Как определяется расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние между плоскостями.

Формула для вычисления расстояния между плоскостями

Если заданы уравнения параллельных плоскостей A x + B y + C z + D₁ = 0 и A x + B y + C z + D₂ = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

d =	|D2 — D1|
	√ A 2 + B 2 + C 2

Примеры задач на вычисление расстояния между плоскостями

Решение. Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение второй плоскости на 2

2 x + 4 y — 4 z + 18 = 0

Так как коэффициенты при неизвестных величинах у полученного уравнения и первого уравнения равны, то для вычисления расстояния между плоскостями можно использовати приведенную выше формулу:

d =	|18 — (-6)|	=	|24|	=	24	= 4
	√ 2 2 + 4 2 + (-4) 2		√ 36		6

Ответ: расстояние между плоскостями равно 4.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Как определяется расстояние между параллельными плоскостями

M 1 H 1 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2

M 1 H 1 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

M 1 H 1 = — D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2

1. Уравнение плоскости в отрезках, которое задано в условии задачи, дает возможность определить координаты точки М 1 , принадлежащей плоскости, описываемой этим уравнением. Как точку М 1 используем точку пересечения плоскости ϒ 1 и оси O x . Таким образом, имеем: M 1 1 6 , 0 , 0 .

3 x — 2 y + 2 3 z — 20 = 0 ⇔ 3 x — 2 y + 2 3 z — 20 3 2 + ( — 2 ) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x — 2 5 y + 2 3 5 z — 4 = 0

M 1 H 1 = 3 5 · 1 6 — 2 5 · 0 + 2 3 5 · 0 — 4 = 1 10 — 4 = 3 9 10

1. Преобразуем уравнение плоскости в отрезках в общее уравнение плоскости:

x 1 6 + y — 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x — 4 y + 4 3 z — 1 = 0

3 x — 2 y + 2 3 z — 20 = 0 ⇔ 6 x — 4 y + 4 3 z — 40 = 0

M 1 H 1 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 40 — ( — 1 ) 6 2 + ( — 4 ) 2 + ( 4 3 ) 2 = 39 100 = 3 9 10 .

M 1 H 1 = — 4 — 3 6 2 + 4 2 + ( — 12 ) 2 = 7 196 = 1 2

6 x 1 + 4 y 1 — 12 z 1 + 3 = 0

3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 3 2 + 2 2 + — 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y — 6 7 z — 2 7 = 0

Уравниваем в обоих уравнениях плоскостей коэффициенты при переменных х,у,z (кроме свободного члена D).
После чего определяем расстояние между плоскостями (d), воспользовавшись формулой:
Свободный коэффициент в 1-м уравнении — D1, во 2-м — D2.
Т.е. расстояние между плоскостями рассчитывается как отношение модуля разности свободных коэффициентов |D2 — D1| к корню квадратному из суммы квадратов коэффициентов А, В, С.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение и примеры нахождения

Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

Пусть заданы две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Из произвольной точки М 1 плоскости ϒ 1 опустим перпендикуляр М 1 Н 1 на другую плоскость ϒ 2 . Длина перпендикуляра М 1 Н 1 и будет являться расстоянием между заданными плоскостями.

Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

Допустим, заданы две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Для получения доказательства теоремы необходимо доказать, что перпендикуляры, опущенные из различных произвольных точек одной плоскости к другой плоскости, равны. Пусть будут заданы некоторые произвольные точки М 1 и М 2 на плоскости ϒ 1 , и из них опущены перпендикуляры М 1 Н 1 и М 2 Н 2 на плоскость ϒ 2 . Таким образом, нам предстоит доказать, что М 1 Н 1 = М 2 Н 2 .

Прямые М 1 Н 1 и М 2 Н 2 параллельны, поскольку перпендикулярны одной плоскости. Опираясь на аксиому о единственной плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой, можем утверждать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Будем считать, что существует некоторая плоскость ϒ 3 , проходящая через две параллельные прямые М 1 Н 1 и М 2 Н 2 . Очевидным фактом является то, что плоскость ϒ 3 пересекает плоскости ϒ 1 и ϒ 2 по прямым М 1 M 2 и Н 1 Н 2 , которые не пересекаются, а значит – параллельны (в ином случае, заданные плоскости имели бы общую точку, что невозможно в силу их параллельности по условию задачи). Таким образом, мы наблюдаем четырехугольник М 1 М 2 Н 1 Н 2 , у которого противоположные стороны являются попарно параллельными, т.е. М 1 М 2 Н 1 Н 2 – параллелограмм (в рассматриваемом случае – прямоугольник). Следовательно, противоположные стороны у этого параллелограмма равны, а значит | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Что и требовалось доказать.

Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

По программе 10 — 11 классов расстояние между параллельными плоскостями определяется построением перпендикуляра из любой точки одной плоскости, опущенного к другой плоскости; после чего находится длина этого перпендикуляра (при помощи теоремы Пифагора, признаков равенства, или подобия треугольников, или определения синуса, косинуса, тангенса угла).

В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

Пусть задано трехмерное пространство, а в нем — прямоугольная система координат и две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Найдем расстояние между этими плоскостями, опираясь, в том числе, на определение расстояния между плоскостями, данное выше.

В исходных данных — плоскости ϒ 1 и ϒ 2 , и мы можем определить координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) некой точки M 1 , принадлежащей одной из заданных плоскостей: пусть это будет плоскость ϒ 1 . Также получим нормальное уравнение плоскости ϒ 2 : cos α · x + cos β · y + cos λ · z — p = 0 . В таком случае, искомое расстояние | М 1 Н 1 | будет равно расстоянию от точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) до плоскости ϒ 2 (ей соответствует нормальное уравнение cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 ). Тогда нужное расстояние вычислим по формуле: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Вывод данной формулы можно изучить в теме вычисления расстояния от точки до плоскости.

Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

— найти координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) некой точки М 1 , принадлежащей одной из исходных плоскостей;

— определить нормальное уравнение другой плоскости в виде cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 ;

— произвести расчет требуемого расстояние, используя формулу: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Если в прямоугольной системе координат плоскость ϒ 1 задается общим уравнением плоскости A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 , а плоскость ϒ 2 – общим уравнением A · x + B · y + C · z + D 2 = 0 , тогда расстояние между параллельными плоскостями необходимо вычислять по формуле:

M 1 H 1 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2

Покажем, как данная формула получена.

Пусть точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) принадлежит плоскости ϒ 1 . В таком случае координаты этой точки будут отвечать уравнению плоскости A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 , или верным будет равенство: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Отсюда получим: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Полученное равенство нам еще пригодится.

Плоскость ϒ 2 будет описываться нормальным уравнением плоскости A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 или — A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (в зависимости от знака числа D 2 ). Однако при любом значение D 2 расстояние | М 1 Н 1 | возможно рассчитать, используя формулу:

M 1 H 1 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

Теперь задействуем полученное ранее равенство A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 = — D 1 и преобразуем формулу:

M 1 H 1 = — D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2

Даны две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 , описываемые уравнениями x 1 6 + y — 1 4 + z 1 4 3 = 1 и 3 x — 2 y + 2 3 z — 20 = 0 соответственно. Необходимо определить расстояние между заданными плоскостями.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Уравнение плоскости в отрезках, которое задано в условии задачи, дает возможность определить координаты точки М 1 , принадлежащей плоскости, описываемой этим уравнением. Как точку М 1 используем точку пересечения плоскости ϒ 1 и оси O x . Таким образом, имеем: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Преобразуем общее уравнение плоскости ϒ 2 в нормальный вид:

3 x — 2 y + 2 3 z — 20 = 0 ⇔ 3 x — 2 y + 2 3 z — 20 3 2 + ( — 2 ) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x — 2 5 y + 2 3 5 z — 4 = 0

Вычислим расстояние | М 1 Н 1 | от точки M 1 1 6 , 0 , 0 до плоскости 3 5 x — 2 5 y + 2 3 5 z — 4 = 0 :

M 1 H 1 = 3 5 · 1 6 — 2 5 · 0 + 2 3 5 · 0 — 4 = 1 10 — 4 = 3 9 10

Так мы получили искомое расстояние между исходными параллельными плоскостями.

1. Преобразуем уравнение плоскости в отрезках в общее уравнение плоскости:

x 1 6 + y — 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x — 4 y + 4 3 z — 1 = 0

Приравняем коэффициенты при переменных x , y , z в общих уравнениях плоскостей; с этой целью умножим обе части крайнего равенства на 2 :

3 x — 2 y + 2 3 z — 20 = 0 ⇔ 6 x — 4 y + 4 3 z — 40 = 0

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между параллельными плоскостями:

M 1 H 1 = D 2 — D 1 A 2 + B 2 + C 2 = — 40 — ( — 1 ) 6 2 + ( — 4 ) 2 + ( 4 3 ) 2 = 39 100 = 3 9 10 .

Ответ: 3 9 10 .

Даны две параллельные плоскости, описываемые уравнениями: 6 x + 4 y — 12 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 . Необходимо найти расстояние между этими плоскостями.

