Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH ² + BC ² = 4 R ² и AH = BC |ctg α|.

Решение

Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A 1 B 1 C 1 , серединами сторон которого являются точки A, B и C . Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому центр описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 является точкой пересечения высот треугольника ABC .

б) Точка H является центром описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому 4 R ² = B 1 H ² = B 1 A ² + AH ² = BC ² + AH ². Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника» («Математика в школе», 1988, №1, с.72).

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Используя теорему Чевы доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Применение теоремы Чевы. Задача на доказательство пересечения высот треугольника

Доказательство свойства пересечения высот с помощью теоремы Чевы

Шаг 1

Рассмотрим сначала остроугольный треугольник АВС. АА₁, ВВ₁ и СС₁ – высоты этого треугольника.

Используя обратную теорему Чевы, докажем, что они пересекутся в одной точке.

А для этого нужно доказать, что:

Найдем каждый из множителей в уравнении Чевы.

Для этого рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники.

Пересечение высот треугольника. Доказательство. Шаг 1

Шаг 2

Рассмотрим прямоугольные треугольники АC₁С и СС₁В.

Из определения косинуса для треугольника АC₁С следует:

Из определения косинуса для треугольника СС₁В следует:

Пересечение высот треугольника. Доказательство. Шаг 2

Шаг 3

Для этого рассмотрим треугольники АВА₁ и АА₁С.

Из определения косинуса для треугольника АВА₁ следует:

Из определения косинуса для треугольника AA₁C следует:

Пересечение высот треугольника. Доказательство. Шаг 3

Шаг 4

Для этого рассмотрим треугольники ВВ₁С и АВ₁В.

Из определения косинуса для треугольника ВВ₁С следует:

Из определения косинуса для треугольника АВ₁В следует:

Пересечение высот треугольника. Доказательство. Шаг 4

Шаг 5

Перемножим равенства, полученные на шагах 2, 3 и 4:

Сократим правую часть:

Так как выполняется это равенство, то по обратной теореме Чевы для внутренних точек отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Пересечение высот треугольника. Доказательство. Шаг 5

Шаг 6

Рассмотрим случай, когда треугольник АВС – тупоугольный, с тупым углом В.

В этом случае, высота, проведенная из тупого угла, будет лежать на стороне треугольника, а высоты, проведенные из острых углов, будут лежать на продолжениях сторон треугольника.

ВВ₁ – высота, проведенная из тупого угла. Точка В₁ лежит на стороне треугольника;

АА₁ – высота, проведенная из острого угла А. Точка А₁ лежит на продолжении стороны ВС;

СС₁ – высота, проведенная из острого угла С. Точка С₁ лежит на продолжении стороны АВ.

Докажем с помощью теоремы Чевы, что высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Если в треугольнике АВС на продолжениях сторон АВ и СВ за точку взяты соответственно точки С₁, А₁, а на стороне СА взята точка В₁ и выполняется равенство:

то прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Свойство высот треугольника

Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.

Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.

Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.

Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен . BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны . Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и . Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Свойство высот треугольника» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение.Через каждую вершину данного треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник .

Из построения следует, что четырехугольники и -параллелограммы. Отсюда . Следовательно, точка является серединой отрезка .

Так как прямые и параллельны, то высота треугольника перпендикулярна отрезку . Следовательно, прямая — серединный перпендикуляр стороны треугольника . Аналогично можно доказать, что прямые, содержащие две другие высоты треугольника , являются серединными перпендикулярами сторон и треугольника .

Так как серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Что и т.д.