Как найти координаты вектора в новом базисе через матрицу перехода

Анал_Геом / Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть «старый» и другой базис , который мы будем называть «новый». Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом — . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно «связать» друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть .

Предложение 18.5 Координатные столбцы в старом базисе и в новом базисе связаны формулой

где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

Доказательство. Так как — координатный столбец вектора в новом базисе, то

Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим

В силу предложения 14.3 изменим порядок суммирования

Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.

Пример 18.4 Пусть , то есть — трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

Возьмем вектор . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы — это координаты новых базисных векторов

Пусть — координатный столбец вектора в новом базисе. Тогда

Найдем матрицу по формуле (14.14). Находим определитель

Находим алгебраические дополнения

Находим координаты вектора

Таким образом, новые координаты вектора : , , , .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты , , .

Переход к новому базису и к новой системе координат

Эта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения

Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис и два подопытных вектора:

Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках:

И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики.

В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис :

Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы:

Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису.

На иллюстрации хорошо видно готовые результаты:
, то есть – это координаты вектора «а» в базисе ;
и – есть координаты вектора «бэ» в новом базисе.

Примечание: заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса.

Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому. Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису :

…если вам не понятно, откуда берутся все эти разложения – срочно изучать/повторять «школьные» действия с векторами!

Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу: . Или так: . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы.

Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты произвольного вектора в старом базисе с его соответствующими координатами в новом базисе .

! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным!

Для решения нашей задачи подставим разложения во 2-е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно, то справедливы следующие равенства:

С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые.

Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения:

и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»:

Что и требовалось проверить. Надеюсь, ни у кого не возникло проблем с матричным умножением. Хотя, в случае аварийных недоразумений всегда можно подставить новые координаты в равенства и получить те же самые результаты.

Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению …. В его середине находится матрица с координатами векторов , которые записаны в столбцы. И, обозначив , перепишем уравнение в компактном виде:

Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева:

В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом:

Теперь нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует. Я не буду подробно расписывать процесс её нахождения (с которым можно ознакомиться по ссылке) и сразу приведу готовый результат:
– тот редкий случай, когда дробь целесообразно затолкать в матрицу.

Пользуясь уравнением , вычислим координаты векторов в базисе :
, то есть ;
, то есть .
Желающие могут протестировать другие «сподручные» векторы и свериться с чертежом.

Нетрудно догадаться, что в столбцах полученной матрицы находятся коэффициенты разложения векторов старого базиса по векторам нового базиса:

(убедитесь по чертежу в справедливости этих разложений)

и матрица называется (именно так!) матрицей перехода от базиса к базису .

Из статьи о линейных преобразованиях вы узнаете (или уже знаете), что любой квадратной матрице «два на два» соответствует определённое преобразование (грубо говоря, искажение) плоскости, и, как видите, невырожденная матрица «два на два» может иметь и другой геометрический смысл. Любопытные читатели непременно проанализируют, какие линейные преобразования задают рассмотренные матрицы.

Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости , при этом векторы 2-го базиса выражены через векторы 1-го:

! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора:
– 1-я координата 1-го вектора (вектора ), – 2-я координата 1-го вектора;
– 1-я координата 2-го вектора (вектора ), – 2-я координата 2-го вектора.
Следует отметить, что в других источниках информации обозначения могут быть другими, я выбрал вариант, который мне показался наиболее понятным.

В базисе дан вектор . Требуется найти его координаты в базисе .

На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений «укладываем» в столбцы матрицы: (векторы следует «перебирать» строго по порядку!):

или, если компактнее:

Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Читателям, углубленно изучающим математику, рекомендую вывести эти формулы самостоятельно (по аналогии конкретных рассуждений в разобранном примере).

Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора в базисе :

Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =)

…так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения:

1) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём:

Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты вектора в базисе с его координатами в базисе .

2) .
Найти разложение вектора по базису

Краткое решение и ответы в конце урока.

Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса:

Переход к новой системе координат

Это не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная.

Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат.

Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение:

Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты :
, где – координаты точки в старой системе координат.

Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица .

Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку :

Теперь «укладываем» коэффициенты разложений в «столбцы» формул :

Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии). Вычислим координаты данных точек в исходном базисе :

В чём и требовалось убедиться.

Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы в виде матричного уравнения:

или, если компактнее:

И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат:
, где – координаты точки в новом базисе. Данный столбец рассчитывается по формуле .

В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец:

Пожалуйста, снова наклоните голову влево на и убедитесь, что в новой («оранжевой») системе координат точка обладает именно координатами .

Запишем рабочее матричное уравнение и рассчитаем координаты точек в новой системе координат:

Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:))

Ориентация плоскости

У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой.

По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию.

Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным.

Так, например, наша «школьная» система координат является правой. Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован.

Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат:

Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система задала левую ориентацию плоскости – координатная ось «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже.

Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор смотрит вниз.

Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока:

Преобразование прямоугольных систем координат

На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид:

, где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный).

Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён.

В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются:

Пусть, например, – новое начало:

Тогда старые координаты точки легко получить из новых: ,
а новые – из старых:

Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат:

Так как новое начало координат совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены:

Для самостоятельного решения:

Прямоугольная декартова система координат получена из системы поворотом на угол .

1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты точки через её старые координаты .

2) Найти новые координаты точки , если известно, что угол поворота .

На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В общем случае правая прямоугольная система координат получается из системы в два шага:

1) поворотом координатных осей;
2) параллельным переносом начала координат.

Ну, или в другом порядке.

Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы

Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки:

Кстати, здесь уже нельзя рассуждать о «чистом повороте» координатных осей, поскольку с помощью него невозможно «совместить двух Тузиков». И как раз одна система координат получается из другой в том числе с помощью зеркальной симметрии.

Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве:
, где:

где – координаты точки в аффинной системе ;
– её координаты в системе ;
– координаты начала в системе .

Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше.

И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Задача 1 Решение:
1) Матричное уравнение , где позволяет найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе . Матричное уравнение соотносит координаты в другом порядке

2) Запишем матрицу . Координаты вектора в базисе найдём с помощью матричного уравнения .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

В результате:

Ответ:

Примечание: на самом деле такую задачу мы уже решали на уроке о линейной независимости и базисах (см. Примеры 8,9), но недостаток тех решений состоит в том, что метод Крамера позволяет найти новые координаты лишь отдельно взятого вектора.

Задача 2 Решение:
1) Запишем формулы в матричной форме:

Выразим новые координаты через старые: .
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом:

Осуществляя матричное умножение, получаем искомые формулы:

2) Поскольку угол поворота составляет , то формулы принимают вид:

Вычислим координаты точки в новой системе координат:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Как найти координаты вектора в новом базисе через матрицу перехода

Очевидно, что в одном и том же пространстве можно выбрать множество базисов. Пусть в выбрано два базиса и .

Векторы базиса могут быть выражены через векторы базиса :

(4)

Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису . В ее столбцах записаны координаты векторов относительно базиса .

Соотношения (4) называются формулами перехода от базиса к базису . Их можно записать в матричной форме:

, отсюда .

Пусть вектор задан своими координатами относительно базиса – , а относительно базиса – . Тогда

и . (5)

Пример 4. Относительно базиса , , даны четыре вектора , , и . Векторы можно принять за базис в . Найти координаты вектора в базисе .

Решение. Матрица перехода от базиса к базису имеет вид . Обозначим координаты вектора в базисе через . Согласно формулам (5), имеем:

. Находим : ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

.

Проверка: ;

;

или .

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть «старый» и другой базис , который мы будем называть «новый». Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом — . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно «связать» друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Замечание 18.1 Матрица перехода всегда невырождена, то есть .

где справа стоит произведение матрицы перехода на матрицу-столбец.

