отображением

Поэтому, если зафиксировать в и базисы, то каждому линейному отображению можно поставить в соответствие его матрицу

Нас теперь интересует, как между собой они связаны. Для этого рассмотрим следующее равенство

и найдём координаты вектора через координаты вектора

Но из равенстваследует, что

Подставляем в равенство выше и получаем

С другой стороны,то есть

Сравнивая первое и второе равенство для координатполучаем такое соотношение

которое является формулой умножения матрицы на матрицу.

Таким образом, умножение матрицы на матрицу вводится исходя из того, как действует композиция линейных отображений.

Другими словами, если линейным отображениямипоставить в соответствие их матрицыито композиции этих отображенийставится в соответствие матрица, которая является произведением матриц

Отсюда, кстати, следует, что матрицыиможно умножить только тогда, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Пусть — матрица размера а — матрица размера Тогда, если в пространствах и зафиксировать базисы, то этим матрицам ставятся в соответствие линейные отображенияи

Но композиция определена только тогда, когда то есть число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Заключение

Таким образом, умножение матриц вводится исходя из того, как действуют линейные отображения. И это намекает на некую связь между ними.

Ниже оставлю различные учебники по алгебре, где можно про всё это прочитать более подробно, и другие различные источники.

Ссылки на литературу и различные источники

Основное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 1. Основы алгебры. Кострикин А.И.

Дополнительное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 2. Линейная алгебра. Кострикин А.И.