Чем отличается интервал от отрезка

Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

Сегодня мы узнаем, как использовать метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Во многих учебниках нестрогие неравенства определяются следующим образом:

— это неравенство вида которое равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения:

В переводе на русский язык это значит, что нестрогое неравенство это объединение классического уравнения и строгого неравенства Другими словами, теперь нас интересуют не только положительные и отрицательные области на прямой, но и точки, где функция равна нулю.

Отрезки и интервалы: в чем разница?

Прежде чем решать нестрогие неравенства, давайте вспомним, чем интервал отличается от отрезка:

• — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Но эти точки не принадлежат интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: и т.д.;
• — это тоже часть прямой, ограниченная двумя точками. Однако эти точки тоже являются частью отрезка. Отрезки обозначаются квадратными скобками: и т.д.

Чтобы не путать интервалы с отрезками, для них разработаны специальные обозначения: интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

На этом рисунке отмечен отрезок и интервал Обратите внимание: концы отрезка отмечены закрашенными точками, а сам отрезок обозначается квадратными скобками. С интервалом все иначе: его концы выколоты, а скобки — круглые.

Метод интервалов для нестрогих неравенств

К чему была вся эта лирика про отрезки и интервалы? Очень просто: для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получится ответ. По существу, мы просто добавляем к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравните два неравенства:

Задача. Решите строгое неравенство:

( x − 5)( x + 3) > 0

Решаем методом интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом легко в этом убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось выписать ответ. Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Задача. Решите нестрогое неравенство:

( x − 5)( x + 3) ≥ 0

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

( x − 5)( x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

В предыдущей задаче мы уже выяснили, что справа стоит знак плюс. Напомню, в этом легко убедиться, подставив миллиард в функцию:

f ( x ) = ( x − 5)( x + 3)

Осталось записать ответ. Поскольку неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, имеем:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

• В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки на первом ответе: x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞);
• И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).

Вот и вся разница! Просто запомните: в строгих неравенствах точки выколоты, а в нестрогих — закрашены.

Почему бесконечности всегда стоят в круглых скобках

У внимательного читателя наверняка возник вопрос: почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах? Например, почему в последней задаче мы пишем

Что ж, это не опечатка. Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство — нестрогое. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

— это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие зверские числа, как 1 000 000 и даже 1 000 000 000. Но добраться до самой бесконечности все равно нельзя.

Именно поэтому бесконечность обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Ситуация такая же, как с границами интервалов. Рассмотрим все числа из интервала:

Эта запись означает, что число не принадлежит интервалу, однако любое число, которое больше нуля и меньше единицы — принадлежит. В частности, этому интервалу принадлежат следующие числа:

Попробуем отметить эти числа на координатной прямой. Поскольку каждое следующее число вдвое меньше предыдущего, нам придется несколько раз менять масштаб. Получим вроде этого:

Что дает нам этот график? Оказывается, при достаточно крупном масштабе можно отметить любое число, сколь угодно близкое к нулю. При этом сам ноль никуда не денется — он остается недостижимой границей. Именно это и подразумевается, когда речь заходит о концах интервала.

То же самое происходит и с бесконечностью. Разница лишь в том, что масштаб надо не увеличивать, а уменьшать:

Мы можем сколь угодно долго идти к бесконечности, но так и не достигнем ее. Вот почему бесконечности обозначают круглыми скобками, подобно границам интервала.

Примеры решения неравенств

В заключение кратко разберем два нестрогих неравенства. И если в первой задаче еще есть пояснения, то вторая задача будет оформлена именно так, как и надо оформлять настоящее решение.