Доказательство. Так как — координатный столбец вектора в новом базисе, то

Заменив векторы их разложениями по старому базису, получим

Здесь мы получили разложение вектора по старому базису, причем координата вектора с номером равна . Элемент с номером столбца будет иметь такой же вид. Следовательно, формула (18.1) доказана.

Пример 18.4 Пусть , то есть — трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

Возьмем вектор . Найдем его координаты в новом базисе.

Пусть — координатный столбец вектора в новом базисе. Тогда

Найдем матрицу по формуле (14.14). Находим определитель

Таким образом, новые координаты вектора : , , , .

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты , , .

Матрица перехода

Матрица перехода — это просто квадратная матрица, в столбцах которой записаны координаты новых базисных векторов. У такой матрицы много важных свойств, которые сформулированы и доказаны в первой части урока — теоретической. Этой теории хватит для любого экзамена или коллоквиума.

Вторая часть урока — практическая. В ней разобраны все типовые задачи, которые встречаются на контрольных, зачётах и экзаменах.

Если вы учитесь в серьёзном университете (МГУ, Бауманка и т.д.), то обязательно изучите первые три пункта. А если вам нужны только задачи, сразу переходите к пункта 4—6.

1. Определение матрицы перехода

Пусть дано $n$-мерное линейное пространство $L$. Пусть также $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — два базиса в $L$.

Определение. Матрица перехода $<_>$ от базиса $e=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — это квадратная матрица порядка $n$, где по столбцам записаны координаты нового базиса $f$ в старом базисе $e$:

\[<_>=\left[ \begin<_<1,1>> & <_<2,1>> & \cdots & <_> \\<_<1,2>> & <_<2,2>> & \cdots & <_> \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\<_<1,n>> & <_<2,n>> & \cdots & <_> \\\end \right]\]

Обратите внимание на нумерацию элементов $<_>$: первый индекс обозначает номер столбца, т.е. номер нового базисного вектора, а второй отвечает за координаты этого вектора в старом базисе. Так, во втором столбце записаны координаты вектора $<_<2>>$:

Или, что то же самое, разложение вектора $<_<2>>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Да, такая нумерация не является обязательной. Но она очень распространена именно в записи матриц перехода: первый индекс отвечает за номер базисного вектора, второй — за номер координаты этого вектора.

Пример 1. В некотором базисе $e=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ векторного пространства $<<\mathbb>^<3>>$ даны три вектора:

\[<_<1>>=<<\left( 1,0,1 \right)>^>,\quad <_<2>>=<<\left( 2,1,0 \right)>^>,\quad <_<3>>=<<\left( 0,3,1 \right)>^>\]

\[\begin<_<1>> &=<<\left( 1,0,1 \right)>^>, \\ <_<2>> &=<<\left( 2,1,0 \right)>^>, \\ <_<3>> &=<<\left( 0,3,1 \right)>^> \\ \end\]

Убедитесь, что система векторов $f=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ образует базис в $<<\mathbb>^<3>>$, найдите матрицу перехода $<_>$.

Решение. Система векторов будет базисом, если эти векторы линейно независимы, а их количество совпадает с размерностью пространства. Поскольку у нас три вектора и $\dim<<\mathbb>^<3>>=3$, осталось проверить линейную независимость. Составим матрицу из столбцов с координатами векторов $<_<1>>$, $<_<2>>$ и $<_<3>>$:

\[\left[ \begin1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

Вообще-то это и есть матрица перехода $<_>$, но сначала надо установить линейную независимость. Поэтому выполним элементарные преобразования строк:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right]\]

\[\begin & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right] \\ \end\]

Получили верхнетреугольную матрицу без нулей на главной диагонали. Ранг такой матрицы равен 3, поэтому система $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ линейно независима и образует базис. Матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ уже известна:

\[<_>=\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

1.1. Зачем нужна матрица перехода

Матрица перехода нужна для того, чтобы компактно и наглядно выражать новый базис через старый. В самом деле, разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ нового базиса по старому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Получили систему из $n$ уравнений, которые в матричном виде можно представить так:

Обратите внимание: $<_<1>>,\ldots ,<_>$ и $<_<1>>,\ldots ,<_>$ — это именно векторы, а не числа. Такие наборы принято записывать строками — в отличие от вектор-столбцов, элементами которых как раз выступают обычные числа.

Последний множитель — это и есть матрица перехода $<_>$, поэтому всё произведение можно записать более компактно:

2. Свойства матрицы перехода

Мы разберём три простых свойства, а далее отдельным разделом будет ещё одно — уже более серьёзное.

2.1. Переход от базиса к этому же базису

Свойство 1. При переходе от базиса $e$ к этому же базису $e$ матрица перехода $<_>=E$.

Для доказательства достаточно рассмотреть формулы

Указанное выражение однозначно, поскольку $e$ — базис. Следовательно, матрица перехода равна

Итак, $<_>=E$, что и требовалось доказать.

2.2. Обратный переход

Свойство 2. Если $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$, то $<_>=<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ матрица обратного перехода, от базиса $f$ к базису $e$.

В самом деле, базисы $e$ и $f$ связаны с матрицей перехода по формуле

Поскольку матрица $<_>$ невырожденная, существует обратная к ней матрица $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$. Домножим на эту матрицу обе части формулы, связывающей базисы $e$ и $f$:

Упрощаем эту формулу и получаем

Итак, мы получили формулу перехода от базиса $f$ к базису $e$. Следовательно, $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ — матрица такого перехода, что и требовалось доказать.

2.3. Переход через транзитный базис

Пусть $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ линейного пространства $L$, а $<_>$ — матрица перехода от базиса $f$ к базису $g$ того же линейного пространства $L$.

Тогда матрица перехода $<_>$ от базиса $e$ к базису $g$ находится по формуле

Для доказательства достаточно записать формулы для выражения базисов $f$ и $g$, а затем подставить одну формулу в другую. По условию теоремы, базис $f$ выражается через базис $e$ по формуле

Кроме того, базис $g$ выражается через базис $f$ по формуле

Подставим первое выражение во второе и получим

Мы получили прямое выражение базиса $g$ через базис $e$, причём матрица перехода равна

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

2.4. Невырожденные матрицы

И ещё одно важное свойство:

Иначе говоря, всякая квадратная невырожденная матрица $T$ является матрицей перехода от данного базиса $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к некоторому новому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейного пространства $L$.

Обратите внимание: поскольку изначально мы не знаем, что $T$ — матрица перехода, её элементы пронумерованы стандартным образом: первый индекс отвечает за строку, а второй — за столбец. Однако это нисколько не помешает нам доказать теорему.

Для доказательства того, что $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, нужно доказать два утверждения:

• 1.Система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — линейно независима.
• 2.Ранг этой системы векторов совпадает с размерностью пространства $L$.

Поскольку количество векторов в системе $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ совпадает с количеством базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$, т.е. равно $n=\dim L$, достаточно лишь проверить линейную независимость.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и предположим, что она равна нулю:

В матричном виде это выглядит так:

По условию теоремы векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ раскладываются по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ с коэффициентами, записанными в столбцах матрицы $T$. В матричном виде это выглядит так:

Подставляем полученное выражение для $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ в предыдущее матричное уравнение и получаем

Поскольку $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, такое равенство возможно лишь при условии

Это матричное уравнение можно рассматривать как систему из $n$ однородных уравнений относительно переменных $<<\lambda >_<1>>,\ldots ,<<\lambda >_>$. И поскольку по условию теоремы матрица $T$ невырожденная, это СЛАУ имеет лишь одно решение — тривиальное:

Получаем, что система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейно независима, а количество векторов совпадает с размерностью линейного пространства $L$. Следовательно, эта система — базис, что и требовалось доказать.

3. Замена координат в новом базисе

До сих пор мы рассуждали лишь о том, как координаты новых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ выражаются через координаты старых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$. Но что будет с координатами одного и того же вектора линейного пространства $L$ при переходе от одного базиса к другому?

Ответ даёт следующая теорема.

3.1. Формулировка теоремы

Ещё раз: если произвольный вектор $h\in L$ в новом базисе $f$ имеет координаты

то в старом базисе $e$ этот же вектор $h\in L$ имеет координаты

Т.е. для векторов всё наоборот: не новые координаты выражаются через старые, а старые — через новые. Впрочем, никто не мешает найти матрицу $T_^<-1>$ и записать

Но такая запись предполагает дополнительное действие — нахождение обратной матрицы.

3.2. Доказательство

Сначала «соберём» матрицу $<_>$. Для этого разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

В матричной форме эту систему линейных уравнений можно записать так:

Транспонируем обе стороны равенства, учитывая, что произведение справа транспонируется по правилу $<<\left( A\cdot B \right)>^>=<^>\cdot <^>$:

Квадратная матрица справа — это и есть матрица перехода $<_>$. Поэтому матричное уравнение можно переписать так:

Теперь возьмём произвольный вектор $h\in L$ и разложим его по базисам $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Вновь перейдём к матричной форме. Сначала учтём, что координаты векторов принято записывать в виде вектор-столбцов:

Тогда левую и правую часть уравнения можно представить как произведение строк с базисными векторами и указанных вектор-столбцов с координатами:

Но выше мы выражали строку векторов $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ через строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ и матрицу перехода $<_>$. Подставим это выражение в наше матричное уравнение:

Уберём слева и справа первый множитель — строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$. Получим уравнение, связывающее координаты вектора в разных базисах:

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

Задача 1. Базисы трёхмерного пространства

Задача. Убедитесь, что системы векторов

являются базисами в векторном пространстве $<<\mathbb>^<3>>$. Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите координаты в базисе $a$ вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$.

Решение

Чтобы доказать, что система векторов образует базис, достаточно составить матрицу $A$ из координат этих векторов, а затем вычислить её определитель $\det A$. И если $\det A\ne 0$, то векторы линейно независимы. А поскольку их количество совпадает с размерностью линейного пространства, такие векторы образуют базис.

Определитель этой матрицы отличен от нуля:

Теперь составим матрицу из векторов $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$. Получим матрицу перехода $<_>$:

Определитель этой матрицы вновь отличен от нуля:

Осталось найти матрицу перехода $<_>$. Заметим, что эту матрицу можно выразить так:

Мы внедрили «транзитный» базис $e$ и вместо прямого перехода $a\to b$ рассмотрели цепочку $a\to e\to b$. Это стандартный и очень распространённый приём, но из-за этого появился новый элемент $T_^<-1>$ — матрица, обратная к $<_>$. Найдём $T_^<-1>$ методом присоединённой матрицы:

\[\left[ <_>|E \right]\sim \ldots \sim \left[ E|T_^ <-1>\right]\]

Напомню, что элементарные преобразования в присоединённых матрицах выполняются только над строками. Если вы забыли, как всё это работает, см. урок «Обратная матрица». В нашем случае получим:

\[\left[ \begin1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \\\end \right]\begin \, \\ -2\cdot \left[ 1 \right] \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\]

Мы «зачистили» первый столбец. Теперь «зачистим» последний:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin -1\cdot \left[ 3 \right] \\ +3\cdot \left[ 3 \right] \\ \, \\ \end\]

Остался лишь средний. Разберёмся и с ним:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin +2\cdot \left[ 2 \right] \\ |\cdot \left( -1 \right) \\ \, \\ \end\]

Получили единичную матрицу слева от вертикальной черты. Значит, справа стоит искомая матрица $T_^<-1>$:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу перехода $<_>$:

После несложных вычислений получаем матрицу перехода от базиса $a$ к базису $b$:

Осталось найти координаты вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$. Вспомним формулу, выражающую координаты в старом базисе через координаты в новом базисе:

Итак, вектор $x$ в базисе $a$ имеет координаты $<<\left( 1,1,4 \right)>^>$. Задача решена.

Альтернативное решение

Можно найти матрицу $<_>$ заметно быстрее, если использовать алгоритм решения матричных уравнений. Заметим, что нам требуется найти произведение

С другой стороны, для нахождения такого произведения достаточно составить присоединённую матрицу вида $\left[ A|B \right]$ и цепочкой элементарных преобразований свести её к виду

Другими словами, справа от вертикальной черты мы получим искомую матрицу перехода $<_>$!

На практике это выглядит так. Записываем присоединённую матрицу $\left[ A|B \right]$:

И после элементарных преобразований получим

Для экономии места я пропустил промежуточные шаги. Попробуйте сделать их самостоятельно — это очень полезная практика.

Если же вы хотите разобраться, как это работает (и почему вдруг справа возникает матрица вида $<^<-1>>\cdot B$), см. урок «Матричные уравнения». А мы идём дальше.

Задача 2. Базисы в поле вычетов

Найдите матрицу перехода от базиса

арифметического линейного пространства $\mathbb_<5>^<3>$.

Решение

Эта задача проще предыдущей, поскольку поле вычетов $<<\mathbb>_<5>>$ является конечным и состоит всего из пяти элементов — представителей смежных классов:

Аналогично, рассмотрим систему $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ и составим матрицу $<_>$:

Выразим искомую матрицу $<_>$ через «транзитный» базис $e$:

Найдём $T_^<-1>$ через присоединённую матрицу:

После цепочки элементарных преобразований над строками (попробуйте выполнить их самостоятельно!) получим

Итак, мы нашли матрицу $T_^<-1>$:

Осталось вычислить искомую матрицу перехода $<_>$:

По аналогии с предыдущей задачей, матрицу $<_>$ можно найти и через элементарные преобразования присоединённой матрицы $\left[ A|B \right]$. Результат будет точно такой же, но мы сэкономим пару строк вычислений и несколько минут времени.

Задача 3. Пространство многочленов

Убедитесь, что системы многочленов

являются базисами в пространстве $<

_<3>>$ многочленов степени не выше 2. Найдите матрицу перехода $<_>$. Разложите по степеням $\left( t-1 \right)$ многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$.

Решение

Стандартным базисом в пространстве многочленов является система многочленов $p=\left\< <

_<1>>,<

_<2>>,<

_<3>> \right\>$, где

Выразим через базис $p$ многочлены из системы $e$:

Следовательно, матрица перехода $<_>$ выглядит так:

Аналогично, выразим через базис $p$ многочлены из системы $f$:

Получим матрицу перехода $<_>$:

Обе матрицы оказались верхнетреугольными, их определители отличны от нуля:

Следовательно системы многочленов $e$ и $f$ действительно являются базисами пространства $<

_<3>>$.

Теперь найдём матрицу перехода $<_>$. Для этого нам даже не потребуется искать обратную матрицу. Достаточно заметить, что векторы $<_<1>>$ и $<_<2>>$ легко раскладываются по базису $e$:

С вектором $<_<3>>$ вычислений будет чуть больше:

Итого матрица перехода $<_>$ примет вид

Теперь разложим многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по базису $e$. Сначала перепишем этот многочлен так:

Следовательно, в базисе $f$ многочлен $h\left( t \right)$ имеет координаты $<<\left( 1,1,1 \right)>^>$. Но тогда по теореме о замене координат этот же многочлен в базисе $e$ имеет координаты

Другими словами, многочлен $h\left( t \right)$ имеет вид

Это и есть искомое разложение многочлена $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по степеням $\left( t-1 \right)$.

Альтернативное решение

Искомое разложение можно получить и без привлечения матриц перехода. Достаточно применить схему Горнера или выделить нужные степени напрямую:

Как видим, результат получился тем же самым, а времени потрачено меньше. Однако уже в пространстве $<

_<4>>$ многочленов степени не выше 4 сложность решения через матрицы и через выделение степеней будет сопоставимой. А дальше матрицы начнут выигрывать.

Смысл линейной алгебры — дать универсальные алгоритмы, которые работают с объектами любой природы, если эти объекты подчиняются аксиомам линейного пространства.

Задача 4. Матрица перехода при симметрии

Базис $b$получается из базиса

пространства $<_<3>>$ симметрией относительно плоскости $2x+y+3z=0$. Найти матрицу перехода $<_>$.

Решение

Из курса аналитической геометрии мы знаем, что если плоскость задана уравнением

то вектор-нормаль $n$ имеет координаты

Важное замечание. симметрия предполагает использование проекций и углов, что в конечном счёте сводится к скалярному произведению. Однако мы пока не знаем, что такое скалярное произведение в линейном пространстве.

Полноценное определение скалярного произведения будет намного позже — см. урок «Евклидово пространство». А пока будем считать, что скалярное произведение векторов $a$ и $b$ определено стандартным образом:

\[\left( a,b \right)=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot \cos \alpha \]

Геометрическая интерпретация

Симметрию на плоскости и в пространстве удобно представлять графически. Пусть $\alpha $ — плоскость, относительно которой выполняется симметрия. Тогда векторы $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ будут выглядеть так:

Задача 5. Матрица поворота

Базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ пространства $<_<3>>$ поворачивается на 180° вокруг прямой $l$, заданной системой

Затем полученный базис $f$ поворачивается на 90° в отрицательном направлении вокруг нового положения вектора $j$. В результате получается базис $g=\left\< <_<2>>,<_<2>>,<_<2>> \right\>$.

Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите в базисе $e$ координаты вектора $h$, который в новом базисе $g$ имеет координаты $\left( 1,1,1 \right)$.

Решение

Вращение базиса и матрица поворота — это очень важная тема, по которой есть отдельный урок — «Матрица поворота». Но сейчас вращение совсем простое, поэтому обойдёмся без специальных матриц.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации. Рассмотрим исходный базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ трёхмерного пространства:

Также на этом рисунке изображена прямая $l$, которая задаётся требованиями $z=0$ и $x=y$. Эта лежит в плоскости $Oxy$ и является биссектрисой первой координатной четверти.

Очевидно, что при повороте пространства на 180° относительно прямой $l$ базисные векторы $i$ и $j$ просто поменяются местами, а вектор $k$ перейдёт в противоположный:

Другими словами, $<_<1>>=j$, $<_<1>>=i$, $<_<1>>=-k$, поэтому матрица перехода от базиса $e=\left\< i,j,k \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,<_<1>>,<_<1>> \right\>$ примет вид

Далее поворот осуществляется вокруг нового положения вектора $j$, т.е. вокруг вектора $<_<1>>$. Вновь обратимся к чертежу. В этот раз нам уже не нужны координатные оси — нас интересуют лишь векторы $<_<1>>$, $<_<1>>$ и $<_<1>>$, а также ось вращения:

Обратите внимание: в задаче сказано, что базис вращается на 90° в отрицательном направлении. Если мы смотрим на плоскость, образованную векторами $<_<1>>$ и $<_<1>>$, с вершины вектора $<_<1>>$ (как на картинке), то отрицательное направление — это по часовой стрелке (отмечено зелёным), а положительное —против часовой стрелки (отмечено красным).

Все эти тонкости (положительное и отрицательное направление, правые и левые тройки векторов) детально описаны в уроке про матрицы поворота. Сейчас не будем подробно разбираться в них, а просто нарисуем результат:

Теперь мы можем найти матрицу $<_>$ через транзитный базис $f$:

Кроме того, нам известны координаты вектора $h$ в базисе $g$:

Тогда в базисе $e$ координаты этого же вектора равны

Итак, мы нашли матрицу перехода $<_>$ и координаты вектора $h$ в исходном базисе. Задача решена.

для квадратичных функций

Похожие публикации:

1. Как в иллюстраторе вырезать одну фигуру из другой
2. Как зарегаться в игре козел
3. Как обновить драйвера radeon software
4. Как определить характер нагрузки цепи