Решение

Удобнее будет использовать второй способ решения подобных задач. Умножим обе части второго уравнения на 2 , и коэффициенты в уравнениях плоскостей станут равны: 6 x + 4 y — 12 z + 3 = 0 и 6 x + 4 y — 12 z — 4 = 0 . Теперь можно использовать формулу:

M 1 H 1 = — 4 — 3 6 2 + 4 2 + ( — 12 ) 2 = 7 196 = 1 2

Однако попробуем найти ответ и первым способом: допустим, точка M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) принадлежит плоскости 6 x + 4 y — 12 z + 3 = 0 . Соответственно, координаты этой точки отвечают уравнению плоскости, и верным будет равенство:

6 x 1 + 4 y 1 — 12 z 1 + 3 = 0

Пусть y 1 = 0 , z 1 = 0 , тогда x 1 : 6 x 1 + 4 · 0 — 12 · 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = — 1 2

Таким образом, точка получает точные координаты: M 1 — 1 2 , 0 , 0 .

Преобразуем общее уравнение плоскости 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 в нормальный вид:

3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 3 2 + 2 2 + — 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y — 6 7 z — 2 7 = 0

В таком случае, требуемое расстояние между плоскостями равно: 3 7 · — 1 2 + 2 7 · 0 — 6 7 · 0 — 6 7 · 0 — 2 7 = — 1 2 = 1 2

ГОСЫ / вопрос 6 / Лекция №5

Лемма 5.1. (Условие параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат задана плоскость общим уравнением и вектор . Вектор параллелен плоскости тогда и только тогда, когда выполняется условие: .

Доказательство.

Пусть . Докажем, что выполняется условие .

1. Рассмотрим . Отложим от неё вектор .

2. Пусть , тогда вектор . Запишем условие равенства векторов и :

3. Так как , то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е.

, где

(точка принадлежит плоскости ).

(<=) повторить все рассуждения в обратном направлении.

Лемма 5.2. Пусть в прямоугольной системе координат плоскость  задана общим уравнением: . Тогда вектор перпендикулярен плоскости .

Доказательство.

Пусть вектор параллелен плоскости . Применяя условие параллельности вектора и плоскости, получим: вектор перпендикулярен плоскости .

Взаимное расположение двух плоскостей.

В аффинной системе координат поверхность, заданная уравнением первой степени, является плоскостью. Выясним, при каких условиях два уравнения и :

I. Определяют одну и ту же плоскость;

II. Определяют две параллельные плоскости;

III. Определяют две пересекающиеся плоскости.

I. Условия, при которых уравнения и определяют одну и ту же плоскость.

Для того чтобы два уравнения и в аффинной системе координат определяли одну и ту же плоскость, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях были пропорциональны.

Дано: уравнения плоскостей : (1)

(2)

Докажем: .

1. Данные уравнения определяют одну и ту же плоскость . Значит, векторы нормалей и  будут коллинеарны, т.е. или

.

2. Подставим выражения в уравнение (1) и выразим :

3. Найдем отношение : .

4. Значит,

Дано: уравнения: : (1)

(2)

.

Докажем, что уравнения (1) и (2) задают одну и ту же плоскость .

1. Выразим из условия теоремы коэффициенты :

Подставим данные выражения в уравнение (1):

или

3. Значит, уравнениями (1) и (2) задаётся одна плоскость в аффинной системе координат.

II. Условие параллельности двух прямых.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две параллельные плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны.

III. Условие пересечения двух прямых.

Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две пересекающие плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны.

Взаимное расположение плоскостей и определяется и рангами расширенной и основной матриц, соответствующих системе уравнений данных плоскостей:

— расширенная матрица ранга

-основная матрица ранга .

Если , то плоскости и пересекаются;

Если , то плоскости и совпадают;

Если , то плоскости и параллельны.

Пучок плоскостей.

Определение 5.6. Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей пространства, проходящих через одну прямую.

Пусть плоскости и пересекаются, причем

: ; :

Помножим уравнения плоскостей и соответственно на числа и q,одновременно не равные 0, и сложим полученные равенства:

(*)

, где

Коэффициенты при х,у,z не равны нулю одновременно, т.к. одновременное равенство нулю позволяет говорить, что

. По условию параллельности плоскостей имеем, что => противоречит условию.

Уравнение (*) есть уравнение плоскости, проходящей через общую прямую двух данных плоскостей.

— уравнение пучка плоскостей.

Задача: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2,3,1) и прямую, определяемую плоскостями:х+у-2z+1=0 и 2x—y+z-4=0.

Определение 5.7. Совокупность всех плоскостей, проходящих через точку пересечения трех основных плоскостей, называются связкой плоскостей.

—уравнение связки.

Расстояние от точки до плоскости.

Задача: Найти расстояние от точки до плоскости : .

1. , 

2. 

3. Вектор  =>

4. Так как точка принадлежит плоскости, то имеем:

5. или — расстояние от точки Мо до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Задача: Найти расстояние между параллельными плоскостями и , заданными своими уравнениями: и

.

Угол между плоскостями.

Определение 5.8. Углом между плоскостями называется любой из двух двугранных углов, образованный этими плоскостями.

—формула угла между и .