Задача. Решите неравенство:

( x + 8)( x − 3) ≤ 0

Как обычно, приравниваем все к нулю:

( x + 8)( x − 3) = 0;
x + 8 = 0 ⇒ x = −8;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Теперь рассматриваем функцию, которая находится в левой части неравенства:

f ( x ) = ( x + 8)( x − 3)

Подставим в эту функцию бесконечность — получим выражение вида:

Чертим координатную ось, отмечаем корни и расставляем знаки:

Поскольку мы решаем неравенство или, что то же самое, осталось записать ответ:

Задача. Решите неравенство:

x (12 − 2 x )(3 x + 9) ≥ 0

x (12 − 2 x )(3 x + 9) = 0;
x = 0;
12 − 2 x = 0 ⇒ 2 x = 12 ⇒ x = 6;
3 x + 9 = 0 ⇒ 3 x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f ( x ) = x (12 − 2 x )(3 x + 9) → (+) · (−) · (+) = (−) < 0;
x ∈ (−∞ −3] ∪ [0; 6].

Отрезок и интервал

Отрезок — одна из основных геометрических фигур. Отрезком называется часть прямой, лежащая между точками А и В, включая и сами эти точки. Отрезок обозначается [АВ]. Точки А и В называются его концами. Любая точка отрезка, лежащая между его концами, называется внутренней точкой отрезка. Длина отрезка равна расстоянию между его концами и обозначается |АВ|.

Если рассматриваемая прямая является числовой прямой и ее точкам Аи В соответствуют числа а и b (а < b) то отрезком будет множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ≤ х ≤ b, он обозначается [а, b]. Множество точек х, для которых справедливы неравенства а < х < b, называется интервалом и обозначается ]а, b[ или (а, b). Длина отрезка и интервала равна числу b — а. Вся числовая прямая обозначается бесконечным интервалом ]-∞, +∞[, бесконечные интервалы ]-∞, а[ и ]b, +∞[ есть соответственно лучи: первый состоит из всех чисел, меньших а, второй — из всех чисел, больших b.

Хотя разница между отрезком и интервалом, казалось бы, невелика, однако свойства непрерывных функций различаются в зависимости от того, рассматриваем мы их на отрезке или интервале. В частности, функция, непрерывная на отрезке, обязана быть ограниченной, а функция, непрерывная на .интервале, может ограниченной и не быть.

Метод интервалов

Для решения разнообразных неравенств есть универсальный способ, называемый методом интервалов или, иногда, методом промежутков. Приведём теоретические выкладки, на которых основано применение этого метода.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым:>, <, ≤, ≥.

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <,>, ≤, ≥.

Решить неравенство — значит найти множество, для которого оно выполняется.

Интервал — это промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, находящиеся между двумя числами — концами интервала. Чтобы было легче это визуализировать, интервалы принято рисовать.

Разберём решение неравенства:

Мы помним, что плюс, умноженный на плюс дает плюс, а также минус, умноженный на минус дает плюс. Поэтому изучим вариант, когда обе скобки положительны:

Следом разберем случай, когда обе скобки отрицательны: x – 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, получаем:

Этот способ решения довольно громоздкий. А если будет гораздо больше множителей, то процесс решения станет трудоёмким.

Решение неравенств методом интервалов

Для таких неравенств существует специальная последовательность действий, помогающая упростить решение. Она состоит из четырёх шагов:

1. Преобразование неравенства в уравнение f(x) = 0 и решение его.
2. Отметка всех найденных корней на координатной прямой. Таким образом, прямая будет поделена на несколько интервалов.
3. Определение знака (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале, для чего достаточно подставить в f(x)любое число, находящееся правее всех отмеченных корней.
4. Отметка знаков на всех остальных интервалах. При этом необходимо учесть, что при переходе через каждый корень знак меняется.

Затем остается выбрать интервалы, которые удовлетворяют нашим условиям. Если неравенство имело вид f(x)>0, то интервалы будут отмечены знаком плюс, и наоборот, если f(x)<0, интервалы будут помечены знаком минус.

Для того чтобы убедиться в простоте метода, потренируемся в решении неравенств.

Первым делом преобразуем его в уравнение и решим:

Найденные корни фиксируем на координатной прямой.

Затем определим знак функции на правом интервале (правее точки x = 2). Для этого подставим любое число, которое больше, чем x = 2, допустим, x = 3, в наше неравенство. Получим:

Так как f(3) = 10 > 0, то есть на самом правом интервале ставим знак плюс.

