Как повернуть треугольник на 45 градусов

Hrisula

В ∆ АВС АВ=ВС=6 см,

АС перешло в АС1 ⇒ АС=АС1⇒

∠АС1С=∠АСС1. ∠АС1С=∠АСВ⇒

∠АВС=∠САС1=45° ⇒

В ∆ АВК два угла равны 45° ⇒ ∆ АВК — прямоугольный.

ВК=АВ•sin45°=3√2

∆ ВКС прямоугольный ( угол В1КС равен углу ВКА как вертикальный).

В ∆ СКВ1 катеты КВ1=КС=ВС- ВК=6-3√2

В1С=KC:sin45°=(6-3√2)•√2=6√2-6

Р ∆ КСВ1=6-3√2+6-3√2 +6√2-6=6 ед. длины.

Поворот

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Поворот»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте повторим, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Вспомним, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Мы уже познакомились и повторили некоторые виды движения: такие как осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.

Сегодня на уроке мы познакомимся с еще одним видом отображения плоскости на себя – поворотом.

Давайте отметим на плоскости произвольную точку О, назовем ее центром поворота, и зададим угол α (назовем его углом поворота).

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что и угол MOM₁=α. Заметим, что точка О остается на месте, то есть другими словами, отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О, причем, если , то против часовой стрелки, если , то по часовой стрелке

Иногда в литературе можно встретить следующее обозначение для поворота вокруг центра О и на угол α: .

Теперь давайте попробуем определить, будет ли поворот движением? Для этого достаточно показать, что при повороте сохраняется расстояние между точками.

Пусть точка О – центр поворота, а угол α– угол поворота.

Рассмотрим случай, когда α>0, то есть поворачивать относительно точки О будем против часовой стрелки. Случай, когда α<0, то есть случай, когда поворачивать будем по часовой стрелке рассматривается аналогично, это вы можете сделать самостоятельно.

Пусть при этом повороте точки М и N отображаются в точки M₁ и N₁ соответственно. Рассмотрим треугольники ОМN и OM₁N₁.

, другими словами, при повороте расстояние между точками сохраняется. Значит, поворот – это еще один вид движения. Его можно представить себе как поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол α.

Задача. Построить отрезок , который получается из отрезка поворотом вокруг данного центра на:

а) , б) , в) .

Для поворота отрезка, повернем концы этого отрезка. Для того, чтобы повернуть точку А, построим прямую ОА. От точки О с помощью транспортира отметим 150° (мы помним, что если угол меньше 0, то поворачиваем по часовой стрелки, то есть угол будем откладывать в эту сторону). С помощью циркуля измеряем расстояние АО и отложим это расстояние на получившейся прямой.

Поставим точку А₁. Аналогично, построим точку B₁. Тогда получившийся отрезок A₁B₁ – искомый. Для того, чтобы выполнить поворот на 100°, надо 100° отложить против часовой стрелки.

Все остальные построения проводятся аналогично тому, как мы делали в первом пункте. При повороте на 180° точка A₁ будет лежать на продолжении прямой ОА. Точка B₁ будет лежать на продолжении прямой OB.

Задача. Постройте треугольник, который получается из данного треугольника поворотом вокруг:

а) точки на ,

б) вокруг точки , не лежащей внутри треугольника на ,

в) вокруг точки , лежащей внутри треугольника на .

Строить треугольник будем по точкам. Поскольку центром поворота является точка А, то она отображается сама на себя. Отобразим точку B. От точки А отложим против часовой стрелки угол равный 80°. Отложим на этой прямой отрезок равный стороне AB и получим точку B₁. Аналогично построим точку C₁. Тогда треугольник AB₁C₁ – искомый.

Проведя аналогичные построения, построим треугольники A₁B₁C₁ для остальных двух случаев.

Сегодня мы заканчиваем с вами изучение темы Движение. Давайте еще раз вспомним, что такое движение и с какими видами движения мы успели познакомиться.

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Мы доказали, что движением являются: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос и поворот.

Урок 30. Поворот

Отметим на плоскости точку О – центр поворота и зададим угол α – угол поворота. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁ и угол МОМ₁ равен α. Этот вид отображения плоскости на себя называется поворотом.
Задачи на построение:
Задача 1. Построим поворот точки М на угол в 600 по часовой стрелке вокруг точки О.
1. Отметим точки О и М.
2. Проведем луч ОМ.
3. Отложим с помощью транспортира угол в 600.
4. На проведенном луче циркулем отложим отрезок, равный ОМ.
5. Поставим точку М₁.

При этом точка М отображается в точку М₁.
Задача 2. Построим отрезок, в который переходит отрезок АВ при повороте на 120° против часовой стрелки около точки О.

1. Проведем луч ОА.
2. От него против часовой стрелки отложим ∠АОА₁ = 120°.
3. ОА = ОА₁;
4. Проведем луч ОВ.
5. От него против часовой стрелки отложим ∠ВОВ₁ = 120°.
6. ОВ = ОВ₁, А₁В₁ – образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на 120° против часовой стрелки.
Задача 3. Построим треугольник ABC и зададим некоторый угол поворота α. Повернем каждую из точек А, В, С на угол α против часовой стрелки.

