Как убрать целое число из дроби

Как убрать целую часть в дроби

Чтобы убрать целую часть дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части, записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Например 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = (8 + 3)/4 = 11/4.

Тут целая часть дроби это число 2, знаменатель дроби — 4, числитель дроби — 3.

Число 2 умножили на 4 и прибавили 3, а знаменатель 4 остался прежним.

Если хотим делать обратное действие, то делим числитель на знаменатель.

11 ÷ 4 = 2 (остаток 3).

В этом случае ответ 2 будет целая часть нашей дроби, остаток 3 будет числителем, а 4 — знаменательем.

Смешанные числа

Запомните!

У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.

Рассмотрим две оставшиеся дроби.

Дробь

7

7

имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь

11

7

имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

числитель на знаменатель;
1. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
2. остаток записываем в числитель дроби;
3. делитель записываем в знаменатель дроби.

• Разделим в столбик числитель на знаменатель.
• Теперь запишем ответ.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Умножаем целую часть на знаменатель.

Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.

Запомните!

Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.

Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.

Дроби. Вычитание дробей.

Для нахождения разницы 2х дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть из числителя 1й дроби числитель 2й дроби, а знаменатель обоих дробей оставить не изменяя. Вычитание обыкновенных дробей:

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь, которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной, единицу переводят к виду неправильной дроби, у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7, т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей – правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби – выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители; все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 < 14. Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

Складываем неправильную дробь 18/18, которую мы получили и дробную часть уменьшаемого и получаем:

Итог – общая схема вычислений:

• Если есть целая часть, переводиме эти дроби в неправильные;
• Приводим все дроби к общему знаменателю любым способом;
• Вычитаем найденные числа по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
• Если есть возможность, сокращаем полученную дробь. Если дробь получилась неправильной, выделяем целую часть.
• Запомните, что выделяем целую часть предпочтительно в конце выполнения задания, именно перед записью ответа. Так легче не запутаться.

Общий вариант. Вычитание дробных выражений.

Предположим, есть такое задание:

Приводим к общему знаменателю. При помощи умножения. Поэтому мы не можем в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. Зато можно перемножить знаменатели.

Скобки не открываем! Для того, чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), необходимо числитель и знаменатель домножить на (х+1). А во второй дроби – на х. Результат:

Обратите внимание! У нас появились скобки! Здесь нужно быть очень внимательным. Скобки появляются из-за того, что умножается весь числитель и весь знаменатель.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Что такое числовая дробь

Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок — для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби — это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.

Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.

(или просто дробь) — это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.

Дроби, записанные через горизонтальную черту:

Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Обычно дроби записываются через горизонтальную черту — так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу — знаменателем.

Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. получилась дробь из приведенного выше примера.

Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение — знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»

Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.

Основное свойство дроби

Дроби a / b и c / d называются ,

Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Неправильные дроби. Выделение целой части

Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.

Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):

Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:

1. Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае — равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
2. Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае — ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
3. Знаменатель переписываем без изменений.

Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться — и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:

Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:

Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления — зеленым.

Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24 : 6 = 4 — суровый факт из таблицы умножения.

Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.

Переход к неправильной дроби

Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.

Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:

1. Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
2. Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
3. Переписать знаменатель — опять же, без изменений.

Вот конкретные примеры:

Задача. Переведите в неправильную дробь:

Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби — зеленым.

Вынесение минуса за знак дроби

Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:

В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.

Сделать это очень просто, если вспомнить правила:

1. «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
2. «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их — никаких дополнительных действий не требуется.

Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего — в числитель).

Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем — с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:

Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.

Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».

Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные — и лишь затем приступают к вычислениям.