Как проверить ортогональность векторов

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Так в случае плоской задачи для векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > , условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 — 2 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2 n + 4
2 n + 4 = 0
2 n = -4
n = -2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = -2.

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 — 2 + 0 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4
2 n — 4 = 0
2 n = 4
n = 2

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; - 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; - 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; - 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; - 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; - 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Love Soft

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Коллинеарность

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $\mathbf a(x_1,y_1)$ и $\mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что

или покоординатная детализация:

$$ x_1 = k \cdot x_2 \\ y_1 = k \cdot y_2 \\ z_1 = k \cdot z_2 $$

Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]

$$ x_1y_2 — x_2y_1 = 0$$

Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ — a и b.

Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$

Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), -6,14)?

Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).

В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) — значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.

Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:

Найти вектора и проверить на коллинеарность.

Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:

Ортогональность

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$

или в трехмерном случае:

$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$

Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.

Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.

Пример 4. Проверить являются ли вектора a = <2; 3; 1>и b = <3; 1; -9>ортогональными. Ответ : да

Компланарность

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.

Условия компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = <1; 2; 3>, b = <1; 1; 1>, c = <1; 2; 1>.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Признаки параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями: $$ a: y = k_1 x + c_1 \\ b: y = k_2 x + c_2 $$

Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$

Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$

Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ — совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны

Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 \cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны

Угол между векторами

Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу: На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение .

3) Находим длину вектора и длину вектора .

4) Нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Сделайте самостоятельно и сравните с решением.

Решение: Найдём скалярное произведение: Найдём длину вектора : Найдём длину вектора : Таким образом: Ответ:

Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе

В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.

Скалярное произведение векторов и , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Найти скалярное произведение векторов: а) и б) и , если даны точки

Решение: а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле :

б) Сначала найдём векторы: По формуле вычислим скалярное произведение:

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда . В координатах данный факт запишется следующим образом: (для векторов плоскости); (для векторов пространства).

а) Проверить ортогональность векторов: и б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки и , если

Решение: а) Вычислим их скалярное произведение: , следовательно,

б) Найдём векторы:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки и не перпендикулярны.

Ответ: а) , б) отрезки не перпендикулярны.

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой: .

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Требуемый угол помечен дугой. Угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .