Как найти радиус сферы

Как найти центр и радиус сферы

Круги и сферы универсальны по своей природе и представляют собой двумерные и трехмерные версии одной и той же существенной формы. Круг — это замкнутая кривая на плоскости, тогда как сфера — это трехмерная конструкция. Каждый из них состоит из набора точек, которые все находятся на одинаковом фиксированном расстоянии от центральной точки. Это расстояние называется радиусом.

Круги и сферы симметричны, и их свойства имеют неограниченные жизненные приложения в физике, технике, искусстве, математике и любых других человеческих начинаниях. Если вы сталкиваетесь с математической проблемой, связанной со сферой, вам нужна некоторая довольно рутинная математика, чтобы найти центр и радиус сферы, если у вас есть некоторая другая информация о сфере.

Уравнение сферы с центром и радиусом R

Общее уравнение для площади круга: A = π_r_ 2 , где r (или R ) — радиус. Наибольшее расстояние по кругу или сфере называется диаметром ( D ) и вдвое больше радиуса. Расстояние вокруг круга, известное как окружность, задается как 2π_r_ (или, что то же самое, π_D_); та же формула справедлива для самого длинного пути вокруг сферы.

В стандартной системе координат x -, y -, z — центр любой сферы может быть удобно расположен в начале координат (0, 0, 0). Это означает, что если радиус равен R , все точки ( R , 0, 0), (0, R , 0) и (0, 0, R ) лежат на поверхности сферы, как и (- R , 0, 0), (0, -R , 0) и (0, 0, -R ).

Другая информация о сферах

Сферы, как и плоскости, имеют площадь поверхности, которая изогнута. Земля и другие планеты являются примерами сфер, у которых есть поверхности, которые часто функционально рассматриваются как двумерные, потому что любая одна часть земной поверхности разумного размера выглядит как таковая в масштабе операций размером с человека.

Площадь поверхности сферы определяется как A = 4π_r_ 2, а ее объем определяется как V = (4/3) π_r_ 3 . Это означает, что если у вас есть значение для области или объема, чтобы найти центр и радиус сферы, вы можете сначала вычислить r , а затем точно знать, как далеко вы должны пройти по прямой линии до достижения центра сферы, при условии, что вы не можете установить (0, 0, 0) в качестве центра для удобства.

Земля как сфера

Земля в буквальном смысле не является сферой, так как она сплющена сверху и снизу отчасти благодаря тому, что она вращалась в течение миллиардов лет. Линия, образующая окружность вокруг самой жирной части в середине, имеет специальное название — экватор.

Проблема: Учитывая, что радиус Земли всего лишь 4000 миль, оцените окружность, площадь поверхности и объем.

C = 2 × 4 000 = около 25 000 миль

A = 4π × 4000 2 = около 2 × 10 8 миль 2 (200 миллионов квадратных миль)

A = (4/3) × π × 4000 3 = около 2, 56 × 10 10 миль 3 (256 миллиардов кубических миль)

подсказки

Для справки: хотя крупные страны, Соединенные Штаты, Китай и Канада, кажется, занимают значительную долю поверхности Земли на земном шаре, каждая из этих стран имеет площадь от 3 до 4 миллионов квадратных миль, или меньше 2 процента поверхности Земли в каждом случае.

Оценка объема сферы

Как показывает приведенный выше пример, если вы хотите найти объем сферы, а у вас нет удобного уравнения для устройства калькулятора сфер, вы можете оценить это, помня, что π приблизительно равно 3 (фактически 3, 141…) и что (4/3) Поэтому π близко к 4. Если вы можете получить хорошую оценку куба радиуса, вы будете достаточно близки для "приблизительных" целей в отношении объема.

Как найти и рассчитать вес сферы

Вес сферы может быть найден с помощью средств, отличных от весов. Сфера — это трехмерный объект со свойствами, полученными из окружности, такими как формула объема, 4/3 * pi * radius ^ 3, которая имеет математическую константу pi, отношение длины окружности к ее диаметру. что примерно .

Как найти радиус сферы при заданном объеме

Радиус сферы скрывается внутри ее абсолютной округлости. Радиус сферы — это длина от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Радиус является идентифицирующей чертой, и из него могут быть вычислены другие измерения сферы, включая ее окружность, площадь поверхности и объем. Формула .

Как найти объем сферы в единицах пи

Сфера — это трехмерный круглый объект, такой как мраморный или футбольный мяч. Объем представляет пространство, окруженное объектом. Формула для объема сферы в 4/3 раза больше пи, умноженного на радиус куба. Кубизировать число означает умножить его на себя в три раза, в этом случае радиус умножить на радиус .

Как найти радиус шара

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.

Количество просмотров этой статьи: 113 500.

Радиус шара (обозначается как r или R) – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Как и в случае круга, радиус шара является важной величиной, которая необходима для нахождения диаметра шара, длины окружности, площади поверхности и/или объема. Но радиус шара можно найти и по данному значению диаметра, длины окружности и другой величины. Используйте формулу, в которую можно подставить данные значения.

Калькулятор радиуса сферы

Радиус сферы — это расстояние от центра сферы до ее поверхности. Это величина важна при проектировании и строительстве конструкций, требующих сферической формы, таких как шары или светильники.

Формула радиуса сферы

Сфера — объемное тело вращения по окружности вокруг собственного диаметра. Таким образом, можно считать, что почти все единицы измерения, присущие окружности, переходят на сферу, в том числе прежде всего радиус и диаметр. В сфере отношения радиуса и диаметра остаются такими же, как и в окружности. Если в случае с кругом радиус зависит от длины окружности и площади круга, то сфера вместо площади имеет объем, поэтому радиус сферы можно вычислить через объем.

Формула для нахождения радиуса сферы:

Где V — объем сферы.

Наш калькулятор позволяет легко найти радиус вашей сферы. Просто введите объем вашей сферы в калькулятор, и он автоматически рассчитает для вас радиус. Этот инструмент идеально подходит для инженеров, архитекторов и всех, кому необходимо быстро и точно рассчитать радиусы сфер.

Пример

Допустим, у вас есть сфера объемом 30 дюймов. Чтобы найти радиус сферы, просто введите 30 в наш калькулятор радиуса сферы, и он рассчитает радиус для вас. В результате получится 1,92 дюйма.

Заключение

В заключение отметим, что радиус сферы является важной величиной для всех, кто работает со сферическими формами. Наш калькулятор радиуса сферы позволяет легко и быстро найти эту величину. Независимо от того, проектируете ли вы глобус, светильник или любую другую сферическую конструкцию, наш калькулятор поможет вам выполнить работу. Итак, воспользуйтесь нашим калькулятором уже сегодня и упростите свои расчеты!

Как найти радиус сферы окружности

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы

Формула. Объём шара:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

S = 4 π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Основные свойства сферы и шара

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m r такого круга можно найти по формуле:

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

V =	h 2 π	(3R — h )
	3

S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )

Формула. Объём сектора V с высотой O₁H (h) через радиус шара OH (R):

V =	2 π R 2 h
	3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Нахождение радиуса шара: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус шара и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формулы вычисления радиуса шара

1. Через объем

Радиус шара вычисляется по формуле:

V – объем шара; равен трем четвертым произведения его радиуса в кубе и числа π .

π – число, приближенное значение которого равняется 3,14.

2. Через площадь поверхности

Радиус шара рассчитывается таким образом:

S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π .

S = 4 π R 2

Примеры задач

Задание 1
Объем шара составляет 904,32 см 3 . Найдите его радиус.

Решение:
Воспользовавшись первой формулой получаем:

Задание 2
Вычислите радиус шара, если площадь его поверхности равна 314 см 2 .

Решение:
В данном случае рассчитать радиус шара можно, применив 2-ю формулу (через площадь поверхности):

Площадь поверхности шара формула и калькулятор онлайн

Что такое шар?

В стереометрии есть большой раздел, который называется фигуры вращения. Об этом редко говорят в школе, но плоские фигуры можно вращать вокруг какой-либо оси или точки. Так получаются объемные фигуры.

Стереометрия это наука о фигурах в пространстве. Простейшими единицами стереометрии является точка, прямая и плоскость.

Например, цилиндр образован вращением прямоугольника или квадрата. Поэтому, если рассечь цилиндр плоскостью, то сечение примет форму того самого квадрата или прямоугольника, который вращали, чтобы получить фигуру.

Так же и шар образован вращением. Как не трудно догадаться, основной для шара послужил круг. Причем сразу стоит сказать, что именно круг, а не окружность.

Следует понимать, что круг и окружность разные фигуры. Так окружность представляет собой набор точек равноудаленных от центра. Переводя на более простой язык окружность – это сама линия и центр окружности. А круг включает в себя и все внутреннее пространство. У окружности не может быть площади.

То есть, шар имеет какое-то внутренне заполненное пространство. Интересно, что сфера так же имеет пространство внутри, только условно полое.

Формулы для вычисления радиуса

Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см. Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см.
Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

Например, дан шар с объемом 100 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
- ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
- ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
- ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
- (23,87) 1/3 = r
- 2,88 см = r
- Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см 3 . Радиус этого шара вычисляется так:
  - √(A/(4π)) = r
  - √(1200/(4π)) = r
  - √(300/(π)) = r
  - √(95,49) = r
  - 9,77 см = r
  V = 4/3 πr3,
  
  где V — объем, r — радиус шара.
  Отсюда, радиус шара равен корню кубическому из объема шара деленного на три четвертых Пи:
  
  Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности
  
  Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.
  
  где S – это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14.
  
  Важные измерения
  
  Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.
  
  Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:
  1. S = 4 * 3,14 * 10²;
  2. S мяча равна ≈ 1256 см².
  Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.
  
  Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.
  
  Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).
  
  Шар, сфера и их части
  
  Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.
  
  Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).
  
  Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).
  
  Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.
  
  Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).
  
  Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
  
  Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).
  
  Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.
  
  Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.
  
  Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.
  
  Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .
  
  Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).
  
  Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).
  
  Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.
  
  Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .
  
  По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).
  
  Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).
  
  Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .
  
  Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .
  
  Объем шара через длину окружности
  
  Формула для нахождения объема шара через длину окружности: > , где L — длина окружности шара.
  
  Эта формула легко выводится формулы объема шара через его радиус и формулы для нахождения длины окружности
  
  Уравнение сферы
  
  x 2 + y 2 + z 2 = R 2
  
  ( x – x ₀) 2 + ( y – y ₀) 2 + ( z – z ₀) 2 = R 2
  
  3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x ₀, y ₀, z ₀):
  x = x ₀ + R · sin θ · cos φ y = y ₀ + R · sin θ · sin φ z = z ₀ + R · cos θ
  где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].
  
  Определение радиуса сферы при помощи объема шара
  
  Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:
  
  где V – это объём шара, число Пи = 3,14.
  
  Определение основных величин
  - Диаметр (D) – это отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр (то есть это наибольшее расстояние между противоположными точками, лежащими на поверхности шара). Диаметр равен удвоенному радиусу.
  - Длина окружности (С) представляет собой длину окружности большого круга, то есть круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
  - Объем (V) – это значение трехмерного пространства, занимаемого шаром. [6]
  - Площадь поверхности (А) – это значение двумерного (плоского) пространства, ограниченного поверхностью шара.
  - Пи (π) – это постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Первыми десятью цифрами этой постоянной являются 3,141592653, но зачастую число Пи округляется до 3,14.
  - D = 2г. Как и в случае круга , диаметр шара в два раза больше его радиуса.
  - C = πD = 2πr. Как и в случае круга , длина окружности шара равна произведению π на диаметр шара. Так как диаметр вдвое больше радиуса, то длина окружности шара равна удвоенному произведению π на радиус шара.
  - V = (4/3)πr 3 . Объем шара равен произведению 4/3 на π и на радиус в кубе. [7]
  - А = 4πr 2 . Площадь поверхности шара равна учетверенному произведению π на радиус в квадрате. Так как площадь круга равна πr 2 , то площадь поверхности шара в четыре раза больше площади круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
  r = С / 2π
  
  π — величина постоянная, равна отношению длины окружности к диаметру. Число Пи, равное 3,141592653… обычно округляется до 3,14.
  
  — по площади шара.
  Площадь шара равна произведению четырех пи на квадрат радиуса:
  
  Нахождение радиуса по расстоянию между двумя точками
  - Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12). Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.
  - В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0). Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.
  - В рассматриваемом примере вместо (x₁,y₁,z₁) подставьте (4,-1,12), а вместо (x₂,y₂,z₂) подставьте (3,3,0):
    - d = √((x₂ – x₁) 2 + (y₂ – y₁) 2 + (z₂ – z₁) 2 )
    - d = √((3 – 4) 2 + (3 – -1) 2 + (0 – 12) 2 )
    - d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2 )
    - d = √(1 + 16 + 144)
    - d = √(161)
    - d = 12,69. Это искомый радиус шара.
    - Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r 2 = (x₂ – x₁) 2 + (y₂ – y₁) 2 + (z₂ – z₁) 2 . Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r 2 = x 2 + y 2 + z 2 с центром с координатами (0,0,0).
    C = πD = 2πr
    
    Отсюда, радиус равен частному от деления длины окружности © на 2 пи:
    
    Через площадь поверхности
    
    Радиус шара рассчитывается таким образом:
    
    S – площадь поверхности шара; равна четырем его радиусам в квадрате, умноженным на число π .
    
    S = 4 π R 2
    
    Одиннадцать свойств
    
    В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:
    1. Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
    2. Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
    3. Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
    4. Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
    5. У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
    6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
    7. Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
    8. Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
    9. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
    10. Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.
    Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.
    
    Читать:
    Как найти слово в папке с файлами