При этом точка А отображается в точку А₁, точка отображается в точку В₁, точка С отображается в точку С₁.
Соединим отрезками точки А₁, В₁, С₁. Треугольник АВС отображается на треугольник А₁В₁С₁ при повороте на угол α.
Выделение существенных признаков поворота.
1. Отображение плоскости на себя.
2. Каждая точка М отображается в такую точку М₁, что ОМ = ОМ₁
3. ∠МОМ₁ = α.
Сравним данную фигуру и её отображение. Что общего в них?
Является ли поворот движением – отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние?
Доказательство: пусть при повороте на угол α точки А и В отображаются в точки А₁ и В₁.Треугольники ОАВ и ОА₁В₁ равны по двум сторонам и углу между ними: ОА = ОА₁, ОВ = ОВ₁ и ∠АОВ = ∠А₁ОВ₁ значит АВ = А₁В₁. Т.е расстояние между точками А и В равно расстоянию между точками А₁ и В₁.
Отметим следующие свойства.
При повороте
1) отрезок переходит в равный ему отрезок;
2) угол переходит в равный ему угол;
3) окружность переходит в равную ей окружность;
4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник;
5) параллельные прямые переходят в параллельные прямые;
6) перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
Чтобы задать поворот достаточно задать центр поворота, угол поворота, направление поворота.
Поворот на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

Как повернуть квадрат на 45 градусов

Движение – отображение плоскости на себя, при котором расстояния между точками плоскости сохраняются.

Примеры движения: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.

Свойства движения: отрезок переходит в отрезок, угол переходит в равный ему угол, окружность переходит в окружность того же радиуса и т. п.

Пусть имеется некоторая выделенная точка О плоскости. Кроме того, рассмотрим произвольную точку М той же плоскости. Поворотом (обозначение –

Доказательство (Рис. 2).

Рассмотрим точки М и N плоскости, переходящие при повороте соответственно в точки М₁ и N₁ той же плоскости.

Рассмотрим треугольники ОМN и ОМ₁N₁. В этих треугольниках ОМ = ОМ₁ и ОN = ОN₁. ÐМОN = α – ÐМОN₁; ÐМ₁ОN₁ = α – ÐМОN₁, следовательно, ÐМОN = ÐМ₁ОN₁. Таким образом, указанные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает равенство отрезков МN = М₁N₁. Поскольку точки М и N выбирались нами произвольно, можно утверждать, что при повороте длины отрезков сохраняются.

Нам необходимо научиться использовать рассмотренный тип движения.

Задача (аналогичная № 1167 из учебника Атанасян, см. список литературы)

Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 60° против часовой стрелки ( ∆АВС).

При повороте точка А перейдет в саму себя. Точки В и С перейдут в точки В₁ и С₁ соответственно. Углы треугольника и длины его сторон, в соответствии с общими свойствами движения, сохранятся (все обозначения сторон и углов даны на Рис. 3).

Построения при повороте крайне простые: при помощи циркуля построить дугу окружности радиусом, равным длине стороны треугольника (АС или АВ), с центром в точке А, далее при помощи транспортира отложить на дуге угол 60° и отметить точку-образ (В₁ или С₁). Соединив полученные точки-образы отрезками, можно получить искомый треугольник А₁В₁С₁, являющийся образом треугольника АВС (

Сделаем рисунок (Рис. 4).

Точка О пересечения биссектрис правильного треугольника является центром этого треугольника. Следовательно, вершины треугольника при повороте вокруг точки О будут «отрисовывать» дуги окружности, описанной около ∆АВС. Легко показать, что ÐВОС = ÐСОА = ÐАОВ = 120°. Следовательно, при повороте

Доказать, что точки А и В симметричны относительно указанной прямой.

Для доказательства требуемого в задаче утверждения нам необходимо доказать, что АМ = МВ и АВ^ О₁О₂ .

Построим окружность радиусом О₁А с центром в точке О₁ и окружность радиусом О₂А с центром в точке О₂.

Рассмотрим некоторую осевую симметрию с осью О₁О₂. При таком отображении полуокружности, расположенные в верхней полуплоскости, перейдут в соответствующие полуокружности, расположенные в нижней полуплоскости относительно оси симметрии. При этом точка пересечения «верхних» полуокружностей – точка А – перейдет в точку пересечения «нижних» полуокружностей – точку В. То есть точка В симметрична точке А относительно рассматриваемой прямой. Задача решена.

В заключение разберем еще один простое применение понятий симметрии.

Дан параллелограмм ABCD.

Доказать, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии.

Напоминание: фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

На рисунке точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма. В силу свойств параллелограмма AО = ОC и BО = ОD, а также любой отрезок, концы которого лежат на противоположных сторонах и проходящий через точку О (например, отрезок MN на Рис. 6), делится в этой точке пополам. Это означает, что при осуществлении центральной симметрии относительно центра, расположенного в точке О, все точки, принадлежащие сторонам, перейдут в точки, также принадлежащие сторонам. Таким образом, параллелограмм перейдет сам в себя, т. е. точка О – центр симметрии.

Подведем итоги: на данном уроке мы ввели в рассмотрение новый вид отображения плоскости на себя – поворот, доказали, что он является движением и решили ряд задач, которые помогут лучше понять изучаемую тему.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Российский общеобразовательный портал (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункты 116, 117.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти