Задана функция a 15t чем является t

7

Урок 1. Понятие функции и графика функции

Выберите правильный вариант из предложенных в скобках.

Выберите правильный вариант из предложенных в скобках.

Впишите пропущенные числа.

Функция задана формулой y = 2x – 1. Вычислите значения функции y (0), y (1), y (–1), y (–2).

Укажите правильный ответ.

Закон зависимости y от x описан таким образом, что каждому x (x > 0) соответствует y,
больший на 2,5. Выберите формулу, которая задаёт данную функцию.

y = x + 2,5

x = 2,5 + y

y = 2,5x

y + x = 2,5

Укажите правильный ответ.

Закон зависимости y от x описан таким образом, что каждому x соответствует y,
в 2 раза больший. Выберите формулу, которая задаёт данную функцию.

y = 2x + 2

y = 2 – x

x = 2y

y = 2x

Впишите пропущенные числа.

Вычислите значение функции y = x 2 – 2 для всех x из промежутка [–1; 1] через 0,4.
Впишите оставшиеся значения x из указанного промежутка и соответствующие им значения y.

Выберите правильный ответ.

Объём куба V как функция от его стороны a записывается…

V = a 3 , a > 0

V = 3 + a, a > 0

a = V 3 , a > 0

V = 3a, a > 0

Выберите правильный ответ.

Укажите формулу для задания функции A (выполненной работы верстальщика) от t (количества дней работы), если известно, что в день он выполняет вёрстку 3-х интернет-уроков.

A = 0,3 • v

A = 0,3 • t

A = 3 + v

A = 3 • t

Впишите пропущенные числа.

Впишите последовательно значения аргумента, при которых значение функции y = 2x – 5 равно 0; 3; 5.

Укажите правильный ответ.

Укажите формулу, которой задана функция, если значениям x, равным 1; 2; 3; 4; 5
соответствуют значения y, равные 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2.

y = x – 1,2

y = x + 0,4

y = 0,8x

y = 0,4x

Укажите правильный ответ.

Функция задана таблицей. Какой формулой можно задать эту функцию?

y = x + 1

x = y – 1

y = –1 + x

y = –x – 1

Впишите правильные ответы.

Друг демонстрирует уже известному нам Андрею возможности своего робота J.
Мальчики засекли время и через 3 секунды после начала отсчёта времени запустили робота J. Робот прошёл 3 метра и через 5 секунд остановился. Следующие несколько секунд он стоял, а затем побежал и пробежал 6 метров. После этого робот развернулся и отправился в обратном направлении. На отметке секундомера 22 секунды робот остановился.

Укажите правильный ответ.

Составлена таблица значений температуры воздуха за неделю, которую измеряли ежедневно в одно и то же время. Укажите, какой график соответствует данной функции.

Задана функция a 15t чем является t

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Задана функция a 15t чем является t

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 2 × F(n − 2), если n> 1 и при этом n — нечётно.

Чему равно значение функции F(26)?

Приведём программу на Паскале, решающий данную задачу:

Приведём аналитическое решение. Заметим, что значения функции от нечётных n являются значениями степеней двойки: F(1) = 1, F(3) = 2, F(5) = 4 и т. д. Значит, F(25) = 4096. Тогда F(26) = 26 + 4096 = 4122.

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — целое неотрицательное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = n / 2 + F(n − 1) + 2, если n > 1 и при этом чётно.

Чему равно значение функции F(49)? В ответе запишите только целое число.

Приведём решение задачи на четырёх языках программирования:

function F(N: integer): integer;

using namespace std;

if(n 1 и mod(n,2)=1 : знач:=F(n-1)+3*n*n

при n>1 и mod(n,2)=0 : знач:=div(n,2)+F(n-1)+2

Результат работы программ — 62820.

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(n) = 2 × F(n − 2), если n > 1 и при этом n нечётно.

Чему равно значение функции F(26)?

Приведём решение задачи на четырёх языках программирования:

function F(N: integer): integer;

else if n mod 2 = 0 then F := n + F(n-1)

using namespace std;

if(n % 2 == 0) return n + F(n-1);

Результат работы программ — 4122.

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

Чему равно значение функции F(30)? В ответе запишите только натуральное число.

Преобразуем выражение для F(n):

Это выражение для суммы арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 1. Таким образом, Откуда

Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n — натуральное число, задан следующими соотношениями:

Чему равно значение функции F(40)? В ответе запишите только натуральное число.

Преобразуем выражение для F(n):

Это выражение для суммы арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 1. Таким образом, Откуда

Задана функция a 15t чем является t

1. Найдите все функции, определённые на множестве , удовлетворяющие соотношению .

Придадим x значение . Получим

.

Отсюда .

Получим систему

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

; ;

Отсюда ;

;

.

Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению .

Ответ: .

3)Заменим z на получим

или после преобразований в правой части уравнения:

10.

Решение: 1) Заменим на , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

11. 2

Решение: 1)Заменим в уравнении на , получим 2 .

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2 ,

получим:

12.

1) Заменим в уравнение на , .

2)Умножим уравнение на и вычтем из уравнения , получим —

, где а

13.

1)Заменим в уравнении на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим

или .

3)Подставим в уравнение , получим .

14.

1.Заменим на , получим

2.Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

15.

Решение:1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

16.

1) Заменим на , получим или .

Упр.14.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.