Проставим знаки на оставшихся интервалах. Помня о том, что при переходе через каждый корень знак должен меняться, получаем:

Наше исходное неравенство выглядело так: (x — 2)(x + 7)< 0, следовательно, нас интересует знак минус, который стоит лишь на интервале (-7; 2). Значит это и будет ответом.

Рассмотрим пару важных примечаний:

1. Знак непрерывной функции меняется только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки делят координатную ось на части, внутри которых знак функции никогда не изменяется. Для этого мы решаем уравнение f(x) = 0 и наносим найденные корни на прямую. Полученные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.
2. Для того чтобы установить знак функции на каком-то интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Все точки одного интервала дадут один и тот же знак.

Существуют более сложные неравенства: нестрогие, дробные, с повторяющимися корнями.

В чём отличия отрезков от интервалов?

Прежде, чем решать нестрогие неравенства, нужно вспомнить, чем интервал отличается от отрезка:

Интервал — часть прямой, ограниченная двумя точками, не принадлежащими интервалу. Интервал обозначается круглыми скобками: (1; 5), (−7; 3) и т. д.

Кроме того, числовой прямой интервал всегда обозначается выколотыми точками, а отрезок — закрашенными. Например:

на рисунке отмечен отрезок [2; 5] и интервал (9; 11).

Метод интервалов для нестрогих неравенств

Рассмотрим, как используется метод интервалов для решения нестрогих неравенств.

Нестрогое неравенство f(x)≥ 0 — это совокупность классического уравнения f(x) = 0 и строгого неравенства f(x)> 0. В этом случае нас интересуют не только положительные и отрицательные интервалы, но и точки, где функция равна нулю.

Для решения нестрогих неравенств все интервалы заменяются отрезками — и получается ответ. По сути, добавляются к ответу, полученному методом интервалов, границы этих самых интервалов. Сравним два неравенства – строгое и нестрогое.

Решим сначала строгое неравенство:

Применим метод интервалов. Приравняем левую часть неравенства к нулю:

Отметим полученные корни на координатной оси:

Справа стоит знак плюс. В этом просто убедиться подставив число намного больше 5, к примеру, 100 000.

Поскольку нас интересуют положительные интервалы, имеем:

Решим нестрогое неравенство:

Начало такое же, как и для строгих неравенств: работает метод интервалов. Приравниваем левую часть неравенства к нулю:

Отмечаем полученные корни на координатной оси:

Аналогично первому случаю проверяем знак правого интервала, подставляя то же число.

Так как неравенство нестрогое, а нас интересуют положительные значения, получаем ответ:

Итак, основное отличие строгих и нестрогих неравенств:

• В строгих неравенствах нас не интересуют концы отрезка, поэтому они отмечаются выколотыми точками. Такие точки никогда не входят в ответ, о чем говорят круглые скобки в первом ответе: x∈ (− ∞; −3) ∪ (5; + ∞).
• И наоборот, в нестрогих неравенствах концы отрезка входят в ответ. На графике они отмечаются закрашенными точками, а в ответе указываются квадратными скобками: x∈ (− ∞; −3] ∪ [5; + ∞).

Почему знак бесконечности заключается в круглые скобки?

Разберём, почему бесконечности отмечаются круглыми скобками даже в нестрогих неравенствах. Например, почему мы записываем не так [− ∞; −3] ∪ [5; + ∞], а вот так (− ∞; −3] ∪ [5; + ∞)?

Бесконечность действительно обозначается круглой скобкой, даже если неравенство является нестрогим. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно вспомнить определение бесконечности.

Бесконечность — это гипотетическое число, которое больше любого другого числа, участвующего в решении.

Трудность заключается в том, что нельзя работать с бесконечностью напрямую. Мы можем лишь приблизиться к ней, подставляя такие огромные числа, как миллион или даже миллиард. Но добраться до самой бесконечности все равно невозможно. Именно поэтому её обозначают круглыми скобками. Ведь хотя бесконечность и ограничивает всю числовую прямую, сама она не принадлежит этой прямой.

Решение рациональных дробных неравенств

Изучим рациональные дроби вида:

Это и будет рациональное неравенство. Немаловажным фактом является наличие переменной x в знаменателе. К таким неравенствам относятся, например, х – 3 / х + 7 < 0; (7х + 1) (11х + 2) / 13х – 4 ≥ 0 и т. п.

Последовательность решения подобных неравенств состоит из следующих шагов:

1. Все ненулевые элементы группируются слева от знака неравенства.
2. Дроби приводятся к общему знаменателю. Числитель и знаменатель раскладываются на множители.
3. Числитель приравнивается к нулю: P(x) = 0. Решается это уравнение и находятся корни x₁, x_2,x₃, …Затем выдвигается требование, чтобы знаменатель был не равен нулю: Q(x)≠0. В итоге решается уравнение Q(x) = 0 и определяются корни х * ₁, х * ₂, х * ₃,…

Для закрепления рассмотрим пример: (7х + 1)(11х + 2) / 13 х – 4 ⩾ 0

Это нестрогое неравенство вида f(x)⩾0. Все ненулевые элементы собраны слева, разных знаменателей нет. Переходим к уравнениям.

11x + 2 = 0, следовательно, x₂ = — 2 / 11.

13x – 4 = 0; 13x = 4; х * =4 / 13.

На числовую прямую наносим три корня. Точки из числителя закрашены, из знаменателя — выколоты.

Проставим знаки. Возьмем x₀ =1 и определим знак в этой точке:

f(x) = (7х = 1)(11х + 2) / 13х – 4; f(I) = (7 * 1 + 1)(11 * 1 + 2) / 13 * 1 – 4 = 8 * 13 / 9 > 0.

Нас интересуют положительные промежутки. Получились два множества: обычный отрезок и открытый луч. Ответ выглядит так:

Учёт кратности корней

Существует такой нюанс, как присутствие кратных корней в неравенствах.

Корень уравнения (х – а) n = 0 равен x = a и называется корнем n-й кратности.

Существенной роли точное значение числа n не играет, важным является лишь то, чётное или нечётное это число:

Чем отличается интервал от отрезка

Пусть числа (точки) и удовлетворяют неравенству .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком (с концами , ) или сегментом и обозначается так: .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам , называется интервалом (с концами , ) или открытым отрезком и обозначается так: .

Множество чисел , удовлетворяющих неравенствам или , обозначаются соответственно , и называются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа.

Часто рассматриваются еще множества, называемые бесконечными интервалами и полуинтервалами: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Первое из них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответственно: 2) , 3) , 4) , 5) .

Символы и удобно называть бесконечными числами, а обычные числа – конечными числами.

Отметим, что, назвав символы и бесконечными числами, мы вовсе не считаем их числами.

Подчеркнем, что у отрезка концы – конечные числа, у интервала же его «концы» могут быть конечными и бесконечными. У полуинтервала число всегда конечное, а может быть конечным и бесконечным . Аналогично у полуинтервала число конечное или бесконечное , а всегда конечное.

Если и конечны, и , то называется длиной сегмента , или интервала , или полуинтервалов .

Если и — произвольные точки действительной оси, то число называется расстоянием между точками и .

Произвольный интервал , содержащий точку , мы будем называть окрестностью точки . В частности, интервал называют — окрестностью точки .

Пусть есть произвольное множество действительных чисел. Говорят, что множество ограничено сверху, если (действительное) число такое, что ; ограничено снизу, если число такое, что ; и ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу. Число называется верхней (нижней) границей множества . Число называется также мажорантой множества .

Можно еще, очевидно, сказать, что множество ограничено, если число такое, что , так как неравенство эквивалентно двум неравенствам .

Если множество не является ограниченным, то его называют неограниченным. Его можно определить следующим образом: множество действительных чисел неограниченно, если . К этой формулировке можно прийти, исходя из правила построения отрицания данной логической формулы.

Примеры. Отрезок есть ограниченное множество. Интервал есть ограниченное множество, если и конечны, и неограниченное, если или .